1、1 第三章第三章 动量与角动量动量与角动量 （Momentum and Angular Momentum）2力在时间上的积累力在时间上的积累效应：效应：平动平动冲量冲量动量的改变动量的改变转动转动冲量矩冲量矩角动量的改变角动量的改变力在空间上的积累力在空间上的积累效应效应功功改变能量改变能量 在有些问题中，在有些问题中，如：碰撞（宏观）、散射（微观），如：碰撞（宏观）、散射（微观），我们往往只关心过程中力的效果我们往往只关心过程中力的效果力对时间和空间力对时间和空间的积累效应。的积累效应。牛顿定律是瞬时的规律。牛顿定律是瞬时的规律。能量、动量和角动量是最基能量、动量和角动量是最基本的物理量。它
2、们的守恒定律是自然界中的基本规律，本的物理量。它们的守恒定律是自然界中的基本规律，适用范围远远超出了牛顿力学。适用范围远远超出了牛顿力学。本章从牛顿力学出发给出动量和角动量的定义，推本章从牛顿力学出发给出动量和角动量的定义，推导这两个守恒定律，并讨论它们在牛顿力学中的应导这两个守恒定律，并讨论它们在牛顿力学中的应用。下一章讨论能量。用。下一章讨论能量。3pdtFId d d二、动量定理二、动量定理牛顿第二定律牛顿第二定律质点的动量定理：质点的动量定理：一、冲量一、冲量tFId dd d 积分形式积分形式微分形式微分形式力的时间积累力的时间积累合外力的冲量方向和受力质点的动量的增量方向一致合外力
3、的冲量方向和受力质点的动量的增量方向一致 ttt)t(FI0d d000ppptFIpptt d dd d 3.1 冲量与动量定理冲量与动量定理4碰撞：碰撞：两个或两个以上的物体相遇，且相互作用持续两个或两个以上的物体相遇，且相互作用持续 一个极短暂的时间。一个极短暂的时间。特点特点物体间的相互作用是突发性，物体间的相互作用是突发性，持续时间极短持续时间极短,内力内力外力外力。作用力峰值极大，碰撞符合作用力峰值极大，碰撞符合动量守恒定律动量守恒定律。碰撞过程中物体会产生碰撞过程中物体会产生形变形变。直角坐标系直角坐标系:000000txxxxttyyyyttzzzztIF dtppIF dtp
4、pIF dtpp 动量定理常动量定理常用于碰撞过程用于碰撞过程5碰撞过程的平均冲击力：碰撞过程的平均冲击力：1221tttdFtpFtt t00tFmFIFt不足以完全说明碰撞所可能引起的破坏性不足以完全说明碰撞所可能引起的破坏性6 例例 已知：已知：一篮球质量一篮球质量m=0.58kg，从从h=2.0m的高度的高度下落，到达地面后，以同样速率反弹，接触地面时间下落，到达地面后，以同样速率反弹，接触地面时间 t=0.019s。求：求：篮球对地的平均冲力篮球对地的平均冲力F解：解：篮球到达地面的速率篮球到达地面的速率m/s26.6280.922 ghvN.tmF21082301902665802
5、v2 因打击力很大，所以由碰撞引起的质点的动量改变，因打击力很大，所以由碰撞引起的质点的动量改变，基本上由打击力的冲量决定。基本上由打击力的冲量决定。重力、阻力的冲量可以重力、阻力的冲量可以忽略。忽略。y v0 v7例例3.2 质量质量m=140=140g的垒球以速率的垒球以速率 v=40m/s沿水沿水平方向飞向击球手，被击后以相同速率沿平方向飞向击球手，被击后以相同速率沿qq6060的仰角飞出。求棒对垒球的平均打击力。设棒的仰角飞出。求棒对垒球的平均打击力。设棒和球的接触时间为和球的接触时间为 t=1.2 ms。60ov2v18mv160omv2mg t打击力冲量打击力冲量12vmvmtF
6、F t F t合力冲量合力冲量9)(101.8102.130cos4014.0230cos233N tmvF平均打击力约为垒球自重的平均打击力约为垒球自重的5900倍！倍！在碰撞过在碰撞过程中，物体之间的碰撞冲力是很大的。程中，物体之间的碰撞冲力是很大的。12vmvmtF F tmv160omv230om=140gvvv 12a a=30102005年年7月月4日，美国发射的日，美国发射的“深度撞击深度撞击”号探测器号探测器携带的重携带的重372千克的铜头千克的铜头“炮弹炮弹”，将以每小时，将以每小时3.7万万公里的速度与坦普尔一号彗星（公里的速度与坦普尔一号彗星（TEMPEL1）的彗核）的彗
7、核相撞。相撞。“炮轰炮轰”彗星彗星据推算，撞击的强度相当于据推算，撞击的强度相当于4.5吨吨TNT炸药造成的巨炸药造成的巨大爆炸，它将会在彗核表面撞出一个约有足球场大小大爆炸，它将会在彗核表面撞出一个约有足球场大小和和14层楼深的凹洞。而撞击溅射出的大量彗星尘埃和层楼深的凹洞。而撞击溅射出的大量彗星尘埃和气体又将使坦普尔一号彗星熠熠生辉，人们有可能通气体又将使坦普尔一号彗星熠熠生辉，人们有可能通过小型天文望远镜目睹这一史无前例的奇异天象过小型天文望远镜目睹这一史无前例的奇异天象。11科学家认为，彗星科学家认为，彗星含有太阳系形成早期的冰冻残留物含有太阳系形成早期的冰冻残留物。他们希望深入彗星内
8、部的研究将使他们能够了解太阳他们希望深入彗星内部的研究将使他们能够了解太阳系形成早期系形成早期40多亿年前的情况，并加深对太阳系起源多亿年前的情况，并加深对太阳系起源的进一步了解。的进一步了解。天文学家们将组织一场国际规模的观测，以期尽可能天文学家们将组织一场国际规模的观测，以期尽可能多地收集这次撞击的情况。美国宇航局还计划调整哈多地收集这次撞击的情况。美国宇航局还计划调整哈勃、斯皮策和钱德拉太空望远镜，在撞击时和撞击后勃、斯皮策和钱德拉太空望远镜，在撞击时和撞击后锁定锁定“坦普尔一号坦普尔一号”进行观测。进行观测。美国科学家一再强调，这次撞击不会摧毁彗星或使彗美国科学家一再强调，这次撞击不会
9、摧毁彗星或使彗星偏离其运行轨道进而撞击地球。星偏离其运行轨道进而撞击地球。121 1、两个质点的系统、两个质点的系统 质点系（内力、外力）质点系（内力、外力）一、一、质点系的动量定理质点系的动量定理1m2m1F2Fff11Ffm,:22Ffm,:dtpdfF11 dtpdfF22 ff内力：内力：外力：外力：12,FF 3.2 动量守恒定律动量守恒定律13dtpddtpdfFfF2121 f f dtpddtpdFF2121 1m2m1F2Fff 2121ppddtFF 142、n个质点的系统个质点的系统由于内力总是成对出现，所以内力矢量和为零。由于内力总是成对出现，所以内力矢量和为零。iii
10、iPddtF以以F 和和P表示系统的合外力和总动量，上式表示系统的合外力和总动量，上式可写为：可写为：pddtF 即即:形式同单质点的动量定理。形式同单质点的动量定理。注意注意:内力可传递、内力可传递、可改变各质点的动量可改变各质点的动量，但不改变，但不改变系统的总动量。系统的总动量。15PPddtFPPtt 2121积分形式积分形式微分形式微分形式3、质点系的动量定理质点系的动量定理pddtF 用质点系动量定理处理问题可避开内力。用质点系动量定理处理问题可避开内力。系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。16常常矢矢量量 iiiiivmPor一个质点系
11、所受的合外力为零时，这一质点一个质点系所受的合外力为零时，这一质点系的总动量就保持不变。系的总动量就保持不变。1 1、动量守恒定律、动量守恒定律二、动量守恒定律二、动量守恒定律00 iiiiPd,Fif172 2、分量形式、分量形式 当某个方向系统所受的合外力为零时，则当某个方向系统所受的合外力为零时，则在该方向上系统的动量守恒，即有在该方向上系统的动量守恒，即有183、动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。动量动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。动量 定理及动量守恒定律只适用于惯性系。动量若在某定理及动量守恒定律只适用于惯性系。动量若在某 一惯性系中守恒，则在其它一切惯性系中均守恒。一惯性
12、系中守恒，则在其它一切惯性系中均守恒。1、当外力当外力内力，且作用时间极短时（如碰撞），内力，且作用时间极短时（如碰撞），可认为动量近似守恒。可认为动量近似守恒。几点说明：几点说明：2、若某个方向上合外力为零，若某个方向上合外力为零，则该方向上动量守恒，则该方向上动量守恒，尽管总动量可能并不守恒。尽管总动量可能并不守恒。4、动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本的定律的定律,它在宏观和微观领域均适用。它在宏观和微观领域均适用。5、用守恒定律作题，应注意分析用守恒定律作题，应注意分析 过程、系统过程、系统和条件。和条件。19例：设炮车以仰角发射一炮弹，炮车和
13、炮弹例：设炮车以仰角发射一炮弹，炮车和炮弹的质量分别为的质量分别为M和和m，炮弹的出口速度的大小，炮弹的出口速度的大小为为v，求炮车的反冲速度，求炮车的反冲速度V，炮车与地面之间，炮车与地面之间摩擦力略去不计。摩擦力略去不计。q qvV解解:把炮车和炮弹看成一个系统把炮车和炮弹看成一个系统.发射前系统发射前系统在竖直方向受外力：在竖直方向受外力：重力，地面的支持力重力，地面的支持力.20在发射过程中垂直方向系统的动量是不守恒在发射过程中垂直方向系统的动量是不守恒的的（为什么？为什么？）.忽略炮车与地面之间的摩擦忽略炮车与地面之间的摩擦力，则系统所受外力在水平方向的分量为零，力，则系统所受外力在
14、水平方向的分量为零，炮弹与炮车间的作用力属系统内力，因而炮弹与炮车间的作用力属系统内力，因而系系统沿水平方向的分动量守恒统沿水平方向的分动量守恒。q qvV21Vvux q qcos系统水平方向动量守恒系统水平方向动量守恒 0 VvmMVq qcos得炮车的反冲速度为得炮车的反冲速度为 q qcosvMmmV 取炮弹前进时的水平方向为取炮弹前进时的水平方向为x轴正方向，那么轴正方向，那么炮弹出口速度（即炮弹相对于炮车的速度）炮弹出口速度（即炮弹相对于炮车的速度）沿沿x轴的分量是轴的分量是 ，炮车沿，炮车沿x轴的速度分轴的速度分量为量为 。动量守恒定律中的各动量必须是对动量守恒定律中的各动量必须
15、是对同一参考系而言的同一参考系而言的，设炮弹相对于地面的速，设炮弹相对于地面的速度为度为 ，其水平分量为，其水平分量为V uq qcosv22 例例2 2 一个静止的物体炸裂成一个静止的物体炸裂成三块。其中两块具有相等的质三块。其中两块具有相等的质量，且以相同的速率量，且以相同的速率30m30ms s沿沿相互垂直的方向飞开，第三块相互垂直的方向飞开，第三块的质量恰好等于这两块质量的的质量恰好等于这两块质量的总和，试求第三块的速度（大总和，试求第三块的速度（大小和方向）。小和方向）。解解:将此三碎块作为一系统，爆炸时火药的作用力为将此三碎块作为一系统，爆炸时火药的作用力为系统的内力，且爆炸力远大
16、于重力，故爆炸前后系统系统的内力，且爆炸力远大于重力，故爆炸前后系统的动量守恒。物体的动量原等于零，故有的动量守恒。物体的动量原等于零，故有0332211 vmvmvm或或332211vmvmvm 3v1v2v23 45112arctanarctanvvq q135180qa2223 31 122m vmvm v因因由图中矢量关系可知由图中矢量关系可知mmmm222213 求得大小为求得大小为图中图中角为角为三者在同一平面内。三者在同一平面内。且且3v1v2v21vv 21vv 间的夹角为间的夹角为 213vvv、与与24例例3、一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点、一炮弹发射后在其运行轨道上的
17、最高点h19.6m处炸裂成质量相等的两块。其中一块在爆炸处炸裂成质量相等的两块。其中一块在爆炸后后1秒钟落到爆炸点正下方的地面上，设此处与发秒钟落到爆炸点正下方的地面上，设此处与发射点的距离射点的距离S11000米米,问另一块落地点与发射点的问另一块落地点与发射点的距离是多少？（空气阻力不计，距离是多少？（空气阻力不计，g=9.8m/s2)v2yhxv1解：先求出爆炸点处水平方向上的初速度解：先求出爆炸点处水平方向上的初速度vx10100gtvgtvvyyy 2121212110212121gtgtgtgttvhy st21 smvtvSxx/50011 25爆炸中系统动量守恒爆炸中系统动量守
18、恒smvvyy/.714 12 v2yhxv1xxmvmv 2210212112 yymvmvsmvvxx/100022 1 t爆炸点处竖直方向上的初速度爆炸点处竖直方向上的初速度vy 为零为零2121gttvh smvvy/.71411 26第二块作斜抛运动第二块作斜抛运动22222221221gttvhytvsxyx落地时，落地时，y2=0 =0 所以所以t2=4s(t2 21s1s舍去舍去）x2 2=5000m=5000mmv1/2mv2/2mvx2728 粘附粘附 主体的质量增加（如滚雪球）主体的质量增加（如滚雪球）抛射抛射 主体的质量减少（如火箭发射）主体的质量减少（如火箭发射）低速
19、（低速（v c）情况下的两类变质量问题）情况下的两类变质量问题：下面仅以火箭飞行为例，讨论变质量问题。下面仅以火箭飞行为例，讨论变质量问题。还有另一类变质量问题：在高速（还有另一类变质量问题：在高速（v c）情）情况下，这时即使没有粘附和抛射，质量也可况下，这时即使没有粘附和抛射，质量也可以随速度改变以随速度改变 m=m(v)，3.3 火箭飞行原理火箭飞行原理29条件：条件：燃料相对箭体以恒速燃料相对箭体以恒速 u 喷喷出出初态：初态：系统质量系统质量 M，速度，速度v(对地对地)，动量，动量 M v火箭不受外力情形火箭不受外力情形（在自由空间飞行）（在自由空间飞行）一、火箭的速度一、火箭的速
20、度系统：系统：火箭壳体火箭壳体+尚存燃料尚存燃料总体过程：总体过程：i(点火点火)f(燃料烧尽燃料烧尽)先分析一先分析一微过程：微过程：t t+dtvu30Mm md d)(uvMMd d vvd t时刻时刻)(ttd d 时刻时刻：dm相对火箭体喷射速度，定值。相对火箭体喷射速度，定值。uMmd dd d 末态：末态：喷出燃料后喷出燃料后喷出燃料的质量：喷出燃料的质量：dm=-dM，喷出燃料速度喷出燃料速度(对地对地)：v-u31火箭壳体火箭壳体+尚存燃料的质量：尚存燃料的质量：M-dm系统动量：系统动量：(M-dm)(v+d v)+-dM(v-u)火箭壳体火箭壳体+尚存燃料的速度尚存燃料的
21、速度(对地对地)：v+d v 由动量守恒，有由动量守恒，有 M v=-dM(v-u)+(M-dm)(v+d v)经整理得：经整理得：Mdv =-udMMMudd v fiMMfiMMuddv速度公式：速度公式：fiifMMuln vv32引入引入火箭质量比：火箭质量比：fiMMN 得得Nuifln vv讨论：讨论：提高提高 vf 的途径的途径 (1)提高提高 u（现可达（现可达 u=4.1 km/s）(2)增大增大 N（受一定限制（受一定限制）为提高为提高N，采用多级火箭（一般为三级），采用多级火箭（一般为三级）v=u1ln N1+u2ln N2+u3ln N3 资料：资料：长征三号（三级大型
22、运载火箭）长征三号（三级大型运载火箭）全长：全长：43.25m，最大直径：最大直径：3.35m，起飞质量：起飞质量：202吨，起飞推力：吨，起飞推力：280吨力。吨力。33t+dt 时刻：时刻：速度速度 v-u，动量动量dm(v-u)由动量定理，由动量定理，dt内喷出气体所受冲量内喷出气体所受冲量 二、火箭所受的反推力二、火箭所受的反推力研究对象：研究对象：喷出气体喷出气体 dmt 时刻：时刻：速度速度v(和主体速度相同和主体速度相同)，动量动量 v dm F箭对气箭对气dt=dm(v-u)v dm=-F气对箭气对箭dt由此得火箭所受燃气的反推力为由此得火箭所受燃气的反推力为tmuFFdd 气
23、气对对箭箭34一、一、质心的概念质心的概念 水平上抛三角板水平上抛三角板 运动员跳水运动员跳水投掷手榴弹投掷手榴弹为便于研究质点系总体运动，引入为便于研究质点系总体运动，引入质心质心概念。概念。3.4 质心质心35二、二、质心位置的确定质心位置的确定质心代表质点系质心代表质点系质量分布的平均位置质量分布的平均位置，可以代表质，可以代表质点系的平动，是相对于质点系本身的一个特定位置。点系的平动，是相对于质点系本身的一个特定位置。mrmmrmrn1iiin1iin1iiic rcCmiyrixz0定义定义质心质心C的位矢为：的位矢为：mzmz,mymy,mxmxniiicniiicniiic 11
24、1表达式表达式各分量各分量36质量连续分布物体的质心质量连续分布物体的质心111,cccxxdm yydm zzdmmmmmdmrdmdmrrc rrcdmC0m zx y直角坐标系各分量直角坐标系各分量37说明说明:1、物体、物体(平均意义上平均意义上)的质量分布中心，与物体质量的质量分布中心，与物体质量 分布有关，与参考系无关分布有关，与参考系无关;2、区别于重心、区别于重心(重力合力的作用点重力合力的作用点)，均匀场中较小，均匀场中较小 物体，两者重合物体，两者重合;3、均匀分布的物体其质心在几何中心；均匀分布的物体其质心在几何中心；4、质心处不一定有质量；质心处不一定有质量；5、具有可
25、加性具有可加性 计算时可分解计算时可分解38“小线度小线度”物体的质心和重心是重合的。物体的质心和重心是重合的。均匀杆、圆盘、圆环、球，质心为其几何中心。均匀杆、圆盘、圆环、球，质心为其几何中心。三三、几种系统的质心、几种系统的质心 两质点系统两质点系统m2m1r1r2C m1 r1=m2 r239例例3.9:一段均匀铁丝弯成半径为一段均匀铁丝弯成半径为 R 的半圆形，求此的半圆形，求此 半圆形铁丝的质心。半圆形铁丝的质心。解：选如图坐标系，取长为解：选如图坐标系，取长为dl的铁丝，质量为的铁丝，质量为dm，以，以r rl表示表示线密度，线密度，dm=r rl dl，由对称性，由对称性知知质心
26、应在质心应在y轴。轴。q qRddl sinRy mdlyylc 注意：质心不在铁丝上。注意：质心不在铁丝上。q qq qmR2RdsinRm1y 2l0lcr rq qr rq q R2y Rmcl r r 40 xdxydxdSdm 22 axdxdxxdmxdmxaaC32222202202 例：求腰长为例：求腰长为a的等腰直角三角形均匀薄板的的等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。质心位置。解解:建立如图的坐标系，显然由对称性建立如图的坐标系，显然由对称性,yc=0.=0.在离原点处取宽为在离原点处取宽为dx的窄条，其质量为的窄条，其质量为dm,质心坐标为质心坐标为 41例：例：求求挖掉小
27、圆盘后系统的质心坐标。挖掉小圆盘后系统的质心坐标。(作业作业)解：解：由对称性分析，质心由对称性分析，质心C应在应在x轴上。轴上。令令 为圆盘的面密度，则质心坐标为：为圆盘的面密度，则质心坐标为：1/2 rRdR CxC Or Orddx y O均质圆盘均质圆盘挖空挖空 222CrRrd0 x ）（42 3.5 质心运动定理质心运动定理一、质心速度与质点系的总动量一、质心速度与质点系的总动量mrmrn1iiic ciiivmvmpp 结论：结论：系统内各质点的动量的矢量和等于系统内各质点的动量的矢量和等于系统质心的速度与系统质量的乘积。系统质心的速度与系统质量的乘积。mvmmtdrdmtdrd
28、viiiiCC 质点系质点系总动量总动量43二、质心运动定理二、质心运动定理 cCCamtdvdm)vm(tddtdPdF 外外由由camF 外外质心运动定律：质心运动定律：作用在系统上的合外力等于系作用在系统上的合外力等于系统的总质量与系统质心加速度的乘积。统的总质量与系统质心加速度的乘积。质心运动定理质心运动定理44质心的运动如同一个在质心位置处的质点的运质心的运动如同一个在质心位置处的质点的运动，该质点集中了整个质点系的质量和所受的动，该质点集中了整个质点系的质量和所受的外力。在质点力学中所谓外力。在质点力学中所谓“物体物体”的运动，实的运动，实际上是物体质心的运动。际上是物体质心的运动
29、。说明说明合外力合外力直接主导质点系的直接主导质点系的平动平动而质量中心而质量中心最有资格代表质点系的平动只要最有资格代表质点系的平动只要外力外力确定，不确定，不管作用点怎样，管作用点怎样，质心质心的的加速度加速度就确定，质心的就确定，质心的运动运动轨迹轨迹就确定，即质点系的就确定，即质点系的平动平动就确定。就确定。45系统系统内力内力不会影响质心的运动，不会影响质心的运动，例如：例如：在光滑水平面上滑动在光滑水平面上滑动的扳手，的扳手，其质心做匀速直线运动其质心做匀速直线运动;做跳马落地动作的运做跳马落地动作的运动员动员尽管在翻转，但其质心仍尽管在翻转，但其质心仍做抛物线运动做抛物线运动爆炸
30、的焰火弹虽然碎片四散，爆炸的焰火弹虽然碎片四散，但其质心仍在做抛物线运动但其质心仍在做抛物线运动46三、三、质心速度不变就是动量守恒质心速度不变就是动量守恒质点系动量守恒和质心匀速运动等价！质点系动量守恒和质心匀速运动等价！若合外力为零，若合外力为零，质点系动量守恒质点系动量守恒常矢量常矢量 ccva0则则若合外力分量为若合外力分量为0 0，质点系分动量守恒质点系分动量守恒则则相应的质心分速度不变相应的质心分速度不变47（自学）（自学）质心参考系质心参考系imircro c质心质心ir 讨论天体运动及碰撞等问题时常用到讨论天体运动及碰撞等问题时常用到质心系。质心系。质心系质心系是固结在质心上的
31、是固结在质心上的平动平动参考系。参考系。质点系的复杂运动通常可分解为：质点系的复杂运动通常可分解为：质点系整体随质心的运动；质点系整体随质心的运动；各质点相对于质心的运动各质点相对于质心的运动 在质心系中在质心系中 考察质点系的运动。考察质点系的运动。48分析力学问题时，利用质心系是方便的。分析力学问题时，利用质心系是方便的。Niiivm10 Niiirm10质心系的基本特征质心系的基本特征m1v10 m2v20 m1v1 m2v2 质心系中看两粒子碰撞质心系中看两粒子碰撞两质点系统在其质两质点系统在其质心系中，总是具有心系中，总是具有等值、反向等值、反向的动量。的动量。质心系是质心系是零动量
32、系零动量系49拉力拉力纸纸C球往哪边移动？球往哪边移动？思考思考50例例:质量为质量为m1和和m2的两个小孩，在光滑水平冰面上的两个小孩，在光滑水平冰面上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l。问他们。问他们将在何处相遇？将在何处相遇？解解:把两个小孩和绳看作把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向不一个系统，水平方向不受外力，水平方向动量受外力，水平方向动量守恒。守恒。1m2mO20 x10 xC建立如图坐标系，以两个小孩连线中点为原点，建立如图坐标系，以两个小孩连线中点为原点，设开始时他们的坐标分别为设开始时他们的坐标分别为x10、x20，任一时刻，任一时刻的速
33、度分别为的速度分别为v1、v2，坐标，坐标x1、x2。51由运动学公式得由运动学公式得两者相遇时两者相遇时x1=x2于是有于是有 ttdtvxdtvx022001110 tdtvvxx0122010或或:02211 vmvm1212vmmv 动量守恒动量守恒:52 ttdtvmmmdtvmmxx01022112120101 tmmxmxmdtv0211022021cxmmxmxmmmxmxmxx 2120210121102202101将上式代入将上式代入:即得即得:结果表明：两小孩在内力作用下，将在他们共同结果表明：两小孩在内力作用下，将在他们共同的质心相遇。的质心相遇。代入上式得代入上式得:
34、tdtvxx0110153prL 描述运动的重要物理量描述运动的重要物理量,又称又称动量矩。动量矩。一、质点对定点的角动量一、质点对定点的角动量 方向：垂直方向：垂直 组成的平面，组成的平面，右手螺旋法则右手螺旋法则Pr，3.6 质点的角动量和角动量定理质点的角动量和角动量定理思路思路:与处理动量定理、动量守恒问题相同与处理动量定理、动量守恒问题相同 a aa aLmO pr，va aa asinsinrmrpL 单位单位:kg m2/s大小：大小：54大小大小:L=mvr方向方向:圆面圆面不变不变L 质点作匀速率圆周运动时，对圆心的角动量质点作匀速率圆周运动时，对圆心的角动量:同一质点的同一
35、运动，其角动量却可以随固定点的同一质点的同一运动，其角动量却可以随固定点的 不同而改变。不同而改变。vmrLomOvlmLO 方向变化方向变化方向竖直向上不变方向竖直向上不变 vmrLmoOa asinvlmLO Ola avO 锥摆锥摆m55 sinprpdL 微观领域微观领域角动量量子化（自己看）角动量量子化（自己看）直线运动的角动量直线运动的角动量56prL 由：由：有：有：)pr(tddtdLd 定义力定义力对定点对定点O 的的力矩力矩：FrrFM0sin a aa asin0rr 称称力臂力臂FMa arOm r0tdpdrptdrd Frvmv Fr 二、力对定点的力矩二、力对定点
36、的力矩FrM 57三、角动量定理三、角动量定理即即:质点对某点的角动量的时间变化率等于质点对某点的角动量的时间变化率等于所受合外力对同一点的力矩。所受合外力对同一点的力矩。dtLdM tMLdd 1221LLtdMtt （积分形式）（积分形式）（微分形式）（微分形式）冲量矩，力矩对时冲量矩，力矩对时间的积累作用。间的积累作用。M、L须相对须相对同一参考点同一参考点58一、角动量守恒定律一、角动量守恒定律则则如果作用在质点上的外力对某定点如果作用在质点上的外力对某定点O的力矩的力矩为零，则质点对为零，则质点对O点点的角动量在运动过程中的角动量在运动过程中保持不变。这叫做质点的角动量守恒定律。保持
37、不变。这叫做质点的角动量守恒定律。,FrM0 0dtLd 3.7 角动量守恒定律角动量守恒定律常矢量常矢量 L 角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，不仅适角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，不仅适 用于宏观体系，也适用于微观体系，而且在高速低用于宏观体系，也适用于微观体系，而且在高速低速范围均适用。速范围均适用。59 OmvFLa a（中心力）（中心力）r常常矢矢量量 )vm(rL（1 1）mv r sina a const.（2）行星在速度和有心力行星在速度和有心力 所组成的平面内运动所组成的平面内运动二、角动量守恒定律的条件二、角动量守恒定律的条件 过过O点：中心力点：中心力（如行星受
38、中心恒星的万有引力）（如行星受中心恒星的万有引力）00FMF （例：（例：3.17）60a aa asindtrdrmsinrmvL 常数常数 tsinrrlimmt a a 0dtdSmtSlimmLt220 a a sinrrS21 利用：利用：mvr r Sa asinr a aL太阳太阳行星行星证明：有心力证明：有心力力矩为零力矩为零角动量为常矢量角动量为常矢量常常数数掠掠面面速速度度 dtdS角动量方向不变：角动量方向不变：行星轨道平面方位不变行星轨道平面方位不变行星相对太阳的矢径在相等的时间内扫过相等行星相对太阳的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。在近日点转得快，在远日点转得慢。的
39、面积。在近日点转得快，在远日点转得慢。例例3.18：角动量守恒定律导出行星运动的开普勒第二角动量守恒定律导出行星运动的开普勒第二定律。定律。61盘状星系盘状星系:角动量守恒的结果角动量守恒的结果62L球形原始气云具有初始角动量球形原始气云具有初始角动量L，在垂直于在垂直于L方向，方向，引力使气云收缩，角动量守恒，粒子的旋转速度引力使气云收缩，角动量守恒，粒子的旋转速度，惯性离心力惯性离心力，离心力与引力达到平衡，离心力与引力达到平衡，维持一定维持一定的半径。的半径。但在与但在与L平行的方向无此限制，所以形成平行的方向无此限制，所以形成了了旋转盘状结构。旋转盘状结构。63如图所示，将一个质量为如
40、图所示，将一个质量为m的小球的小球系在轻绳的一端，绳穿过一竖直系在轻绳的一端，绳穿过一竖直的管子，一手执绳，先使小球以的管子，一手执绳，先使小球以速度速度v1在水平面内沿半径为在水平面内沿半径为r1的圆的圆周运动，然后向下拉绳，使小球周运动，然后向下拉绳，使小球的半径减小为的半径减小为r2,实验发现，这时实验发现，这时小球的速度增大为小球的速度增大为v2。实验得到。实验得到的规律是的规律是实例：实例：1122rvrv 上式两边乘小球质量上式两边乘小球质量m，得，得1122rmvrmv 由此可见，尽管小球在绕由此可见，尽管小球在绕O点转动时的动量时刻在变点转动时的动量时刻在变化，而其角动量却是恒
41、定的。因此，在研究物体的转化，而其角动量却是恒定的。因此，在研究物体的转动时，角动量将代替动量而起重要的作用。动时，角动量将代替动量而起重要的作用。64例题：我国第一颗人造卫星绕地球沿椭圆轨道运动，例题：我国第一颗人造卫星绕地球沿椭圆轨道运动，地球的中心地球的中心O为该椭圆的一个焦点。已知地球的平均半为该椭圆的一个焦点。已知地球的平均半径径R=6378 km，人造卫星距地面最近距离，人造卫星距地面最近距离l1=439 km，最远距离最远距离l2=2384km。若人造卫星在近地点。若人造卫星在近地点A1的速度的速度v1=8.10kms，求人造卫星在远地点，求人造卫星在远地点A2的速度。的速度。解
42、解:人造卫星在运动中受地球人造卫星在运动中受地球的引力（有心力）作用，此力的引力（有心力）作用，此力对地心不产生力矩，人造卫星对地心不产生力矩，人造卫星对地心的角动量守恒。故对地心的角动量守恒。故 2211lRmvlRmv 解得解得65一、质点系对定点的角动量一、质点系对定点的角动量 iiiitdLdLtddtdLd）（）（内内外外iiiMM 内内外外MM 3.8 质点系的角动量定理质点系的角动量定理iiiiiPrLL 二、质点系动量定理和守恒定律二、质点系动量定理和守恒定律ojriFirjFfijfji ijijiiifFrdtdL:i个个质质点点第第 66)fr(MMijijiiii 内内
43、内内 iiiiiFrMM 外外外外其中：其中：ojriFirjFfijfjiri-rj任意两质点相互作用的力矩之和：任意两质点相互作用的力矩之和：0 ijjijijijifrrfrfr0 内内M67常常矢矢量量，则则若若外外 L 0M tdLdM 外外于是有：于是有：质点系质点系角动量定角动量定理理形式上与质点的角动量定理完全相同；形式上与质点的角动量定理完全相同；内力对定点的力矩之和为零；内力对定点的力矩之和为零；只有外力矩才能改变系统的总角动量。只有外力矩才能改变系统的总角动量。质点系角质点系角动量守恒动量守恒定律定律68例：例：一根长为一根长为l 的轻质杆，端部固结一小球的轻质杆，端部固
44、结一小球m1，另另 一小球一小球m2以水平速度以水平速度v0碰杆中部并与杆粘合。碰杆中部并与杆粘合。求：求：碰撞后杆的角速度碰撞后杆的角速度2222102lmlllmml vlmmm021242v 解：解：选选m1（含杆）含杆）+m2为系统为系统碰撞时重力和轴力都通过碰撞时重力和轴力都通过O，对对O力矩为零，故角动量守恒。力矩为零，故角动量守恒。lm1Ov0m2 解得：解得：有有69 动量定理动量定理 角动量定理角动量定理dtLdMdtPdF 2121ttttLdtMPdtF 0000 LMPF 21ttdtFPF 21ttdtMLM力力力矩或角力力矩或角力动量动量角动量角动量或动量矩或动量矩
45、力的冲量力的冲量力矩的冲量力矩的冲量或冲量矩或冲量矩与固定点有关与固定点有关,与内力矩无关与内力矩无关与固定点无关与固定点无关,与内力无关与内力无关70一、质心系中的角动量一、质心系中的角动量 O 是惯性系中的一个定点是惯性系中的一个定点C 是质心兼质心坐标系原点是质心兼质心坐标系原点)(iiimrLv 对质心对质心对对O点点)(iiimrLv C 对对O CiCCmrLv)(利用关系：利用关系：。）（v v 00 Ciim，Ciirrr ，）（00 Ciirrm vvv，Cii 可以证明（自己推导）：可以证明（自己推导）：CLLL O系为惯性系系为惯性系 vi vCC y x OrCri v
46、iFi z imir 3.9 质心系中的角动量质心系中的角动量71二、质点系对质心的角动量定理：二、质点系对质心的角动量定理：)(ddd dCLLttL ）（iCiiFrFr0iCiFrr )(外外MFrii )(ddPrLtC ）（tPrPtrtLCCdddddd tLMd d 外外 质心系中质点对质心系中质点对质心质心的角动量定理的角动量定理即有即有72 这再次显示了质心的这再次显示了质心的尽管质心系可能不是惯性系，尽管质心系可能不是惯性系，但对质心来说，但对质心来说，角动量定理仍然成立。角动量定理仍然成立。特殊之处特殊之处和选择质心系来讨论问题的优点。和选择质心系来讨论问题的优点。若质心
47、系是非惯性系，若质心系是非惯性系，则外力矩中应包括则外力矩中应包括tLMMCdd 惯惯惯性力对质心的力矩：惯性力对质心的力矩：iiiCCamrM）（惯惯设质心加速度为设质心加速度为 ，Ca则有则有这正是即使质心系为非惯性系，但质点系对这正是即使质心系为非惯性系，但质点系对 iiCiarm0）（质心的角动量仍能满足角动量定理的原因。质心的角动量仍能满足角动量定理的原因。73 第三章结束第三章结束小结：动量与角动量的比较小结：动量与角动量的比较角动量角动量 iiiprL矢量矢量与固定点有关与固定点有关与内力矩无关与内力矩无关守恒条件守恒条件0 iiiFr动量动量 iiimpv矢量矢量与内力无关与内力无关守恒条件守恒条件0 iiF与固定点无关与固定点无关
