1、第三节求数列的前第三节求数列的前n n项和项和备考方向明确备考方向明确 方向比努力更重要方向比努力更重要复习目标复习目标学法指导学法指导1.1.等差、等比数列的前等差、等比数列的前n n项和公式项和公式.2.2.等差、等比数列的求和公式应用等差、等比数列的求和公式应用.(发展要求发展要求)3.3.常见求数列前常见求数列前n n项和的方法项和的方法.(1)(1)倒序相加法倒序相加法(2)(2)错位相减法错位相减法(3)(3)裂项法裂项法(4)(4)分组求和法分组求和法4.4.特殊数列求和特殊数列求和.1.1.从求等差数列前从求等差数列前n n项和公式中体现项和公式中体现高斯算法高斯算法(即倒序相
2、加法即倒序相加法)的实质的实质.2.2.从求等比数列的前从求等比数列的前n n项和公式中体项和公式中体会错位相减法的作用会错位相减法的作用.3.3.注意把握各种特殊数列注意把握各种特殊数列.比如通项比如通项是分式形式是分式形式,一般采取裂项求和一般采取裂项求和;能转能转化为等差、等比的可以分组求和等化为等差、等比的可以分组求和等.知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来网络构建网络构建一、等差数列与等比数列的前一、等差数列与等比数列的前n n项和项和二、求前二、求前n n项和项和1.1.求和问题的切入口求和问题的切入口:对通项公式的分析研究对通项公式的分析研究,首先要准确
3、识别出是等差数列首先要准确识别出是等差数列还是等比数列还是等比数列.(1)(1)从通项公式上识别从通项公式上识别,若若a an n是关于是关于n n的一次函数的一次函数,则数列则数列aan n 是等差数列是等差数列.(2)(2)从前从前n n项和公式上识别项和公式上识别,若若S Sn n是关于是关于n n的无常数项的二次函数的无常数项的二次函数,则数列则数列aan n 是是等差数列等差数列;若若S Sn n是关于是关于n n的有非零常数项的二次函数的有非零常数项的二次函数,则从第二项起则从第二项起aan n 为等差为等差数列数列;若若S Sn n是关于是关于n n的指数型函数与常数项之和的指数
4、型函数与常数项之和,且指数型函数的系数与常数项且指数型函数的系数与常数项互为相反数互为相反数,则数列则数列aan n 为等比数列为等比数列.2.2.三种常见求和类型三种常见求和类型(1)(1)若数列的通项公式是由等差数列与等比数列之积构成的若数列的通项公式是由等差数列与等比数列之积构成的,常用错位相减法常用错位相减法求和求和.(2)(2)若数列的通项公式是由等差数列和等比数列之和构成的若数列的通项公式是由等差数列和等比数列之和构成的,常用拆项分组法常用拆项分组法求和求和.(3)(3)若数列的通项是分式结构若数列的通项是分式结构,分母所含因式是等差数列中相邻项时分母所含因式是等差数列中相邻项时,
5、常用裂常用裂项相消法求和项相消法求和.4.2+4+6+2n=n4.2+4+6+2n=n2 2+n.+n.5.1+3+5+7+2n-1=n5.1+3+5+7+2n-1=n2 2.四、数列求和的基本思路四、数列求和的基本思路1.1.一般的数列求和一般的数列求和,应从通项入手应从通项入手,若无通项若无通项,则先求通项则先求通项,然后通过对通项变然后通过对通项变形形,转化为与特殊数列有关或具有某种方法适应特点的形式转化为与特殊数列有关或具有某种方法适应特点的形式,从而选择合适的从而选择合适的方法求和方法求和.2.2.解决非等差、等比数列的求和解决非等差、等比数列的求和,主要有两种思路主要有两种思路:一
6、是转化的思想一是转化的思想,即将一般即将一般数列设法转化为等差或等比数列数列设法转化为等差或等比数列,这一思想方法往往通过通项分解或错位相减这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成来完成;二是不能转化为等差或等比数列的数列二是不能转化为等差或等比数列的数列,往往通过裂项相消法、错位往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和相减法、倒序相加法等来求和.等价转换思想是解决数列求和问题的基本思想等价转换思想是解决数列求和问题的基本思想方法方法,它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决.温故知新温故知新1.1.数列数列aan n 的前的前
7、n n项和项和S Sn n=1-2+3-4+(-1)=1-2+3-4+(-1)n-1n-1n,n,则则S S1717等于等于()(A)9 (A)9 (B)8 (B)8 (C)17 (C)17 (D)16(D)16A A解析解析:S S1717=1-2+3-4+5-6+=1-2+3-4+5-6+15-16+17+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+=1+(-2+3)+(-4+5)+(-14+15)+(-16+17)+(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+=1+1+1+1=9.+1=9.故选故选A.A.A A 3.33.32 2-1-1+4+42 2-2-2+5+52 2-
8、3-3+(n+2)+(n+2)2 2-n-n=.高频考点突破高频考点突破 在训练中掌握方法在训练中掌握方法考点一分组法求和考点一分组法求和【例例1 1】已知数列已知数列aan n,b,bn n 满足满足a a1 1=5,a=5,an n=2a=2an-1n-1+3+3n-1n-1(n2,n(n2,nN N*),),b bn n=a=an n-3-3n n(n(nN N*).).(1)(1)求数列求数列bbn n 的通项公式的通项公式;(2)(2)求数列求数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n.反思归纳反思归纳 分组法求和的常见类型分组法求和的常见类型(1)(1)若若a an n=b
9、=bn nc cn n,且且bbn n,c,cn n 为等差或等比数列为等差或等比数列,可采用分组法求可采用分组法求aan n 的前的前n n项和项和.迁移训练迁移训练在数列在数列aan n 中中,a,a1 1=2,a=2,an+1n+1=2a=2an n-n+1(n-n+1(nN N*),),数列数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n.(1)(1)证明证明:数列数列aan n-n-n是等比数列是等比数列,并求数列并求数列aan n 的通项公式的通项公式;(2)(2)求求S Sn n;(3)(3)证明证明:S:Sn+1n+1SSn n+2+2n n+n.+n.考点二错位相减法求
10、和考点二错位相减法求和【例例2 2】数列数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,对于任意的自然数对于任意的自然数a an n0,4S0,4Sn n=(a=(an n+1)+1)2 2.(1)(1)求证求证:数列数列aan n 是等差数列是等差数列,并求通项公式并求通项公式;(1)(1)证明证明:令令n=1,4Sn=1,4S1 1=4a=4a1 1=(a=(a1 1+1)+1)2 2,解得解得a a1 1=1,=1,由由4S4Sn n=(a=(an n+1)+1)2 2,得得4S4Sn+1n+1=(a=(an+1n+1+1)+1)2 2,两式相减得两式相减得4a4an+1n+1=
11、(a=(an+1n+1+1)+1)2 2-(a-(an n+1)+1)2 2,整理得整理得(a(an+1n+1+a+an n)(a)(an+1n+1-a-an n-2)=0,-2)=0,因为因为a an n0,0,所以所以a an+1n+1-a-an n=2,=2,则数列则数列aan n 是首项为是首项为1,1,公差为公差为2 2的等差数列的等差数列,a an n=1+2(n-1)=2n-1.=1+2(n-1)=2n-1.反思归纳反思归纳 (1)(1)新数列新数列ccn n=a=an nb bn n,其中数列其中数列aan n 是等差数列是等差数列,数列数列bbn n 是等比数列是等比数列,求
12、数列求数列ccn n 前前n n项和分三步项和分三步:写出数列写出数列ccn n 的前的前n n项和项和S Sn n=c=c1 1+c+c2 2+c+c3 3+c+cn n;把上述和式把上述和式等号左右各项都乘以等比数列等号左右各项都乘以等比数列bbn n 的公比的公比q q得得qSqSn n=qc=qc1 1+qc+qc2 2+qc+qc3 3+qc+qcn n;把所得两式相把所得两式相减减,注意等号右边要错位相减注意等号右边要错位相减,错位相减部分恰好组成一个等比数列的若干项的和式错位相减部分恰好组成一个等比数列的若干项的和式,然后整理化简然后整理化简.(2)(2)错位相减法求数列的前错位
13、相减法求数列的前n n项和是一种重要方法项和是一种重要方法.在应用这种方法时在应用这种方法时,一定要抓住数列一定要抓住数列的特征的特征:数列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得的数列数列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得的数列.所谓所谓“错位错位”,就是要找就是要找“同类项同类项”相减相减,要注意的是相减后得到部分等比数列的和要注意的是相减后得到部分等比数列的和,此时一定要查清其项数此时一定要查清其项数.错位相减法在使用时由于运算量较大错位相减法在使用时由于运算量较大,易出现因运算不准确而易出现因运算不准确而致错的问题致错的问题,所以在求解过程中要注意
14、在所以在求解过程中要注意在“两式相减两式相减”“”“结果整理结果整理”这些环节上的检这些环节上的检查查,最后可将最后可将n=1n=1和和n=2n=2代入所得表达式进行检验代入所得表达式进行检验.迁移训练迁移训练(2018(2018浙江卷浙江卷)已知等比数列已知等比数列aan n 的公比的公比q1,q1,且且a a3 3+a+a4 4+a+a5 5=28,a=28,a4 4+2+2是是a a3 3,a,a5 5的等差中项的等差中项.数数列列bbn n 满足满足b b1 1=1,=1,数列数列(b(bn+1n+1-b-bn n)a)an n 的前的前n n项和为项和为2n2n2 2+n.+n.(1
15、)(1)求求q q的值的值;(2)(2)求数列求数列bbn n 的通项公式的通项公式.考点三裂项相消法求和考点三裂项相消法求和【例例3 3】数列数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,a,an n是是S Sn n和和1 1的等差中项的等差中项,等差数列等差数列bbn n 满足满足b b1 1+S+S4 4=0,b=0,b9 9=a=a1 1.(1)(1)求数列求数列aan n,b,bn n 的通项公式的通项公式;解解:(1)(1)因为因为a an n是是S Sn n和和1 1的等差中项的等差中项,所以所以2a2an n=S=Sn n+1,+1,所以所以S Sn n=2a=2an
16、 n-1.-1.当当n2n2时时,a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=(2a=(2an n-1)-(2a-1)-(2an-1n-1-1)=2a-1)=2an n-2a-2an-1n-1,所以所以a an n=2a=2an-1n-1,当当n=1n=1时时,a,a1 1=S=S1 1=2a=2a1 1-1,-1,所以所以a a1 1=1,=1,反思归纳反思归纳 (1)(1)裂项相消法一般适用分式数列求和裂项相消法一般适用分式数列求和.把数列的通项分解为两把数列的通项分解为两项的差是这种方法使用的关键所在项的差是这种方法使用的关键所在.使用裂项相消法求和时使用裂项相消法求和时,要注意正负
17、项相要注意正负项相消时消去了哪些项消时消去了哪些项,保留了哪些项保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项切不可漏写未被消去的项,未被消去的项未被消去的项有前后对称的特点有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的实质上造成正负相消是此法的根源与目的.(2)(2)裂项相消法的基本思想是把数列的通项裂项相消法的基本思想是把数列的通项a an n分拆成分拆成a an n=b=bn+1n+1-b-bn n或者或者a an n=b=bn n-b-bn+1n+1或者或者a an n=b=bn+2n+2-b-bn n等等,从而达到在求和时逐项相消的目的从而达到在求和时逐项相消的目的,在解题中要善于根据
18、这在解题中要善于根据这个基本思想变换数列个基本思想变换数列aan n 的通项公式的通项公式,使之符合裂项相消的条件使之符合裂项相消的条件.迁移训练迁移训练考点四含绝对值数列求和考点四含绝对值数列求和【例例4 4】在公差为在公差为d d的等差数列的等差数列aan n 中中,已知已知a a1 1=10,=10,且且a a1 1,2a,2a2 2+2,5a+2,5a3 3成等比数列成等比数列.(1)(1)求求d,ad,an n;(2)(2)若若d0,d0,求求|a|a1 1|+|a|+|a2 2|+|a|+|a3 3|+|a|+|an n|.|.反思归纳反思归纳 (1)(1)有些数列是因项的正负分布
19、不同而产生分段有些数列是因项的正负分布不同而产生分段.对于这种数列对于这种数列,我们就要按参加求和的项是否是同一种符号的项分为两类来求和我们就要按参加求和的项是否是同一种符号的项分为两类来求和.需要注意需要注意的是该数列的项是按照什么规律进行分类的的是该数列的项是按照什么规律进行分类的,只有准确把握项的正负分类才只有准确把握项的正负分类才能正确地求解能正确地求解.(2)(2)有些数列是因奇数项和偶数项分别按照不同规律而产生分段有些数列是因奇数项和偶数项分别按照不同规律而产生分段.对于这种数对于这种数列列,我们就要按参加求和的奇数项和偶数项的个数是否相同分为两类来求和我们就要按参加求和的奇数项和
20、偶数项的个数是否相同分为两类来求和.在每一类中在每一类中,要注意奇数项和偶数项分别有多少要注意奇数项和偶数项分别有多少,避免因分类不清而致错的现避免因分类不清而致错的现象产生象产生.迁移训练迁移训练(3)(3)记记S Sn n为数列为数列|a|an+1n+1-a-an n|的前的前n n项和项和,证明证明:S:Sn n6(n6(nN N*).).解题规范夯实解题规范夯实 在平凡的事情上精益求精在平凡的事情上精益求精裂项相消及错位相减法求和裂项相消及错位相减法求和【例题例题】已知等差数列已知等差数列aan n 的公差为的公差为2,2,前前n n项和为项和为S Sn n,且且S S1 1,S,S2
21、 2,S,S4 4成等比数列成等比数列.(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式;解题规范解题规范规范要求规范要求:(1)(1)对对b bn n中的符号易忽视讨论中的符号易忽视讨论,当当n n为偶数时和当为偶数时和当n n为奇数时和是不为奇数时和是不同的同的;(2)(2)裂项相消时裂项相消时,要注意消去了哪些项要注意消去了哪些项,余下哪些项余下哪些项;温馨提示温馨提示:(1)(1)第第1 1问实质是基本量的计算问实质是基本量的计算,对等差数列的通项公式及前对等差数列的通项公式及前n n项和项和公式要得心应手公式要得心应手;【规范训练规范训练1 1】(2017(2017山东卷山东
22、卷)已知已知xxn n 是各项均为正数的等比数列是各项均为正数的等比数列,且且x x1 1+x+x2 2=3,=3,x x3 3-x-x2 2=2.=2.(1)(1)求数列求数列xxn n 的通项公式的通项公式;(2)(2)如图如图,在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中,依次连接点依次连接点P P1 1(x(x1 1,1),P,1),P2 2(x(x2 2,2),2),P Pn+1n+1(x(xn+1n+1,n+1),n+1)得到折线得到折线P P1 1 P P2 2PPn+1n+1,求由该折线与直线求由该折线与直线y=0,x=xy=0,x=x1 1,x=x,x=xn+1n+1所围
23、成所围成的区域的面积的区域的面积T Tn n.课堂类题精练课堂类题精练 在练习中体会学习的乐趣在练习中体会学习的乐趣类型一分组法求和类型一分组法求和1.1.已知数列已知数列aan n 满足满足a a1 1=1,a=1,an+1n+1a an n=2=2n n(n(nN N*),),则则S S2 0162 016等于等于()(A)2(A)22 0162 016-1 -1 (B)3(B)32 21 0081 008-3-3(C)3(C)32 21 0081 008-1-1(D)3(D)32 21 0071 007-2-2B B2.2.有穷数列有穷数列1,1+2,1+2+4,1+2+4+21,1+2
24、,1+2+4,1+2+4+2n-1n-1所有项的和为所有项的和为.答案答案:2 2n+1n+1-n-2-n-2类型二错位相减法求和类型二错位相减法求和3.3.已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n且且a an n=n=n2 2n n,则则S Sn n=.解析解析:S Sn n=1=12+22+22 22 2+3+32 23 3+n+n2 2n n,2S2Sn n=1=12 22 2+2+22 23 3+(n-1)+(n-1)2 2n n+n+n2 2n+1n+1,-得得-S-Sn n=2+2=2+22 2+2+23 3+2+2n n-n-n2 2n+1n+1=-2(
25、1-2=-2(1-2n n)-n)-n2 2n+1n+1=-2+2=-2+2n+1n+1-n-n2 2n+1n+1=-2-(n-1)=-2-(n-1)2 2n+1n+1,所以所以S Sn n=2+(n-1)=2+(n-1)2 2n+1n+1.答案答案:2+(n-1)2+(n-1)2 2n+1n+14.4.已知数列已知数列aan n,且且a an n=(2n+1)=(2n+1)3 3n-1n-1,则其前则其前n n项和项和S Sn n=.答案答案:n n3 3n nB B 类型四含绝对值数列求和类型四含绝对值数列求和8.8.(2016(2016浙江卷浙江卷)设数列设数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,已知已知S S2 2=4,a=4,an+1n+1=2S=2Sn n+1,n+1,nN N*.(1)(1)求通项公式求通项公式a an n;(2)(2)求数列求数列|a|an n-n-2|-n-2|的前的前n n项和项和.点击进入点击进入 课时训练课时训练
