1、在第五章，我们学习了定积分的概念和定积分的计算，本章我们将研究如何利用定积分作为工具来解决一些实际问题中有关的计算，我们的想法很简单，即实际问题化为积分模型 计算定积分。1.什么类型的问题可化为积分模型?2.如何化成积分模型?首先我们回忆一下定积分的基本概念：),()(baRxf若则对于a,b的任一分划x0=a x1 xn=b以及xi-1,xi中任一点i，有niiibaxfxxf10,)(limd)(iniiiixnixxx11max,),2,1(其中，上述过程可概括为分割基于此，我们可以将一些实际问题中一些计算归结为定积分的计算，例如，我们在前面曾经介绍过的曲边梯形面积的计算等。下面我们再用
2、图例回忆一下前面学过的用定积分来计算曲边梯形面积的思想。近似 求和 取极限oabxysox1bxys1xi-1xixn-1asnsi.11niinisssss分划obxyxi-1xiiais,)(iiixfs,)(111iniiniiniixfsss求和.)(lim 10iniixxfs取极限近似面积s有以下几个特点:(1)s与a,b上可积函数f(x)有关;(2)s在a,b上可加性,即将区间a,b任意分划成n个部分区间xi1,xi(i=1,n).,1iniisnsss个部分量也相应地分成即则)()(,)()3(iiiiiiiixoxfsxfss更进一步有bainiixxxfxfs.d)()(l
3、im)4(10如果将这种思想推广至实际问题中的某一所求量Q.Q和s有如下类似之处.(1)通过建立适当坐标系和选择与Q有关的变量x后,Q是一个与定义在某区间a,b上的可积函数g(x)有关的量;(2)Q对于区间a,b具有可加性,即如果把区间a,b任意分划成n个部分区间xi-1,xi (i=1,n),则Q相应地分成n个部分量Qi.;1niiQQ且(3)部分量Qi可近似表示为).()(),()(1iiiiiiiiixoxgQxxxg且,d)()(lim )4(10baiinixxgxgQ.,max 11iiiinixxxx其中x,x+xxi-1,xi第i个小区间典型小区间,如果Q能近似地表示为a,b上
4、一个可积函数g(x)在x处的值与x之积,且Q=g(x)x+o(x).则称g(x)x为Q的微元(或元素),记为dQ=g(x)x=g(x)dx.为简单计,我们省去下标,以下各节我们将应用微元法来建立一些求几何量,物理量等量的定积分数学模型.上述建立定积分数学模型的方法称为微元法.一、直角坐标情形一、直角坐标情形设一平面图形由连续曲线y=f(x),y=g(x)及直线x=a和x=b (ab)所围成,求其面积A.面积微元,d)()(dxxgxfA.d)()(xxgxfAbayxy=f(x)y=g(x)abx+dx)()(xgxfx类似地,d)()(dyyyA.d)()(yyyAdcyxoy+dydycx
5、=(y)x=(y)()(yy例例1:计算由抛物线y=x2+1与y=x2x所围成图形的面积.解解:首先作图21111PQy=x2xy=x2+1两曲线有交点Q和P其坐标通过解联立方程求得y=x2+1y=x2 xP(1,0).),43,21(Q即所求面积为由两抛物线所围成图形之面积.xxxxSd)(1121221212d)12(xxx12123)2132(xxx.89,1,21之间变化在区间 x因而例例2:计算抛物线y2=2x与直线y=x4所围成图形的面积.解解:作图作图解联立方程y2=2xy=x 4Q(2,2)P(8,4)得两交点0 xyy2=2xy=x4PQA=A1+A2,21xyA为由,22x
6、yA为由0 xyy2=2xy=x4PQ,2围成图形之面积和 xxy24 xy,2围成图形之面积和 xA1A228.20 x.82 x8220d)4(2d)2(2xxxxxxA=A1+A282212120d)42(d22xxxxx822232023)421322(3222xxxx)28(4)464(21356316.18因此,上述解法过于繁琐,改用第二种计算式.,212yx 422d24yyyA423261421yyy=18.0 xyx=y+4PQ221yx 2即看成是 x=y+4 围成图形的面积,y在区间2,4之间变化,则4例例3.求曲线y=lnx和两直线轴及xxx2,21围成平面图形的面积A
7、.解解:A=A1+A221121d)0(lnd)ln0(xxxx12121dlndlnxxxx21121|)ln()ln(xxxxxx212ln23A1A2yxoy=lnx2211例例4:计算摆线的)0()cos1()sin(yx轴所围成图形的面积与一拱x)2(0 xo2a2a202d)22cos1cos21(d)cos1()cos1(20223202)2sin21(21sin2(xyAd20解解:20)sin(d)cos1()sin(x例例5:计算阿基米德(Archimedes)螺线)0(r.20的图形的面积的一段弧与极轴所围成变到从上相应于此时再用直角坐标系,求解相当烦锁,下面介绍直接在极
8、坐标系下求解的方法.rr=a二、极坐标情形二、极坐标情形r=r1()r=r2()rr=r1()r=r2()dAdr微元)(d21)(d21d2122rrA,d)()(212122rr所以.d)()(212122rrAd)(21202A2032312.3432应用于前一例子,rr=a例例5:求心形线r=1+cos与圆r=3cos 所围成图形的公共部分的面积.解解:先求交点Q1和Q2.orA1A2Q1Q2orA1A2Q1Q2r=1+cos r=3cos 2cos=1,323r).3,23(),3,23(21QQ即A=A1+A2,由对称性,只需计算极轴上方部分之面积A1.A=2A1232302d)c
9、os3(21d)cos1(21223302sin412192sin41sin223.45设平面曲线段L的参数方程为：x=(t)y=(t),t如何求其曲线段L长度？仍然沿用分划、近似、求和、取极限这一思想。设A，B是曲线L的两个端点，对应的参数分别为和(见图).oyxABL第一步第一步(分划分划)对L作任意分划：M0A,M1,M2,Mn=B,各点对应的参数依次为=t0 t1 t2 0)s的长度的一拱)20(解：解：由曲线的参数方程的曲线段弧长计算公式得dd22sdsin)cos1(2222aad)cos1(2 ad2sin2ad2sin2 20as202cos22aa8例例2:求y=ax2(a0
10、)对应于的一段弧的长度.,bbx解：解：xysd1d2,d4122xxaoyx-bby=ax2xxasbbd4122ababuuuua2222)1ln(2112121)412ln(2141()412ln(21412122222222baabbaabbaabbaabaababuua222d121u=2ax)412ln(21 )412ln(21412211222222baabbaabbaaba)412ln(412212222baabbaaba)412ln(21412222baababab2222222222212222441412ln21412412ln21)412ln(21)412ln(21 b
11、ababaabbaabbaabbaabbaab例：例：求心形线r=a(1+cos)(a0)的全长。解：解：由极坐标情形弧长计算公式ox2add22rrsdsin)cos1(2222aad)cos1(2 ad2cos2a2345yx0d2cos220as02sin8ad2cos2d2cos220aad2cos2d2cos200aaa8对称性d2cos220a.0 ,2 ,2ttt考虑介于过x轴上点x=a及x=b且垂直于x轴的两平行平面之间的立体，若在x(axb)处垂直于x轴的截面面积可以用x的连续函数A(x)来表示，如何求其体积？zxyoabxA(x)用微元法，在a,b内取典型小区间x,x+dx
12、,用以底面积为A(x),高为dx的柱体积的体积dV近似典型小区间对应的体积部分量,则dV=A(x)dx,baxxAVd)(zxyoabxx+dxA(x)A(x+dx)例例3.一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,与底面交角为，试计算这平面截得的楔形体体积V.解：解：建立坐标系，使截平面通过ox轴.(如图)oxyy(o,R)(R,o)(R,o)xy截面为一直角三角形，,22xRy,tgtg22xRyz.tg)(2121)(22xRyzxA故oxyy(o,R)(R,o)(R,o)xyzA(x)两直角边长分别为：RRxxAVd)(xxRRdtg)(212220RxxR032)31(tg.tg323R
13、类似地，介于过 y 轴上点y=c及y=d且垂直于y 轴的两平行平面之间的立体，若在y(cyd)处垂直于y 轴的截面积可用y的连续函数B(y)来表示，则其体积为dcyyBVd)(截面为一矩形，长为,2222yRx高为 z=ytga.tg22)(22yRyxzyB故如图所示,在 y 处垂直于 y 轴截圆柱体,上题之另解oxy(o,R)(R,o)(R,o)xyzyyRyVRdtg2022)(dtg22022yRyRRRyR02322)(32tg.tg323R什么是旋转体？旋转体即是由一平面图形绕该平面内某一条定直线旋转一周而成的体积。abx y=f(x)oyabxA(x)x如图：设旋转体是由曲线y=
14、f(x),直线x=a,x=b(ab)和 x 轴所围的曲边梯形绕 x 轴旋转而成的.yo).()(,)(,2xfxAxAxxbax且为已知其面积个圆盘轴的截面是一处垂直于相应于则abxA(x)xyoy=f(x)类似地，若旋转体是由曲线 x=g(y),直线y=c,y=d(cd),和 y 轴所围曲边梯形绕 y 轴旋转而成的,则其体积.d)(2yygVdc故.d)(2baxxfV例例4:计算求椭圆12222byax所围图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积V.解：解：可设旋转体为由22xaaby及 x 轴所围曲边梯形绕x轴旋转而成.yo(0,b)x(0,b)(a,0)(a,0)xxaabVaad)(22
15、22axxaab03222)31(2234ab例例5:求由曲线 y=4xx2和直线 y=x 所围图形绕 y 轴旋转而成的旋转体体积.解解:y=4x x2=(x 2)2+4 得顶点P(2,4).且xyoPy=xy=4xx2(4,0)Q解联立方程y=4x x2y=x得交点Q(3,3)和 O(0,0).(x 2)2=4 y,)2(,42PQxyx，对应于时（.)2(42OPxyx，对应于时（xyoPy=xy=4xx2(4,0)QyyyyyyVd)42(d)42(d2404323024022343223303214)4(384 214)4(38431yyyyyyyyy21616364162743843
16、27.227 故考虑旋转体axxyox+dxy=f(x)在典型小区间x,x+dx侧面积A的微元,d)(2dsxfAbasxfAd)(2.d)(1)(22baxxfxf例例6:求半径为R的球的表面积A.xxRxxRARRd1222222RxR0d4.42Ryox(R,0)类似地，由曲线 x=g(y),直线 y=c,y=d(cd)及y 轴所围曲边梯形绕 y 轴旋转而成的旋转转体的侧面积为dcyygygAd)(1)(22在前述介绍定积分的计算的时候，我们的中心点是求原函数，也即基于牛顿莱布尼兹公式但是,一般情况下,原函数是不容易求的,比如：baxxed2.dsin10等xxx)()(d)(aFbFx
17、xffIba这些积分值显然存在,但无法用牛顿莱布尼兹公式求出.虽然在某些情形,我们也可用逐项积分法求出其级数形式,但其值为何,仍是个问题.现介绍一类如何求其数值解的方法.回忆定积分的定义iniibaoxfxxf)(limd)(1.,.,max1101iiininixxbabxxxax的一个分划为其中).(0.,nhxnabhihaxiii则即分划为均匀分划特别取若定积分值存在，我们则又特别取,1iix)()(limd)(1111iniinibanxfnabxfnabxxf(5.1)也称为矩形求积公式或复化矩形求积公式,其几何意义=Qn(f)(5.1)oyxabn=1oyxabn=2oyxabn
18、=4oyxabn=20试想，如果在每个小区间上，用梯形的面积代替矩形的面积，(见图)，效果应该更好。oyxaboyxabxi1xinabxxhii1)(2)()(11iiiiixxxfxfAnixxiixxffI11d)(hxfxfniii112)()(niixfbfafh1)(2)()(梯形求积公式或复化梯形求积公式.例例7:求xxId14102用梯形公式,1 ,1 .1时nabhn;32)()(bfafhfQ,21 ,2 .2时hn;1.3)21(2)1()0(fffhfQ,25.041 ,4 .3时hn;13117.3)43()21()41(2)1()0(fffffhfQ,125.0 ,8 .4时hn13899.3)87()82()81(2)1()0(fffffhfQxxId1410210arctg4x
