1、概率论的基本知识概率论的基本知识一、概率的基本性质一、概率的基本性质1 1、概率的定义、概率的定义若在相同条件下重复进行同一个试验，在总次数N足够多的情况下（N），计算所出现某一事件的次数NL，则这一事件出现的百分比就是该事件出现的概率：)(limNNPLNL概率是大量偶然事件从整体上反映出来的一种规律性。概率是大量偶然事件从整体上反映出来的一种规律性。2 2、概率的基本性质、概率的基本性质(1)，即事件，即事件i的概率只可能在的概率只可能在0和和1之间。之间。10iP(2)各种可能发生的事件的概率总和等于各种可能发生的事件的概率总和等于1.1.归一化条件归一化条件11iiP在掷骰子时，一般认
2、为出现每一面向上的概率是相等的。在掷骰子时，一般认为出现每一面向上的概率是相等的。由此可总结出一条基本原理：由此可总结出一条基本原理：等概率性等概率性在没有理由说明哪一事件出现概率更大些（或更在没有理由说明哪一事件出现概率更大些（或更小些）情况下，每一事件出现的概率都应相等。小些）情况下，每一事件出现的概率都应相等。3 3、等概率性等概率性（1）概率相加法则）概率相加法则 n个互相排斥事件发生的总概率是每个事件发生概率之和。个互相排斥事件发生的总概率是每个事件发生概率之和。（2）概率相乘法则）概率相乘法则 同时或依次发生的，互不相关（相互统计独立）的事件同时或依次发生的，互不相关（相互统计独立
3、）的事件发生的概率等于各个事件概率之乘积。发生的概率等于各个事件概率之乘积。3 3、概率的基本法则概率的基本法则二、随机变量二、随机变量 如果一变量在一定条件下，能以确定的概率取各种不同如果一变量在一定条件下，能以确定的概率取各种不同的数值，则该变量称为的数值，则该变量称为。niniPPPxxx,11表示方式表示方式取值有限、分立取值有限、分立 iP,.2,1,10iPi1iP为随机变量为随机变量x x的概率，满足条件：的概率，满足条件：归一化条件归一化条件 变量变量x可取某一区间内的一切数值。可取某一区间内的一切数值。取值无限、连续取值无限、连续随机变量随机变量x的的概率密度概率密度:概率密
4、度概率密度f(x)等于随机变量取值在单位间隔内的概率，等于随机变量取值在单位间隔内的概率，又称为又称为概率分布函数（简称分布函数）概率分布函数（简称分布函数）。dxxdPxf)()(xxxxxxdd1lim1lim)(00NNNNNNf分布函数分布函数概率分布函数概率分布函数f（x），），满足条件：满足条件：bxaxf,1)(0 归一化条件归一化条件1)(dxxfba离散量与连续量的分布函数离散量与连续量的分布函数)/(xNNOxxxx连续量的分布函数曲线连续量的分布函数曲线返回返回1返回返回2三、统计平均值三、统计平均值对于离散型随机变量对于离散型随机变量iiikiiikiiikkkxPxN
5、NNxNNNNxNxNxNx11212211kiiikiiikiiixPxNNNxNx1212122统计平均值为统计平均值为方均值为方均值为对于连续型随机变量对于连续型随机变量统计平均值为统计平均值为dxxxfxba)(dxxfxxba)(22方均值为方均值为四、方差（涨落）四、方差（涨落）表示随机变量表示随机变量x的取值在其统计平均值附近分散的程度。的取值在其统计平均值附近分散的程度。（或描述（或描述x的取值在其统计平均值上下涨落的平均幅度。）的取值在其统计平均值上下涨落的平均幅度。）0 x0)(2x定义相对均方根偏差：定义相对均方根偏差：xxxrms2/12)()(相对均方根偏差表示了随机
6、变量在平均值附近分散开分布的程度，也称为涨落、散度或散差。称为涨落、散度或散差。“涨落涨落”现现象象-测量值与统计值之间总有偏离测量值与统计值之间总有偏离 处在平衡态的系统的宏观量，如压强处在平衡态的系统的宏观量，如压强p，不随时，不随时间改变，间改变，但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样，情况完全一样，分子数越多，涨落就越小。分子数越多，涨落就越小。涨落现象涨落现象分布曲线分布曲线飞镖飞镖F(x)从入口投入小球与钉碰从入口投入小球与钉碰撞落入狭槽撞落入狭槽(偶然偶然)为清楚起见为清楚起见 ,从正面来观察。从正面来观察。隔板隔板铁钉铁钉伽耳顿板伽
7、耳顿板 大量偶然事件整体所遵大量偶然事件整体所遵循的规律循的规律 统计规律。统计规律。再投入小球：再投入小球：经一定段时间后经一定段时间后,大量小球落大量小球落入狭槽。入狭槽。分布情况：中间多，两边少。分布情况：中间多，两边少。重复几次重复几次，结果相似。，结果相似。单个小球运动是随机的单个小球运动是随机的,大量小球运动分布是确定的。大量小球运动分布是确定的。小球数按空间小球数按空间位置分布曲线位置分布曲线少数分子无规律性少数分子无规律性大量分子的统计分布大量分子的统计分布统计规律特点统计规律特点:（1 1）只对大量偶然的事件才有意义。）只对大量偶然的事件才有意义。（2 2）它是不同于个体规律
8、的整体规律）它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变量变到质变)。（3 3）大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。）大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。（4 4）统计规律是以动力学规律为基础的。）统计规律是以动力学规律为基础的。（5 5）永远伴随着涨落现象。）永远伴随着涨落现象。统计规律性统计规律性是对大量偶然事件整体起作用的规律，是对大量偶然事件整体起作用的规律，它表现了这些事物整体的本质和必然的联系。对于它表现了这些事物整体的本质和必然的联系。对于由大量分子组成的热力学系统从微观上加以研究时，由大量分子组成的热力学系统从微观上加以研究时，必须用统计的方法。必须用统计的方法。2 2 用分子射线
9、实验验证麦克斯韦速度分布律用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律葛正权实验装置葛正权实验装置 分布曲线分布曲线 令令R以恒定的角速度转动较长的时间（一二十小时）。然以恒定的角速度转动较长的时间（一二十小时）。然后取下玻璃板后取下玻璃板G，用测微光度计测定板上各处沉积的铋层的厚，用测微光度计测定板上各处沉积的铋层的厚度，找出铋层厚度随度，找出铋层厚度随s变化的关系，从而确定铋分子按速率分变化的关系，从而确定铋分子按速率分布的规律。布的规律。tDDs212sDv22设速率为设速率为v的分子沉积在的分子沉积在P处，处，s表示弧表示弧PP长度，长度，表示表示R的的角速度，角速度，D D表示表示R R的直
10、径。的直径。vDt u 铋分子由铋分子由S3到达到达P处所需时间为：处所需时间为：u t 时间内时间内R R转过的角度为：转过的角度为：tu 弧弧PP长度：长度：德国物理学家斯特恩（德国物理学家斯特恩（Sterm）最早于）最早于19201920年做了分子射线年做了分子射线束实验以测定分子射线束中的分子速率分布曲线。束实验以测定分子射线束中的分子速率分布曲线。此处介绍朗缪尔（此处介绍朗缪尔（LangmuirLangmuir）的实验装置。）的实验装置。（装置置于真空之中）（装置置于真空之中）淀积屏淀积屏P速率筛速率筛SWW狭缝屏狭缝屏分子源分子源 实验装置实验装置lHg金属蒸汽金属蒸汽显示屏显示屏
11、狭狭缝缝接抽气泵接抽气泵ltlvv分子束中能穿过第一个凹槽的分子同时能第二个凹槽时，它的速分子束中能穿过第一个凹槽的分子同时能第二个凹槽时，它的速率率v 满足如下关系：满足如下关系：密勒库什实验装置密勒库什实验装置分布曲线分布曲线u 只要调节不同的旋转角速度只要调节不同的旋转角速度，就可以测出不同速率范围，就可以测出不同速率范围v 内（凹槽有一定宽度）的分子射线强度，从而得到不同速内（凹槽有一定宽度）的分子射线强度，从而得到不同速率范围的分子数比率。率范围的分子数比率。分子射线的速率分布曲线分子射线的速率分布曲线1.1.气体分子的速率分布律气体分子的速率分布律一、速率分布函数一、速率分布函数1
12、 1、速率分布函数的定义、速率分布函数的定义平衡态下，气体分子速率平衡态下，气体分子速率v v可以看做在可以看做在0之间连续分布的。之间连续分布的。设系统的总分子数为：设系统的总分子数为：N 速率在速率在vv+dv之间的分子数：之间的分子数：dN 速率在速率在vv+dv之间的分子数占系统总分子数的比率：之间的分子数占系统总分子数的比率：dP=dN/N（对于任意一个分子来说，速率处于（对于任意一个分子来说，速率处于vv+dv之间的概率）之间的概率）平衡态下的速率分布函数：平衡态下的速率分布函数：NdvdNdvdPvf)(2 2、速率分布函数的物理意义、速率分布函数的物理意义NdvdNdvdPvf
13、)(对任意一个分子而言，它的对任意一个分子而言，它的速率刚好处于速率刚好处于v值附近单位值附近单位速率区间内的概率。速率区间内的概率。在速率在速率v附近，单位速率附近，单位速率区间内的分子数占系统总区间内的分子数占系统总分子数分子数N的比率。的比率。f(v)也称为分子速率分布的也称为分子速率分布的概率密度概率密度3 3、速率分布函数的应用、速率分布函数的应用n vv+dv区间的分子数：区间的分子数：dvvNfdN)(n vv+dv区间的分子数在总数中占的比率：区间的分子数在总数中占的比率：（一个分子的速率在（一个分子的速率在vv+dv区间的概率）区间的概率）dvvfNdN)(n v1v2区间的
14、分子数为：区间的分子数为：21)(vvdvvNfNn v1v2区间的分子数在总数中占的比率区间的分子数在总数中占的比率:(即一个分子的速率在即一个分子的速率在v1v2区间的概率区间的概率)21)(vvdvvfNN21,0 vv1)(0dvvf 速率分布函数的归一化条件速率分布函数的归一化条件 二、麦克斯韦速率分布律二、麦克斯韦速率分布律 在平衡状态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，在平衡状态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间分布在任一速率区间vvdv内的分子的比率为：内的分子的比率为：速率分布函数：速率分布函数：dvvekTmNdNkTvm22/2/3020)2(42
15、2/2/3020)2(4)(vekTmvfkTvm反映理想气体在热动平衡条件下，各速率区间分子数占总反映理想气体在热动平衡条件下，各速率区间分子数占总分子数的百分比的规律。分子数的百分比的规律。1 1、麦克斯韦速率分布律、麦克斯韦速率分布律 2 2、速率分布曲线、速率分布曲线 曲线下矩形面积的物理意义：NdN 图中任一区间图中任一区间vvdv内，曲线下的窄条面积表内，曲线下的窄条面积表示速率分布在这区间内分子数占总分子数的比率：示速率分布在这区间内分子数占总分子数的比率：图中任一有限范围图中任一有限范围v1v2内，曲线下的面积则内，曲线下的面积则表示在这个范围内分子数占总分子数的比率表示在这个
16、范围内分子数占总分子数的比率 ：NN 由归一化条件，在由归一化条件，在0区间，区间，曲线下的面积为曲线下的面积为1 1。ovvNNvfdd)(vvvdovvfd)(v1 v2 三、三种统计速率三、三种统计速率 1 1、最概然速率、最概然速率vp0d)(dpvvvvf在vp附近单位速率区间内的分子数占系统总分子数的比率最大；或者说，对于一个分子而言，它的速率刚好处于vp附近单位速率区间内的概率最大。物理意义v)(vfopvmaxf根据分布函数求得根据分布函数求得MRTMRTmkTvp41.1220 同种同种 分子不同温度的速率分布分子不同温度的速率分布KT30011pv2pvKT12002v)(
17、vfo相同温度下不同种类气体相同温度下不同种类气体的速率分布的速率分布2H2O2pOv2pHvv)(vfo2、分子的平均速率、分子的平均速率v 大量分子的速率的算术平均值。大量分子的速率的算术平均值。平均值计算式为平均值计算式为)()(某区间某区间NNvvdd 计算整个速率空间的平均速率计算整个速率空间的平均速率NdvvvNfdvvNfdvvvNfv000)()()(任意区间任意区间v1v2内的平均速率内的平均速率21212121)()()()(vvvvvvvvdvvfdvvvfdvvNfdvvvNfvvvvfd0)(根据分布函数求得根据分布函数求得MRTMRTmkTdvvvfv59.188)
18、(003、分子的方均根速率、分子的方均根速率2v 求整个速率空间的方均速率求整个速率空间的方均速率NvvNfvNNvvv02022)(dd02)(vvfvd)()(22某区间某区间NNvvdd平均值计算式为平均值计算式为 任意区间任意区间v1v2内的方均速率内的方均速率21212121)()()()(222vvvvvvvvdvvfdvvfvdvvNfdvvNfvv根据分布函数求得根据分布函数求得MRTMRTmkTv73.1330200223)(mkTdvvfvv1)1)平均值的计算公式注意上下区间的一致性平均值的计算公式注意上下区间的一致性讨论讨论21212121)()()()(vvvvvvv
19、vdvvfdvvvfdvvNfdvvvNfv21212121)()()()(222vvvvvvvvdvvfdvvfvdvvNfdvvNfvv2)速率分布的特征速率速率分布的特征速率pvv2v73.1:59.1:41.1:2vvvp当气体的温度当气体的温度T和摩尔质量和摩尔质量M相同时：相同时：)(vfOpvv2vv(n为分子数密度为分子数密度)2、说明下列各量的物理意义、说明下列各量的物理意义dvvfvv21)()4(dvvNfvv21)()5(dvvf0)()7(dvvvf0)()8(dvvfv02)()9(dvvNvfvv21)()6(dvvf)()1(dvvNf)()2(dvvnf)()
20、3(1、课本：P82 1 思考题答：答：分布在速率分布在速率 v 附近附近 v v+dv 速率区间内的分子数占速率区间内的分子数占总分子数的比率。总分子数的比率。分布在速率分布在速率 v 附近附近 v v+dv 速率区间内的分子数。速率区间内的分子数。单位体积内分子速率分布在速率单位体积内分子速率分布在速率 v 附近附近 v v+dv 速率区间内的分子数。速率区间内的分子数。NdvdNvf)(NdNdvvf)()1(dNdvvNf)()2(VdNNdNVNdvvnf)()3(2121)()4(vvvvNdNdvvf 分布在有限速率区间分布在有限速率区间v1 v2 内的分子数占总分子数的内的分子
21、数占总分子数的比率。比率。2121)()5(vvvvdNdvvNf 分布在有限速率区间分布在有限速率区间v1 v2 内的分子数。内的分子数。2121)()6(vvvvvdNdvvNvf 分布在有限速率区间分布在有限速率区间v1 v2 内的间所有分子的速率内的间所有分子的速率之和之和。分布在分布在 0 速率区间内的分子平均速率。速率区间内的分子平均速率。分布在分布在 0 速率区间内的分子速率速率区间内的分子速率v2 的平均值。的平均值。1)()7(0dvvfvdvvvf0)()8(分布在分布在 0 速率区间内的分子数占总分子数的比率。速率区间内的分子数占总分子数的比率。（归一化条件）归一化条件）
22、202)()9(vdvvfvvNvdNdvvvfvvvv2121)(对比对比（A A）vp是气体分子中大部分分子所具有的速率是气体分子中大部分分子所具有的速率（B B）vp 是速率最大的速度值是速率最大的速度值（C C）vp是麦克斯韦速率分布函数的最大值是麦克斯韦速率分布函数的最大值（DD）速率大小与最概然速率相近的气体分子的比率最大速率大小与最概然速率相近的气体分子的比率最大3 3、麦克斯韦速率分布中最概然速率、麦克斯韦速率分布中最概然速率vp的概念，下面的概念，下面哪种表述正确？哪种表述正确？恒温器中放有氢气瓶，现将氧气通入瓶内，某些速率大的氢分子具备与氧分子化合的条件（如只有当速率大于某
23、数值v1的两个氢分子和一个氧分子碰撞后才能复合为水），同时放出热量。问瓶内剩余的氢分子的速率分布改变吗？（一种观点认为，因为氢气分子中速率大的分子减少了，所以分子的速率分布应该向温度低的方向变化；另一种观点认为，因为这是放热反应，气体温度应该升高，速率分布应该向温度高的方向变化，您认为如何？）若氢气瓶为绝热容器，情况又如何？课本：P82 5答：在气体化学反应进行过程中，平衡态尚未达到时是答：在气体化学反应进行过程中，平衡态尚未达到时是谈不上什么速率分布的。平衡态建立以后，混合气体中氢分谈不上什么速率分布的。平衡态建立以后，混合气体中氢分子和氧分子的速率分布决定于它们自己的温度。若容器为恒子和氧
24、分子的速率分布决定于它们自己的温度。若容器为恒温器，则速率分布不变。若为绝热容器，由于是放热反应，温器，则速率分布不变。若为绝热容器，由于是放热反应，故温度要升高，速率分布向温度高的方向改变。故温度要升高，速率分布向温度高的方向改变。课本：P82 3、4、6、7、8 思考题 例 题课本：P83 1、2、3、4 例例1:已知分子数已知分子数N，分子质量，分子质量m0，分布函数，分布函数 f(v),求：求：1）速率在）速率在 间的分子数；间的分子数；2）速率在）速率在 间所有分子动能之和间所有分子动能之和。vv d)(dNfN 速率在速率在 间的分子数间的分子数:d vvv1）vvpdvvNf)(
25、2）pvdvvNfvm)(2120解：解：pvvvp例例2:如图示两条曲线分别表示氢气和氧气在同一温如图示两条曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，度下的麦克斯韦速率分布曲线，从图上数据求出氢从图上数据求出氢气和氧气的最概然速率气和氧气的最概然速率。)(vf)/(smv2000oMRTmkTvp220解：解：)()(22HMOM)()(22OvHvppsmHvp/2000)(24232)M(H)M()()(2222OOvHvpp又smOvp/500)(2例题例题3：求在标准状态下，求在标准状态下，1.0m3氮气中速率处于氮气中速率处于500501ms-1之间的分子数密度。之
26、间的分子数密度。（参考课本（参考课本P84 5P84 5）解：解：KT15.273Pap510013.1131028molkgMkgNMmA2623301065.410022.61028325235107.215.2731038.110013.1mkTpnvvekTmNNnnkTvm222302024111,500smvsmv31085.1nn322253100.5107.21085.1mn已知已知例例4：估算：估算O2 在在 T=300 K 时速率在时速率在 790 800 m/s 区区间内的分子数占总分子数的百分比。间内的分子数占总分子数的百分比。（参考课本（参考课本P84 6P84 6）
27、解解:vvekTmvvfNNkTvm22/2/3020)2(4)(Kvvv30010m/s790Tm/sdm/s395103230031.823pvMRTmkTvp220%42.0)(4)(2/322vvevvvfNNpvvp解：解：vvekTmNNkTvm222302024已知已知vvvmkTvvpp01.001.0,20%83.001.0144132evvevvNNpvvp例题例题5 5：求气体分子速率在：求气体分子速率在 区间内的分子区间内的分子数占全部分子数的百分率。数占全部分子数的百分率。（参考课本（参考课本P84 7P84 7（1 1）pppvvv01.0例题例题6:6:有有N N
28、个粒子，其速率分布函数为个粒子，其速率分布函数为:（1 1）作速率分布曲线）作速率分布曲线（2 2）求常数）求常数C（3 3）求粒子的平均速率）求粒子的平均速率（4 4）求粒子的方均根速率）求粒子的方均根速率（参考课本（参考课本P84 12P84 12）解：解：（1）速率分布曲线如图速率分布曲线如图1)(00ovCvCdvdvvfoovC1)(vfC (vo v 0)0 (v vo)Cvov)(vfO（2）求常数）求常数C2)(200ovvCCvdvdvvvfvo2212ooovvvv20202231)(ovvdvCvdvvfvvoovv332（3）（4）作业题1 1、对于给定的理想气体，试分
29、别求、对于给定的理想气体，试分别求v=vp/2，2vp和和3vp的速率的速率附近与最概然速率附近与最概然速率vp的附近相比，在的附近相比，在v相同的速率小区间内相同的速率小区间内的分子数比。的分子数比。2 2、一由、一由N个粒子组成的系统，平衡态下粒子的速率分布个粒子组成的系统，平衡态下粒子的速率分布曲线如下图所示。试求：曲线如下图所示。试求：（1 1）速率分布函数；）速率分布函数；（2 2）速率在）速率在0v0/2范围内的粒子数；范围内的粒子数；（3 3）粒子的平均速率、方均根速率和最概然速率。）粒子的平均速率、方均根速率和最概然速率。四、麦克斯韦速度分布律四、麦克斯韦速度分布律1、速度空间
30、、速度空间 以以vx，vy，vz为轴的直角坐标系（或以为轴的直角坐标系（或以v、为为坐标的球坐标系）所确定的空间。坐标的球坐标系）所确定的空间。速度空间中的一个微分体积元速度空间中的一个微分体积元d=dvxdvvdvz表示：表示：速度速度矢量的取值范围在矢量的取值范围在vx vx+dvx，vy vy+dvy，vz vz+dvz 内的内的所有那些速度矢量的整体，而所有那些速度矢量的整体，而vx，vv，vz是该立方体是该立方体微分元微分元dvxdvvdvz中最靠近原点的那一点的坐标。中最靠近原点的那一点的坐标。速度空间中一个点代表什么速度空间中一个点代表什么：从原点向某一点画出一矢从原点向某一点画
31、出一矢量，该矢量的大小和方向就是所对应的速度矢量。量，该矢量的大小和方向就是所对应的速度矢量。2、麦克斯韦速度分布律、麦克斯韦速度分布律 麦克斯韦速度分布函数麦克斯韦速度分布函数分子速度在区间分子速度在区间 内的概率：内的概率：vdvvNdNv分子速度在分子速度在 附近单位区间内的概率密度：附近单位区间内的概率密度：zyxzyxdvdvNdvdNvvvf),(),(zyxvvvv气体分子的速度矢量：气体分子的速度矢量：zyxkTvvvmdvdvdvekTmNdNzyx2/)(2/302220)2(设总分子数设总分子数N，在平衡状态下，当气体分子间的相互，在平衡状态下，当气体分子间的相互作用可以
32、忽略时，作用可以忽略时，速度分量速度分量vx在区间在区间 vx vx+dvx 内内，速度分量速度分量vy在区间在区间 vy vy+dvy 内内 ，速度分量速度分量vz在区间在区间 vz vz+dvz 内的内的分子的比率为：分子的比率为：麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律kTvvvmzyxzyxekTmvvvf2/)(2/302220)2(),(麦克斯韦速度分布函数麦克斯韦速度分布函数 麦克斯韦速度分量的分布函数麦克斯韦速度分量的分布函数由概率相乘法则：由概率相乘法则：NdNNdNNdNNdNzyxvvvvx，vy，vz相互独立相互独立 zzyyxxzyxzyxdvvfdvvfdvvfdvdv
33、dvvvvf)()()(),()()()(),(zyxzyxvfvfvfvvvf 速度分量速度分量vx的分布函数：的分布函数：速度分量速度分量vy和和vz的分布函数：的分布函数：kTvmxvxxxekTmNdvdNvf2/2/1020)2()(速度分量的分布函数速度分量的分布函数kTvmyvyyyekTmNdvdNvf2/2/1020)2()(kTvmzvzzzekTmNdvdNvf2/2/1020)2()(也可通过积分求解：课本63 速度分量的分布曲线速度分量的分布曲线图中曲线下的矩形阴影部分面积为：图中曲线下的矩形阴影部分面积为：NdNxv 注意点注意点 适用范围适用范围：麦克斯韦在导出速
34、度分布律过程中没有考虑到气体分子间的相互作用，故这一速度分布律只适用于处于平衡态的理想气体。归一化条件：归一化条件：1),(zyxzyxdvdvdvvvvf 最概然速度的概念：最概然速度的概念：02222zyxvvvv速度分布中概率取极大时的速度就是最概然速度。由麦克斯速度分布中概率取极大时的速度就是最概然速度。由麦克斯韦速度分布律可得出，韦速度分布律可得出，时，概率取极大。则最时，概率取极大。则最概然速度就是速率为零处的速度，或者说是速度矢量等于零概然速度就是速率为零处的速度，或者说是速度矢量等于零处的速度。与最概然速率是两个完全不同的概念。处的速度。与最概然速率是两个完全不同的概念。思考题
35、分析以下各式的物理意义分析以下各式的物理意义),()1(zyxvvvf 速度空间中任何位置处的概率密度速度空间中任何位置处的概率密度),()2(zyxvvvNf速度空间中的分子数密度速度空间中的分子数密度 zyxzyxdvdvNdvdNvvvf),(zyxzyxdvdvdvvvvf),()3(三个速度分量在三个速度分量在vx vx+dvx,vy vy+dvy,vz vz+dvz范范围内的概率或速度矢量端点落在速度空间中体积元围内的概率或速度矢量端点落在速度空间中体积元dvxdvydvz内的分子数占总分子数的比率。内的分子数占总分子数的比率。zzyyxxdvvfdvvfdvvf)()()()4(
36、意义与意义与(3)(3)相同相同yyxxdvvfdvvf)()()5(三个速度分量在三个速度分量在vx vx+dvx,vy vy+dvy,而而-vz+范围内的范围内的概率；也表示速度矢量端点落在速度空间中截面积为概率；也表示速度矢量端点落在速度空间中截面积为dvxdvy，其，其棱平行于棱平行于vz轴的无穷长柱体中分子数与总分子数之比。轴的无穷长柱体中分子数与总分子数之比。xxdvvf)()6(三个速度分量在三个速度分量在vx vx+dvx，而，而-vy+，-vz+范围范围内的概率；也表示速度矢量端点落在速度空间中垂直于内的概率；也表示速度矢量端点落在速度空间中垂直于vx轴厚轴厚度为度为dvx的
37、无穷薄平板中的分子数与总分子数之比。的无穷薄平板中的分子数与总分子数之比。3 3、从麦克斯韦速度分布律导出速率分布、从麦克斯韦速度分布律导出速率分布速率分布律是速度分布律的特殊情形，是由速度分布律导出的。速率分布律是速度分布律的特殊情形，是由速度分布律导出的。xvzvyvovdvdvvd24在平衡状态下，分布在任一速率区间在平衡状态下，分布在任一速率区间vv+dv内的速度矢量端点内的速度矢量端点都落在半径为都落在半径为v，厚度为，厚度为dv的球壳层内。的球壳层内。球壳层的体积：球壳层的体积：dvvd24同时同时 2222zyxvvvv代入麦克斯韦速度分布律：代入麦克斯韦速度分布律：kTvvvm
38、zyxzyxekTmvvvf2/)(2/3022202),(得到麦克斯韦速率分布律：得到麦克斯韦速率分布律：dvvekTmNdNkTvm22/2/30422022/2/3020)2(4)(vekTmvfkTvm4 4、由麦克斯韦速度分布律导出气体分子碰壁数及气体压强公式、由麦克斯韦速度分布律导出气体分子碰壁数及气体压强公式用麦克斯韦速度分布律求气体分子碰壁数用麦克斯韦速度分布律求气体分子碰壁数vxdtxyzOdA取直角坐标系取直角坐标系xyz，在垂直于，在垂直于x轴的器壁上取一小块面轴的器壁上取一小块面积积dA。设单位体积内的气体分子数为。设单位体积内的气体分子数为n，则单位体积，则单位体积内
39、速度分量内速度分量vx在在vxvxdvx之间的分子数为之间的分子数为nf(vx)dvx.，在所有在所有vx介于介于vxvxdvx之间的分子中之间的分子中，在，在一段时间一段时间dtdt内能够与内能够与dAdA相碰的分子只是位于以相碰的分子只是位于以dAdA为底，以为底，以v vx xdtdt为高的柱体内的那一部分，其数目为为高的柱体内的那一部分，其数目为nf(vx)dvxvxdtdA=nf(vx)vxdvx dtdA。xkTvmxxxxdvekTmnvdvvfnvx2/2/1020)2()(因此，每秒碰到单位面积器壁上速度分量因此，每秒碰到单位面积器壁上速度分量vx在在vxvxdvx之间之间的
40、分子数即为：的分子数即为：将上式从将上式从0到到+对对vx积分，即求得每秒碰到单位面积上的分积分，即求得每秒碰到单位面积上的分子总数为：子总数为：02/2/10020)2()(xxkTvmxxxdvvekTmndvvfnvx002/20mkTdvvexxkTvmx其中：其中：代入前式，即得：代入前式，即得：2/100)2()(mkTndvvfnvxxx由分子的平均速率为由分子的平均速率为：08mkTvvndvvfnvxxx41)(0气体碰壁数为：气体碰壁数为：推导理想气体的压强公式推导理想气体的压强公式在在dt时间内速度时间内速度在在vxvxdvx，-vy+，-vz0的分子才能碰上的分子才能碰
41、上dA面，面，0vx+,则气体分子对则气体分子对dA面面的总冲量为：的总冲量为：020000)(22)(xxxxvxdAdtdvvvfnmvmdNvdIIx课本课本P84 7P84 7（2 2）（）（3 3），），1010 作业题压强为：压强为：2020020)(212)(2xxxxxxxvnmdvvvfnmdvvvfnmdAdtIpnvnmp3231203.3.玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布重力场中微粒按高度的分布一、玻耳兹曼分布律一、玻耳兹曼分布律若气体分子处于恒定的若气体分子处于恒定的外力场（如重力场）中外力场（如重力场）中气体分子在空间位气体分子在空间位置不再呈
42、均匀分布置不再呈均匀分布?气体分子分布规律如何气体分子分布规律如何如气体分子处于外力场中，分子能量如气体分子处于外力场中，分子能量势能势能麦克斯韦速度分布律：麦克斯韦速度分布律：kTvme220因子因子kTke动能动能理想气体分子理想气体分子仅有动能仅有动能麦克斯韦速度分布可以看作是麦克斯韦速度分布可以看作是无外场中分子数按能量的分布无外场中分子数按能量的分布pkzyxkTvvvmdvdvdvekTmNdNzyx2/)(2/302220)2(玻耳兹曼将麦克斯韦分布推广为：玻耳兹曼将麦克斯韦分布推广为：在温度为在温度为T的平衡态下，任何系统的微观粒子的平衡态下，任何系统的微观粒子经典粒子）按能量
43、分布都与经典粒子）按能量分布都与 成正比成正比。kTe玻耳兹曼因子（概率因子玻耳兹曼因子（概率因子）kTe 分子的能量越大，概率因子越小，分子数就越少。分子的能量越大，概率因子越小，分子数就越少。从统计意义上看，从统计意义上看，这说明气体分子占据能量较低状态的这说明气体分子占据能量较低状态的概率，比占据能量较高状态的概率为大。一般来说，气概率，比占据能量较高状态的概率为大。一般来说，气体分子占据基态（最低能量状态）的概率要比占据激发体分子占据基态（最低能量状态）的概率要比占据激发态（较高能量状态）的概率大得多态（较高能量状态）的概率大得多。外力场中，分子速度处于外力场中，分子速度处于 vx v
44、x+dvx,vy vy+dvy,vz vz+dvz区区间内，坐标处于间内，坐标处于 xx+dx、yy+dy、zz+dz的空间体积元的空间体积元dV=dxdydz内的分子数为内的分子数为 ：玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律dxdydzdvdvdvekTmndNzyxkTpk/)(2/300)2(n0表示在势能表示在势能p=0处单位体积内所含各种速度的分子数处单位体积内所含各种速度的分子数 考虑归一化条件：考虑归一化条件：1)2(/2/30zyxkTdvdvdvekTmk+分布在坐标区间分布在坐标区间xx+dx，yy+dy，zz+dz内内具有各具有各种速度的分子总数：种速度的分子总数：dxdydzen
45、NdkTp/0分布在坐标区间分布在坐标区间xx+dx，yy+dy，zz+dz内单位体内单位体积内的分子数：积内的分子数：kTpenn/0分子按势能的分布律分子按势能的分布律玻耳兹曼分布律对玻耳兹曼分布律对任何物质的微粒任何物质的微粒（气体、液体、固体的原子（气体、液体、固体的原子核分子、布朗粒子等）在核分子、布朗粒子等）在任何保守力场任何保守力场（重力场、电场）中运（重力场、电场）中运动的情形都成立。动的情形都成立。二、重力场中粒子按高度的分布二、重力场中粒子按高度的分布令令 z=0 处处 单位体积内的分子数为单位体积内的分子数为 n0 重力场中的气体分子按高度分布的规律重力场中的气体分子按高
46、度分布的规律则分布在高度为则分布在高度为z处体积元处体积元dxdydz内的分子数为：内的分子数为：dxdydzenNdkTgzm/00而分布在高度为而分布在高度为z处单位体积内的分子数为：处单位体积内的分子数为：kTgzmenn/00由理想气体状态方程由理想气体状态方程式中式中p0n0kT为为z=0处的大气压强，处的大气压强，p为为z处的大气压处的大气压强，强，m0是大气分子质量，是大气分子质量，M为气体的摩尔质量为气体的摩尔质量。nkTp kTgzmenn/00RTMgzkTgzmepepp/0/00在重力场中气体分子的数密度在重力场中气体分子的数密度n随高度的增大按指数减小。随高度的增大按
47、指数减小。kTgzmenn/00大气密度和压强随高度增加按指数规律减小大气密度和压强随高度增加按指数规律减小（高空空气稀薄，气压低）（高空空气稀薄，气压低）两边取对数两边取对数 可根据地面和高空处的压强与温度，来估算所在可根据地面和高空处的压强与温度，来估算所在高空离地面的高度。高空离地面的高度。等温气压公式等温气压公式RTMgzkTgzmepepp/0/00ppMgRTz0lnkTgzmenn/00RTMgzkTgzmepepp/0/0021、飞机的起飞前机舱中的压力计批示为、飞机的起飞前机舱中的压力计批示为1.0atm，温度为，温度为27C；起飞后，压力计指示为；起飞后，压力计指示为0.8
48、0atm，温度仍为，温度仍为27C，试计，试计算飞机距地面的高度。算飞机距地面的高度。解：根据等温气压公式：解：根据等温气压公式：RTMgzepp/0MgRTppz)(ln0有有 代入数据代入数据 mMgRTppz3301096.18.91097.2815.30031.8)80.00.1(ln)(ln 课堂例题课堂例题 22、上升到什么高度处大气压强减为地面的75%？设空气的温度为0C。mMgRTppz30103.28.997.2815.27331.8)75.00.1(ln)(ln0%75pp KT15.273 由题意知：由题意知：解：解：2323、设地球大气是等温的，温度为设地球大气是等温的
49、，温度为t=5.0 C,海平面上的气压海平面上的气压为为p0=750mmHg，令测得某山顶的气压，令测得某山顶的气压p=590mmHg，求山高。，求山高。已知空气的平均分子量为已知空气的平均分子量为28.9728.97。mMgRTppz301095.18.997.28)15.2735(31.8)590750(ln)(ln解：解：麦克斯韦麦克斯韦速度分布律速度分布律 考虑分子按速度的分布 （按动能分布）在保守场中在保守场中 考虑分子按空间分布 （按势能分布）分子按能量分布的统计规律分子按能量分布的统计规律 （玻耳兹曼分布律（玻耳兹曼分布律）分子按势能的分布律分子按势能的分布律 特殊化特殊化 各种
50、速度各种速度 特殊化特殊化 重力场重力场 重力场中气体分子按高度分布的规律重力场中气体分子按高度分布的规律 等温气压公式等温气压公式 近似估算不同高度处的大气压强或判断上升高度近似估算不同高度处的大气压强或判断上升高度 4.4.能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理一、自由度一、自由度 描述一个物体在空间的位置所需的独立坐标数称为该物体的描述一个物体在空间的位置所需的独立坐标数称为该物体的自由度自由度。例例1 1：自由自由运动的质点运动的质点 (三维空间三维空间)3 3 个个 平动自由度平动自由度 记作记作 t =3若受到限制自由度降低若受到限制自由度降低 平面上平面上 2 2个个 平动自由
