1、 第四章第四章 随机信号的功率谱密度随机信号的功率谱密度 1 功率谱密度功率谱密度 信号可用能量特征来加以区别。信号可用能量特征来加以区别。能量信号：能量信号：总能量为有限值而平均功率为零的信号；总能量为有限值而平均功率为零的信号；功率信号：功率信号：平均功率为有限值而总能量为无穷大的信号。平均功率为有限值而总能量为无穷大的信号。例如：例如：若若 ,则则信号能量为：信号能量为：，平均功率为：平均功率为：)t(xT,Tt dt)t(xTT 2dt)t(xTTT 221 若若 ,则则总能量为：总能量为：能量信号能量信号平均功率：平均功率：功率信号功率信号v 确知信号的能量谱密度与功率谱密度确知信号
2、的能量谱密度与功率谱密度 非周期信号的能量为：非周期信号的能量为：其中其中,为一付氏变换对为一付氏变换对;Parseval定理定理 。)t(x,t dt)t(xlimTTT2 dt)t(xTlimTTT221df|)f(X|d|)(X|dt)t(xlimWTTTTTT22221 )(X)t(xTT d|)(X|dt)t(xTT2221 故故 为能量谱密度函数，由能量与平均功率的关系为能量谱密度函数，由能量与平均功率的关系由此可定义其功率谱密度函数为：由此可定义其功率谱密度函数为：。若若 为一功率信号，则其功率谱密度函数为为一功率信号，则其功率谱密度函数为问题：问题：对确知的功率信号有上述的结论
3、。而对功率型的平对确知的功率信号有上述的结论。而对功率型的平稳随机信号情况如何呢？稳随机信号情况如何呢？2|)(X|T T|)(X|lim)(GTT22 )t(xT|)(X|lim)(GTT22 dT|)(X|limdtT)t(xlimPTTTTTTTT 221222设设 为功率型平稳随机信号。为功率型平稳随机信号。由于随机信号的每一样本函数（或实现）都是一个确由于随机信号的每一样本函数（或实现）都是一个确定的时间函数定的时间函数 ，因此，对于每个样本函数都可以求，因此，对于每个样本函数都可以求得对应的功率谱密度函数，即得对应的功率谱密度函数，即 ，称为称为样本函数的功率谱密度函数样本函数的功
4、率谱密度函数。由于随机信号的随机性，各样本函数不同，故任一样本由于随机信号的随机性，各样本函数不同，故任一样本函数对应的功率谱密度函数都不能用来代表随机过程的功函数对应的功率谱密度函数都不能用来代表随机过程的功率谱密度函数。因此，只有将所有可能出现的每一个率谱密度函数。因此，只有将所有可能出现的每一个样本样本函数的函数的功率谱密度函数的统计平均值作为随机过程的功率功率谱密度函数的统计平均值作为随机过程的功率谱密度函数才是合理的。谱密度函数才是合理的。)t(X),(itx TXTtxGiTTiTTiX2|),(|lim2|),(|lim),(22 ),(iXG 一个一个随机过程的功率谱密度函数为
5、随机过程的功率谱密度函数为：称为随机过程的功率谱密度函数称为随机过程的功率谱密度函数。由此可得随机过程的。由此可得随机过程的平均功率：平均功率：其中，其中，为均方值的时间平均。为均方值的时间平均。2|),(|lim2|),(|lim),()(22TtxETXEGEGiTTiTTiX )(GX dT|),(X|Elimdt)t(XETlimdt),t(xETlimd)(GPiTTTTTTTiTTX221212121222 dt)t(XETlimTTT 221当当 为平稳过程时，则为平稳过程时，则 常数，常数，故有故有 。当当 为各态历经过程时，则为各态历经过程时，则 故有故有 。两者依概率两者依
6、概率1相等。相等。)t(X )(R)t(XEX02 d)(G)(R)t(XEPXX 2102)t(X),t(X),t(x TXGGiTTiXX2|),(|lim),()(2 2 2 功率谱密度与自相关函数的关系功率谱密度与自相关函数的关系 由由 与与 可证：可证：dtetxXtjTTiTiT ),(),(),(),(|),(|2iTiTiTXXX 2121221121221212121dtdte)t(X)t(XETlimdte),t(xdte),t(xTElim|),(X|TElim)(G)tt(jTTTTTTTtjTTiTtjTTiTTiTTX T)t,t(T),t(X)t(XE)t,t(R
7、TTXT 21212121211221dtdte)t,t(RTlim)(G)tt(jTTTTXTXT 令：令：，则，则 令：令：可看成非平稳过程自相关函数的时间平均。可看成非平稳过程自相关函数的时间平均。若若 为平稳过程，则为平稳过程，则 ，故有，故有1tt 12tt dedt)t,t(RTlimdedt)t,t(RTlim)(GjTTXTjtTtTTTXTX 2121 TTXTXdt)t,t(RTlim)(R 21)(RX)t(X)(R)t,t(RXX de)(R)(GjXX 由付氏变换条件由付氏变换条件 可知，平稳随机可知，平稳随机过程过程 必须满足：必须满足：1.不含直流分量；不含直流分
8、量；2.不含周期成分。不含周期成分。若含上述成分，则可引入若含上述成分，则可引入 函数加以解决。函数加以解决。d)(RX)t(X3 3 功率谱密度的性质功率谱密度的性质 因为因为各态历经平稳过程各态历经平稳过程1.非负性，非负性，GX()0；2.GX()为实函数；为实函数；为实函数为实函数 3.GX()为偶函数；为偶函数；为偶函数为偶函数4.GX()不含相位信息；不含相位信息；已不含相位信息已不含相位信息5.GX()为有理函数；为有理函数；6.GX()=2 GX()，其中其中T|),(X|lim)(GTTX22 02)(XET 2)(XT)(X)(X)(XTTT 22)(XT dt)t(dX)
9、t(X )(X)(X)(XTTT 24 4 互谱密度及其性质互谱密度及其性质 一、一、互谱密度互谱密度设设 ，则，则 若若 ，单独平稳且联合平稳，则单独平稳且联合平稳，则 必然平稳，故有：必然平稳，故有：，和和其中，其中，称为称为X(t)和和 Y(t)的互谱密度。的互谱密度。注意：注意：，单独平稳和联合平稳不能相互推论。单独平稳和联合平稳不能相互推论。)t(Y)t(X)t(Z )t,t(R)t,t(R)t,t(R)t,t(R)t(Y)t(X)t(Y)t(XE)t,t(RYXXYYXZ )t(X)t(Y)t(Z)(R)(R)(R)(R)(RYXXYYXZ )()()()()(YXXYYXZGGG
10、GG de)(R)(GjXYXY de)(R)(GjYXYX )t(X)t(Y 二、互谱密度的性质二、互谱密度的性质1.。2.和和 是是 的偶函数；的偶函数；和和 是是 的奇函数。的奇函数。因为任一复函数因为任一复函数 满足：满足：3.若平稳过程若平稳过程 和和 相互正交，则有相互正交，则有 和和 。平稳过程平稳过程 和和 相互正交的条件为：相互正交的条件为：)(G)(G)(GYXYXXY )(GReXY)(f)(fRe)(fRe )(fIm)(fIm )t(X)t(Y0)(GYX)t(X)t(Y0)(RXY )(GReYX )(GImXY )(GImYX 0)(GXY 4.若若X(t)和和Y
11、(t)是两个不相关的平稳过程，分别有均值是两个不相关的平稳过程，分别有均值 mX 和和 mY，则，则三、三、相干函数定义相干函数定义 ，。当当 时，时，。21/YXXYXY)(G)(G)(G)(10 )(XY )t(Y)t(X 1)(XY )2)(mm(G(GYXYXXY 5 5 白噪声与带限白噪声白噪声与带限白噪声一、白噪声定义：一、白噪声定义：一个均值为零，功率谱密度在整个频域轴上为一个均值为零，功率谱密度在整个频域轴上为非零常数，即非零常数，即 的平稳过程的平稳过程 ，称为，称为白噪声过程白噪声过程，简称，简称白噪声白噪声。其中，其中，为正实常数，单位：为正实常数，单位：,/N)(GN2
12、0 ),()t(N0NHzW )(N)(R),(,N)(GNN 2200白噪声的功率谱函数和自相关函数为：白噪声的功率谱函数和自相关函数为：白噪声的相关系数：白噪声的相关系数：()(R)(R)(C)(C)(NNNNN 00结论：结论：同一时刻的白噪声才相关，即，任意不同时刻同一时刻的白噪声才相关，即，任意不同时刻的白噪声是不相关的。也就是说白噪声随时间变化极的白噪声是不相关的。也就是说白噪声随时间变化极快，功率谱极宽。快，功率谱极宽。引入白噪声概念的重要意义：引入白噪声概念的重要意义：a)白噪声在现实世界中是不存在的，它是对现实白噪声在现实世界中是不存在的，它是对现实世界中随机噪声的一种理想化
13、的近似；世界中随机噪声的一种理想化的近似；白噪声平均功率白噪声平均功率b)理论意义重大；理论意义重大；1.可求系统性能的下界，可求系统性能的下界，2.数学运算简便。数学运算简便。P 若随机序列若随机序列Z(n)满足：满足：,)(G)k()k(RZNZZ22 则称则称Z(n)为白序列。其中为白序列。其中 为单位冲击序列。为单位冲击序列。)k(二、白序列定义二、白序列定义*三、带限白噪声定义：三、带限白噪声定义：一个均值为零，功率谱密度为一个均值为零，功率谱密度为 的平稳过程，称为的平稳过程，称为带限白噪声。带限白噪声。其中其中0为有限值。为有限值。对应于对应于带限白噪声的自相关函数带限白噪声的自
14、相关函数为：为：其中，其中，。当当 时，时，。),(,N)(GN0002 )(SafNde)(G)(RjNN 00021 000sin)(Sa Z0 k,k 00)(Sa n结论：结论：带限白噪声过程间隔时间带限白噪声过程间隔时间 时的时的 随机变量是不相关的。随机变量是不相关的。n由结论可知：由结论可知：若按抽样频率若按抽样频率 对带限白噪声进对带限白噪声进行抽样，则各抽样值是互不相关的随机变量。行抽样，则各抽样值是互不相关的随机变量。n带限白噪声可分为：带限白噪声可分为：1低通（带限）白噪声；低通（带限）白噪声；2带通（带限）白噪声。带通（带限）白噪声。02 f/k 02ff n习题：习题：4.1；4.2；4.6；4.7；4.11；4.17
