1、时间序列计量经济学模型的理论与方法时间序列计量经济学模型的理论与方法第一节第一节 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验第二节第二节 随机时间序列模型的识别和估计随机时间序列模型的识别和估计第三节第三节 协整分析与误差修正模型协整分析与误差修正模型9.1 9.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验一、问题的引出：非平稳变量与经典回归一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型模型二、时间序列数据的平稳性二、时间序列数据的平稳性三、平稳性的图示判断三、平稳性的图示判断四、平稳性的单位根检验四、平稳性的单位根检验五、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程五、单整、趋势平稳与差分平稳随
2、机过程一、问题的引出：非平稳变量与经典一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型回归模型常见的数据类型常见的数据类型到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有：到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有：时间序列数据时间序列数据（time-series data)；截面数据截面数据(cross-sectional data)平行平行/面板数据面板数据（panel data/time-series cross-section data)时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据。经典回归模型与数据的平稳性经典回归模型与数据的平稳性 经典回归分析经典回归分析暗含
3、暗含着一个重要着一个重要假设假设：数据是平稳的。数据是平稳的。数据非平稳数据非平稳，大样本下的统计推断基础，大样本下的统计推断基础“一致一致性性”要求要求被破怀。被破怀。经典回归分析的假设之一：解释变量经典回归分析的假设之一：解释变量X是非随机变是非随机变量量 放宽该假设：放宽该假设：X是随机变量，则需进一步要求：是随机变量，则需进一步要求：(1)X与随机扰动项与随机扰动项 不相关不相关 Cov(X,)=0nXXi/)(2QnXXPin)/)(2lim依概率收敛：依概率收敛：(2)第（2）条是为了满足统计推断中大样本下的“一致性”特性：)(limnPnxnuxxuxiiiiii/22QnxPn
4、uxPPiiin0/lim/limlim2第（1）条是OLS估计的需要如果如果X是非平稳数据是非平稳数据（如表现出向上的趋势），（如表现出向上的趋势），则（则（2）不成立，回归估计量不满足）不成立，回归估计量不满足“一致性一致性”，基，基于大样本的统计推断也就遇到麻烦。于大样本的统计推断也就遇到麻烦。因此：注意：注意：在双变量模型中：在双变量模型中：表现在表现在:两个本来没有任何因果关系的变量，却两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的相关性有很高的相关性（有较高的R2)：例如：例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但进行回归也可表现出较
5、高的可决系数。在现实经济生活中在现实经济生活中：情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的实际的时间序列数据是非平稳的，而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果关仍然通过经典的因果关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。数据非平稳，往往导致出现数据非平稳，往往导致出现“虚假回归虚假回归”问题问题 时间序列分析时间序列分析模型方法模型方法就是在这样的情况下，以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而发以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而发展起来的全新的计量经济学方法论展起来的全新的计量经济学方法论。时间序
6、列分析时间序列分析已组成现代计量经济学的重要内容，并广泛应用于经济分析与预测当中。二、时间序列数据的平稳性二、时间序列数据的平稳性 时间序列分析中首先遇到的问题首先遇到的问题是关于时间序列数据的平稳性平稳性问题。假定某个时间序列是由某一假定某个时间序列是由某一随机过程随机过程（stochastic process）生成的，即假定时间序列）生成的，即假定时间序列Xt（t=1,2,）的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果满足下列条件：满足下列条件：1）均值）均值E(XE(Xt t)=)=是是与时间与时间t 无关的常数；无关的常数；2）方差）方差
7、Var(XVar(Xt t)=)=2 2是是与时间与时间t 无关的常数；无关的常数；3）协方差）协方差Cov(XCov(Xt t,X,Xt t+k+k)=)=k k 是是只与时期间隔只与时期间隔k有关，有关，与时间与时间t 无关的常数；无关的常数；则称该随机时间序列是则称该随机时间序列是平稳的平稳的（stationary)，而该，而该随机过程是一随机过程是一平稳随机过程平稳随机过程（stationary stochastic process）。）。例例9.1.1 例例9.1.2三、平稳性检验的图示判断三、平稳性检验的图示判断 给出一个随机时间序列，首先可通过该序列的时间路径图时间路径图来粗略地
8、判断它是否是平稳的。一个平稳的时间序列平稳的时间序列在图形上往往表现出一种围绕其均值不断波动的过程；而非平稳序列非平稳序列则往往表现出在不同的时间段具有不同的均值（如持续上升或持续下降）。进一步的判断:检验样本自相关函数及其图形检验样本自相关函数及其图形 定义随机时间序列的自相关函数自相关函数（autocorrelation function,ACF）如下：k=k/0 自相关函数是关于滞后期自相关函数是关于滞后期k k的递减函数的递减函数(Why?)(Why?)。实际上实际上,对一个随机过程只有一个实现（样本），对一个随机过程只有一个实现（样本），因此，只能计算因此，只能计算样本自相关函数样本
9、自相关函数（Sample Sample autocorrelation functionautocorrelation function）。）。一个时间序列的样本自相关函数定义为：一个时间序列的样本自相关函数定义为：nttkntkttkXXXXXXr121,3,2,1k 易知，随着易知，随着k的增加，样本自相关函数下降且趋的增加，样本自相关函数下降且趋于零。但从下降速度来看，平稳序列要比非平稳于零。但从下降速度来看，平稳序列要比非平稳序列快得多。序列快得多。kr kr 1 1 0 k 0 k (a)(b)图图 9 9.1 1.2 2 平平稳稳时时间间序序列列与与非非平平稳稳时时间间序序列列样样
10、本本相相关关图图 注意注意:确定样本自相关函数确定样本自相关函数r rk k某一数值是否足够接近某一数值是否足够接近于于0 0是非常有用的，因为它可是非常有用的，因为它可检验对应的自相关检验对应的自相关函数函数 k k的真值是否为的真值是否为0 0的假设。的假设。Bartlett曾证明曾证明:如果时间序列由白噪声过程生成，如果时间序列由白噪声过程生成，则对所有的则对所有的k0，样本自相关系数近似地服从以，样本自相关系数近似地服从以0为均值，为均值，1/n 为方差的正态分布，其中为方差的正态分布，其中n为样本数。为样本数。也可检验对所有也可检验对所有k0k0，自相关系数都为，自相关系数都为0 0
11、的联合的联合假设假设:我们做一个联合假设（联合假设（Joint Hypothesis）:全部自相关系数同时为零，我们有两种统计量可以对这一假设进行检验 1.Q统计量统计量 2.（）统计量）统计量LjungBoxLBQ统计量统计量 由博克斯（Box）和皮尔斯（Pierce）提出，定义为 其中，n=样本容量，m为滞后长度 统计量近似的（即在大样本中）遵循个自由度的分布,即如果计算的值超过选定的显著性水平下的值，就可以拒绝全部同时为零的虚拟假设 21mkkQn 该统计量近似地服从自由度为m的2分布（m为滞后长度）。因此:如果计算的如果计算的Q Q值大于显著性水平值大于显著性水平为为 的临界值，则有的
12、临界值，则有1-1-的把握拒绝所有的把握拒绝所有 k k(k0)(k0)同时为同时为0 0的假设。的假设。例例9.1.3:9.1.3:表表9.1.19.1.1序列序列Random1Random1是通过是通过一随机过程（随机函数）生成的有一随机过程（随机函数）生成的有1919个样个样本的随机时间序列。本的随机时间序列。mkkLBknrnnQ12)2(LB检验：序列Random2是由一随机游走过程 Xt=Xt-1+t 生成的一随机游走时间序列样本。其中，第0项取值为0，t是由Random1表示的白噪声。（a）（b）-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.42468101214161
13、8RANDOM2-0.8-0.40.00.40.81.224681012141618RANDOM2AC 样本自相关系数显示样本自相关系数显示：r1=0.48，落在了区间-0.4497,0.4497之外，因此在5%的显著性水平上拒绝1的真值为0的假设。该随机游走序列是非平稳的。该随机游走序列是非平稳的。图形表示出：图形表示出：该序列具有相同的均值，但从样本自相关图看，虽然自相关系数迅速下降到0，但随着时间的推移，则在0附近波动且呈发散趋势。例例 9.1.9.1.4 4 检验中国支出法 GDP 时间序列的平稳性。表表 9.1.2 9.1.2 1978200019782000 年中国支出法年中国支出
14、法 GDPGDP（单位：亿元）（单位：亿元）年份GDP年份GDP年份GDP19783605.6198610132.8199446690.719794073.9198711784199558510.519804551.3198814704199668330.419814901.4198916466199774894.219825489.2199018319.5199879003.319836076.3199121280.4199982673.119847164.4199225863.6200089112.519858792.1199334500.6四、平稳性的单位根检验四、平稳性的单位根检验单位
15、根过程（Unit Root Process）我们对单位根过程的定义如下：随机过程 ，若 其中 ，为一稳定过程，即 ，这里 tY1tttYYu1,2,t 1 t()0,cov()ttt stE0,1,2,s 随机游动过程 对上式,若 即 其中，为独立同分布，且 ，则我们称这个时间序列存在一个单位根这个时间序列存在一个单位根，是非平稳的是非平稳的。为随机游动过程（随机游动过程（Random Walk Process）11tttYY t()0,cov()ttt stE tY求积由于 就是我们引入的一个工具：一阶差分运算子 1.如果一个时间序列经过一次差分就变成平稳的，我们就说原序列是一阶求积（一阶求
16、积（Intergrated of Order 1）序列）序列,记为记为 I(1).2.以此类推如果一个时间序列经过次差分变成平稳以此类推如果一个时间序列经过次差分变成平稳的，我们就说原序列是阶求积（的，我们就说原序列是阶求积（Intergrated of Order d）序列，用）序列，用 I(d)另，如果另，如果 d=0 ，则结果，则结果 I(0)代表了一平稳时间代表了一平稳时间序列。序列。11(1)tttttYYuYu 对时间序列的平稳性除了通过图形直观判断外，运用统计量进行统计检验则是更为准确与重要的。单位根检验（单位根检验（unit root test）是统计检验中普遍应用的一种检验方
17、法。1 1、DFDF检验检验我们已知道，随机游走序列 Xt=Xt-1+t是非平稳的，其中t是白噪声。而该序列可看成是随机模型 Xt=Xt-1+t中参数=1时的情形。也就是说，我们对式 Xt=Xt-1+t （*）做回归，如果确实发现=1，就说随机变量Xt有一个单位根单位根。（*）式可变形式成差分形式：Xt=(1-)Xt-1+t =Xt-1+t (*)检验（*）式是否存在单位根=1，也可通过（*）式判断是否有=0。一般地一般地:检验一个时间序列检验一个时间序列XtXt的平稳性，可通过检验的平稳性，可通过检验带有截距项的一阶自回归模型带有截距项的一阶自回归模型 X Xt t=+X Xt-1t-1+t
18、 t （*）中的参数中的参数 是否小于是否小于1 1。或者：或者：检验其等价变形式检验其等价变形式 X Xt t=+X Xt-1t-1+t t （*）中的参数中的参数 是否小于是否小于0 0。在第二节中将证明，（*）式中的参数 11或或=1=1时，时，时间序列是非平稳的时间序列是非平稳的;对应于（*）式，则是 00或或 =0。辅助回归时间序列图表中往往反映出一种随时间变化的趋势，这种趋势反应到表达式上就具有不同的表现形式，包括1.DF中的 2.不含常数项和确定性时间趋势项3.包含常数项 4.既带常数项又包含确定性时间趋势项 1tttYYu1tttYYu1tttYcYu1tttYctYu 因此，
19、针对式 X Xt t=+X Xt-1t-1+t t 我们关心的检验为：零假设零假设 H0：=0。备择假设备择假设 H1：0 上述检验可通过上述检验可通过OLS法下的法下的t检验完成。检验完成。然而，在零假设（序列非平稳）下，即使在大样本下t统计量也是有偏误的（向下偏倚），通常的t 检验无法使用。Dicky和Fuller于1976年提出了这一情形下t统计量服从的分布（这时的t统计量称为 统计量统计量），即DF分布分布（见表9.1.3）。由于t统计量的向下偏倚性，它呈现围绕小于零值的偏态分布。因此，可通过OLS法估计 X Xt t=+X Xt-1t-1+t t 并计算t统计量的值，与DF分布表中给
20、定显著性水平下的临界值比较：如果：如果：t临界值，则拒绝零假设临界值，则拒绝零假设H0：=0，认为时间序列不存在单位根，是平稳的。认为时间序列不存在单位根，是平稳的。表表 9.1.3 DF 分分布布临临界界值值表表 样 本 容 量 显著性水平 25 50 100 500 t分布临界值（n=）0.01-3.75-3.58-3.51-3.44-3.43-2.33 0.05-3.00-2.93-2.89-2.87-2.86-1.65 0.10-2.63-2.60-2.58-2.57-2.57-1.28 注意：在不同的教科书上有不同的描述，但是注意：在不同的教科书上有不同的描述，但是结果是相同的。结果
21、是相同的。例如：例如：“如果计算得到的如果计算得到的t统计量的绝对值大于统计量的绝对值大于临界值的绝对值，则拒绝临界值的绝对值，则拒绝=0”的假设，原序列的假设，原序列不存在单位根，为平稳序列。不存在单位根，为平稳序列。进一步的问题进一步的问题：在上述使用 X Xt t=+X Xt-1t-1+t t对时间序列进行平稳性检验中，实际上实际上假定了时间序列是由假定了时间序列是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程AR(1)生成的生成的。但在实际检验中但在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自回归过程，时间序列可能由更高阶的自回归过程生成的，或者随机误差项并非是白噪
22、声生成的，或者随机误差项并非是白噪声，这样用OLS法进行法进行估计均会表现出随机误差项出现自相关估计均会表现出随机误差项出现自相关（autocorrelation），导致DF检验无效。另外另外，如果时间序列包含有明显的随时间变化的某种趋势（如上升或下降），则也容易导致上述检验中的自相关随自相关随机误差项问题机误差项问题。为了保证DF检验中随机误差项的白噪声特性，Dicky和Fuller对DF检验进行了扩充，形成了ADF（Augment Dickey-Fuller）检验）检验。2 2、ADFADF检验检验ADF检验是通过下面三个模型完成的：检验是通过下面三个模型完成的：模型模型3 中的中的t是时
23、间变量是时间变量，代表了时间序列随时间变化的某种趋势（如果有的话）。检验的假设都是：针对检验的假设都是：针对H1:500-2.58-2.23-1.95-1.6125-3.75-3.33-3.00-2.6250-3.58-3.22-2.93-2.60100-3.51-3.17-2.89-2.58250-3.46-3.14-2.88-2.57500-3.44-3.13-2.87-2.57500-3.43-3.12-2.86-2.57253.412.972.612.20503.282.892.562.181003.222.862.542.172503.192.842.532.165003.182.8
24、32.522.1625003.182.832.522.1625-4.38-3.95-3.60-3.2450-4.15-3.80-3.50-3.18100-4.04-3.73-3.45-3.15250-3.99-3.69-3.43-3.13500-3.98-3.68-3.42-3.13500-3.96-3.66-3.41-3.12254.053.593.202.77503.873.473.142.751003.783.423.112.732503.743.393.092.735003.723.383.082.725003.713.383.082.72253.743.252.852.39503.6
25、03.182.812.381003.533.142.792.382503.493.122.792.385003.483.112.782.3835003.463.112.782.38同时估计出上述三个模型的适当形式，然后通过ADF临界值表检验零假设H0：=0。1）只要其中有一个模型的检验结果拒绝了零假设，）只要其中有一个模型的检验结果拒绝了零假设，就可以认为时间序列是平稳的；就可以认为时间序列是平稳的；2）当三个模型的检验结果都不能拒绝零假设时，则）当三个模型的检验结果都不能拒绝零假设时，则认为时间序列是非平稳的。认为时间序列是非平稳的。这里所谓模型适当的形式模型适当的形式就是在每个模型中选取适
26、当的滞后差分项，以使模型的残差项是一个白噪声（主要保证不存在自相关）。一个简单的检验过程：一个简单的检验过程：五、单整、趋势平稳与差分平稳随机五、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程过程 随机游走序列 Xt=Xt-1+t经差分后等价地变形为 Xt=t 由于t是一个白噪声，因此差分后的序列差分后的序列 Xt是平稳的。是平稳的。单整单整 一般地，如果一个时间序列经过一般地，如果一个时间序列经过d次差分后变成平稳序列，次差分后变成平稳序列，则称原序列是则称原序列是d 阶单整阶单整（integrated of d）序列序列，记为，记为I(d)。显然，I(0)代表一平稳时间序列。代表一平稳时间序列。现实经济
27、生活中现实经济生活中:1)只有少数经济指标的时间序列表现为平稳的，只有少数经济指标的时间序列表现为平稳的，如利率等如利率等;2)大多数指标的时间序列是非平稳的，大多数指标的时间序列是非平稳的，如一些价格指数常常如一些价格指数常常是是2阶单整的，以不变价格表示的消费额、收入等常表现为阶单整的，以不变价格表示的消费额、收入等常表现为1阶单整。阶单整。大多数非平稳的时间序列一般可通过一次或多次差分的形式大多数非平稳的时间序列一般可通过一次或多次差分的形式变为平稳的。变为平稳的。但也有一些时间序列，无论经过多少次差分，都不能变为平但也有一些时间序列，无论经过多少次差分，都不能变为平稳的。这种序列被称为
28、稳的。这种序列被称为非单整的（非单整的（non-integrated）。如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的，就称原如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的，就称原序列是序列是一阶单整一阶单整（integrated of 1）序列序列，记为，记为I(1)。协整的定义协整的定义 一阶求积序列具有以下的性质：性质1：若 ，则是 ；若 ，则 是 其中，为常数，下同 性质2：若 ，则 是 ；(0)tXItabX(0)I(1)tXItabX(1)I,a b(0),(0)ttXIYIttaXbY(0)I 性质3：若 ，则 是 ；即 具有占优性质。这个性质可以推广到一般：若 ，则 是 性质4：若 ，则 是
29、，这与性质2是相类似的。(1),(0)ttXIYIttaXbY(1)I(1)I(),()ttXI d YI ettaXbY(max(,)Id e(1),(1)ttXIYIttaXbY(1)I 对与两个非平稳的或者随机游动的时间序列（即均为），我们发现有时候它们之间的某种线性组合却可能是平稳的，那么我们就称这两个时间序列之间是协整的。如果两个时间序列具有协整关系，我们可以通过构造一个线性组合来得到一个平稳的序列。例例9.1.8 中国支出法GDP的单整性。经过试算，发现中国支出法中国支出法GDP是是1阶单整的阶单整的，适当的检验模型为 1212966.0495.025.26108.1174tttG
30、DPGDPtGDP (-1.99)(4.23)（-5.18）(6.42)2R=0.7501 LM(1)=0.40 LM(2)=1.29 例例9.1.9 中国人均居民消费与人均国内生产总值的单整性。经过试算，发现中国人均国内生产总值中国人均国内生产总值GDPPC是是2阶单阶单整的整的，适当的检验模型为 12360.0ttGDPPCGDPPC （-2.17）2R=0.2778，LM(1)=0.31 LM(2)=0.54 同样地，CPC也是也是2阶单整的阶单整的，适当的检验模型为 12367.0ttCPCCPC （-2.08）2R=0.2515 LM(1)=1.99 LM(2)=2.36 趋势平稳与
31、差分平稳随机过程趋势平稳与差分平稳随机过程 前文已指出，一些非平稳的经济时间序列往往表现出共同的变化趋势，而这些序列间本身不一定有直接的关联关系，这时对这些数据进行回归，尽管有较高的R2，但其结果是没有任何实际意义的。这种现象我们称之为虚假回归虚假回归或或伪回归伪回归（spurious regression）。如：用中国的劳动力时间序列数据与美国GDP时间序列作回归，会得到较高的R2，但不能认为两者有直接的关联关系，而只不过它们有共同的趋势罢了，这种回归结果我们认为是虚假的。为了避免这种虚假回归的产生，通常的做法是引入作为趋势变量的时间，这样包含有时间趋势变量的回归，可以消除这种趋势性的影响。
32、然而这种做法，只有当趋势性变量是确定性的确定性的（deterministic）而非随机性的（随机性的（stochastic），才会是有效的。换言之，如果一个包含有某种确定性趋势的非如果一个包含有某种确定性趋势的非平稳时间序列，可以通过引入表示这一确定性趋平稳时间序列，可以通过引入表示这一确定性趋势的趋势变量，而将确定性趋势分离出来。势的趋势变量，而将确定性趋势分离出来。1)如果=1，=0，则（*）式成为一带位移的随机一带位移的随机游走过程游走过程：Xt=+Xt-1+t （*）根据的正负，Xt表现出明显的上升或下降趋势。这种趋势称为随机性趋势（随机性趋势（stochastic trend）。2)
33、如果=0，0，则（*）式成为一带时间趋势的随机变化过程：Xt=+t+t （*）根据的正负，Xt表现出明显的上升或下降趋势。这种趋势称为确定性趋势（确定性趋势（deterministic trend）。考虑如下的含有一阶自回归的随机过程：Xt=+t+Xt-1+t （*）其中:t是一白噪声，t为一时间趋势。3)如果=1，0，则Xt包含有确定性与随机性确定性与随机性两种趋势。两种趋势。判断一个非平稳的时间序列，它的趋势是随机性的还是确定性的，可通过ADF检验中所用的第3个模型进行。该模型中已引入了表示确定性趋势的时间变量t，即分离出了确定性趋势的影响。因此，(1)如果检验结果表明所给时间序列有单位如
34、果检验结果表明所给时间序列有单位根，且时间变量前的参数显著为零，则该序列显根，且时间变量前的参数显著为零，则该序列显示出随机性趋势示出随机性趋势;(2)如果没有单位根，且时间变量前的参数如果没有单位根，且时间变量前的参数显著地异于零，则该序列显示出确定性趋势。显著地异于零，则该序列显示出确定性趋势。随机性趋势可通过差分的方法消除随机性趋势可通过差分的方法消除 如：对式Xt=+Xt-1+t 可通过差分变换为 Xt=+t 该时间序列称为差分平稳过程（差分平稳过程（difference stationary process）；确定性趋势无法通过差分的方法消除，而只能确定性趋势无法通过差分的方法消除，
35、而只能通过除去趋势项消除，通过除去趋势项消除，如：对式Xt=+t+t可通过除去t变换为Xt-t=+t该时间序列是平稳的，因此称为趋势平稳过程趋势平稳过程（trend stationary process）。）。最后需要说明的是，最后需要说明的是，趋势平稳过程代表了一趋势平稳过程代表了一个时间序列长期稳定的变化过程，因而用于进行个时间序列长期稳定的变化过程，因而用于进行长期预测则是更为可靠的。长期预测则是更为可靠的。9.3 9.3 协整与误差修正模型协整与误差修正模型一、长期均衡关系与协整一、长期均衡关系与协整二、协整检验二、协整检验三、误差修正模型三、误差修正模型一、长期均衡关系与协整一、长期
36、均衡关系与协整0、问题的提出、问题的提出 经典回归模型经典回归模型（classical regression model）是建立在稳定数据变量基础上的，对于非稳定变量，不能使用经典回归模型，否则会出现虚假回归虚假回归等诸多问题。由于许多经济变量是非稳定的，这就给经典的回归分析方法带来了很大限制。但是，如果变量之间有着长期的稳定关系，即它们之间是即它们之间是协整协整的（的（cointegration)，则，则是可以使用经典回归模型方法建立回归模型的。例如，例如，中国居民中国居民人均消费水平人均消费水平与与人均人均GDPGDP变量的例子中：变量的例子中：因果关系回归模型要比因果关系回归模型要比AR
37、MAARMA模型有更好的预测功能，模型有更好的预测功能，其其原因在于原因在于，从经济理论上说，人均GDP决定着居民人均消费水平，而且它们之间有着长期的稳定关系，即它们之间是协整的（cointegration）。经济理论指出经济理论指出，某些经济变量间确实存在着长期均衡关系，这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏均衡的内在机制，如果变量在某时期受到干扰后偏离其长期均衡点，则均衡机制将会在下一期进行调整以使其重新回到均衡状态。假设X与Y间的长期“均衡关系”由式描述 1 1、长期均衡、长期均衡tttXY10式中:t是随机扰动项。该均衡关系意味着该均衡关系意味着:给定X的一个值，Y相应的均衡值也随之确定
38、为0+1X。在在t-1期末，存在下述三种情形之一：期末，存在下述三种情形之一：（1）Y等于它的均衡值：Yt-1=0+1Xt；（2）Y小于它的均衡值：Yt-1 0+1Xt；在时期t，假设X有一个变化量Xt，如果变量X与Y在时期t与t-1末期仍满足它们间的长期均衡关系，则Y的相应变化量由式给出:tttvXY1式中，vt=t-t-1。实际情况往往并非如此实际情况往往并非如此 如果t-1期末，发生了上述第二种情况，即Y的值小于其均衡值，则Y的变化往往会比第一种情形下Y的变化Yt大一些；反之，如果Y的值大于其均衡值，则Y的变化往往会小于第一种情形下的Yt。可见，可见，如果如果Yt=0+1Xt+t正确地提
39、示了正确地提示了X与与Y间的长间的长期稳定的期稳定的“均衡关系均衡关系”，则意味着，则意味着Y对其均衡点的偏离从对其均衡点的偏离从本质上说是本质上说是“临时性临时性”的。的。因此，一个重要的假设就是一个重要的假设就是:随机扰动项随机扰动项 t t必须是平必须是平稳序列。稳序列。显然，如果 t t有随机性趋势（上升或下降），则会导致Y对其均衡点的任何偏离都会被长期累积下来而不能被消除。式Yt=0+1Xt+t中的随机扰动项也被称为非均衡误差非均衡误差（disequilibrium error），它是变量X与Y的一个线性组合：tttXY10(*)因此，如果Yt=0+1Xt+t式所示的X与Y间的长期均
40、衡关系正确的话，（*）式表述的非均衡误差应是一平稳时间序列，并且具有零期望值，即是具有0均值的I(0)序列。从这里已看到从这里已看到，非稳定的时间序列，它们的线性组合也可非稳定的时间序列，它们的线性组合也可能成为平稳的。能成为平稳的。例如：例如：假设Yt=0+1Xt+t式中的X与Y是I(1)序列，如果该式所表述的它们间的长期均衡关系成立的话，则意味着由非均衡误差（*）式给出的线性组合是I(0)序列。这时我们称称变量变量X与与Y是协整的（是协整的（cointegrated）。）。如果序列X1t,X2t,Xkt都是d阶单整，存在向量 =(1,2,k)，使得 Zt=XT I(d-b)其中，b0，X=
41、(X1t,X2t,Xkt)T，则认为序列X1t,X2t,Xkt是(d,b)阶协整，记为XtCI(d,b)，为协整向量（协整向量（cointegrated vector）。协整协整 在中国居民人均消费与人均在中国居民人均消费与人均GDP的例中的例中，该两序列都是2阶单整序列，而且可以证明它们有一个线性组合构成的新序列为0阶单整序列，于是认为该两序列是(2,2)阶协整。由此可见由此可见:如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整阶数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数不相同，就不阶数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数不相同，就不可能协整。可能协整。三
42、个以上的变量，如果具有不同的单整阶数，有可三个以上的变量，如果具有不同的单整阶数，有可能经过线性组合构成低阶单整变量。能经过线性组合构成低阶单整变量。例如，如果存在：)2(),2(),1(IUIVIWttt并且)0()1(IePcWQIbUaVPtttttt那么认为：)1,1(,)1,2(,CIPWCIUVtttt（d,d）阶协整是一类非常重要的协整关系，它的经济意义它的经济意义在于：在于：两个变量，虽然它们具有各自的长期波动规律，但两个变量，虽然它们具有各自的长期波动规律，但是如果它们是（是如果它们是（d,dd,d）阶协整的，则它们之间存在着一个长）阶协整的，则它们之间存在着一个长期稳定的比
43、例关系。期稳定的比例关系。例如：例如：前面提到的中国中国CPC和GDPPC，它们各自都是都是2阶阶单整单整，并且将会看到，它们是并且将会看到，它们是(2,2)(2,2)阶协整阶协整，说明它们之间存在着一个长期稳定的比例关系，从计量经济学模型的意义上讲，建立如下居民人均消费函数模型 从协整的定义可以看出从协整的定义可以看出:tttGDPPCCPC10变量选择是合理的，随机误差项一定是“白噪声”（即均值为0，方差不变的稳定随机序列），模型参数有合理的经济解释。这也解释了尽管这两时间序列是非稳定的，但却可以用经典的回归分析方法建立回归模型的原因。从这里，我们已经初步认识到：从这里，我们已经初步认识到
44、：检验变检验变量之间的协整关系，在建立计量经济学模量之间的协整关系，在建立计量经济学模型中是非常重要的。型中是非常重要的。而且，从变量之间是否具有协整关系而且，从变量之间是否具有协整关系出发选择模型的变量，其数据基础是牢固出发选择模型的变量，其数据基础是牢固的，其统计性质是优良的的，其统计性质是优良的。二、协整检验二、协整检验 1 1、两变量的、两变量的Engle-GrangerEngle-Granger检验检验 为了检验两变量Yt,Xt是否为协整，Engle和Granger于1987年提出两步检验法，也称为EG检验。第一步，第一步，用OLS方法估计方程 Yt=0+1Xt+t并计算非均衡误差，
45、得到：tttttYYeXY10称为协整回归协整回归(cointegrating)或静态回归静态回归(static regression)。第第二二步步，检验 et的单整性。如果 et为稳定序列，则认为变量Y Xtt,为(1,1)阶协整；如果 et为1阶单整，则认为变量Y Xtt,为(2,1)阶协整；。的单整性的检验方法仍然是的单整性的检验方法仍然是DF检验或者检验或者ADF检验。检验。由于协整回归中已含有截距项，则检验模型中无需由于协整回归中已含有截距项，则检验模型中无需再用截距项。再用截距项。如使用模型1 ettpiititteee11进行检验时，拒绝零假设拒绝零假设H0：=0，意味着误差项
46、et是平稳序列，从而说明说明X与与Y间是协整的间是协整的。需要注意是需要注意是，这里的DF或ADF检验是针对协整回归计算出的误差项 et而非真正的非均衡误差t进行的。而OLS法采用了残差最小平方和原理，因此估计量 是向下偏倚的，这样将导致拒绝零假设的机会比实际情形大。于是对于是对e et t平稳性检验的平稳性检验的DFDF与与ADFADF临界值应该比正常临界值应该比正常的的DFDF与与ADFADF临界值还要小。临界值还要小。MacKinnon(1991)通过模拟试验给出了协整检验的临界值，表9.3.1是双变量情形下不同样本容量的临界值。表表 9.3.1 双双变变量量协协整整 ADF 检检验验临
47、临界界值值 显 著 性 水 平 样本容量 0.01 0.05 0.10 25-4.37-3.59-3.22 50-4.12-3.46-3.13 100-4.01-3.39-3.09 -3.90-3.33-3.05 例例9.3.1 检验中国居民人均消费水平检验中国居民人均消费水平CPCCPC与人均国内生与人均国内生产总值产总值GDPPCGDPPC的协整关系。的协整关系。在前文已知CPC与GDPPC都是I(2)序列，而2.10中已给出了它们的回归式 ttGDPPCCPC45831.0764106.49R2=0.9981 通过对该式计算的残差序列作ADF检验，得适当检验模型 31127.249.15
48、5.1tttteeee （-4.47）(3.93)(3.05)LM(1)=0.00 LM(2)=0.00 t=-4.47-3.75=ADF0.05，拒绝存在单位根的假设，残差项是稳定的，因此中国居民人均消费水平与人均中国居民人均消费水平与人均GDPGDP是是(2,2)(2,2)阶协整的，说明了该两变量间存在长期稳定的阶协整的，说明了该两变量间存在长期稳定的“均衡均衡”关关系。系。2 2、多变量协整关系的检验、多变量协整关系的检验扩展的扩展的E-GE-G检验检验 多变量协整关系的检验要比双变量复杂一些，主要在于协整变量间可能存在多种稳定的线性组合协整变量间可能存在多种稳定的线性组合。假设有4个I
49、(1)变量Z、X、Y、W，它们有如下的长期均衡关系：tttttYXWZ3210(*)其中，非均衡误差项t应是I(0)序列：tttttYXWZ3210(*)然而，如果Z与W，X与Y间分别存在长期均衡关系：tttvWZ110tttvYX210 则非均衡误差项v1t、v2t一定是稳定序列I(0)。于是它们的任意线性组合也是稳定的。例如tttttttYXWZvvv110021(*)由于vt象（*）式中的t一样，也是Z、X、Y、W四个变量的线性组合，由此（*）式也成为该四变量的另一稳定线性组合。（1,-0,-1,-2,-3）是对应于（*）式的协整向量，（1,-0-0,-1,1,-1）是对应于（*）式的协
50、整向量。一定是I(0)序列。对于多变量的协整检验过程，基本与双变量情形相同对于多变量的协整检验过程，基本与双变量情形相同，即即需检验变量是否具有同阶单整性，以及是否存在稳定的线需检验变量是否具有同阶单整性，以及是否存在稳定的线性组合性组合。在检验是否存在稳定的线性组合时在检验是否存在稳定的线性组合时，需通过设置一个变量为被解释变量，其他变量为解释变量，进行OLS估计并检验残差序列是否平稳。如果不平稳如果不平稳，则需更换被解释变量，进行同样的OLS估计及相应的残差项检验。当所有的变量都被作为被解释变量检验之后，仍不能得当所有的变量都被作为被解释变量检验之后，仍不能得到平稳的残差项序列，则认为这些
