1、珠海市 20192020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题 第 1 页，共 18 页 绝密启用前 珠海市珠海市 2019201920202020 学年度第二学期普通高中学业质量监测学年度第二学期普通高中学业质量监测 高三理科数学试题高三理科数学试题 时间：120 分钟 满分 150 分 一、选择题：一、选择题：本大题共本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 6060 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项 1已知全集1,2,3,4
2、U ,集合1,2A,2,3B ,则() U CAB （ ） A. 1,3,4 B3,4 C3 D4 2设i是虚数单位，则复数 43i i （ ） A3 4i B3 4i C34i D3 4i 3已知函数( )f x是定义域为R的奇函数，当0x时， 2 ( )2f xxxa，则( 1)f （ ） A3 B3 C2 D1 4右图为一个四棱锥的三视图，其体积为（ ） A 4 3 B 8 3 C4 D8 5将函数xxxfsincos)(的图象向右平移 4 3 个单位长度，得到 函数)(g x的图象，则函数)(g x的解析式为（ ） A( )2cosg xx B( )2cosg xx C( )2sing
3、 xx D( )2sing xx 6已知在ABC中，4AB ，3BC ，5AC ， 1 4 ADDC，则BD BC （ ） A 5 9 B 4 9 C 5 16 D 5 36 7甲、乙、丙三位同学在一项集训中的 40 次测试分数都在50，100内，将他们的测试分 数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1，s2， 2 22 2 22 俯视图 侧(左)视图正(主)视图 珠海市 20192020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题 第 2 页，共 18 页 s3，则它们的大小关系为（ ） As1s2s3 Bs1s3s2 Cs3s1s2 Ds3s2s1
4、8已知两条不同直线l，m，两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A若P，l，m，则l mP B若 P，mP，l，则lm C若，l，m，则l mP D若 ，lP，mP，则lm 9.我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的图表，即 杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为21， 若去除所有为 1 的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,，则此数列的前 55 项和为( ) A4072 B2026 C4096 D2048 10甲、乙、丙 3 人从 1 楼乘电梯去商场的 3 到 9 楼，每层楼最多下 2 人，则下
5、电梯的方法 有（ ） A210 种 B252 种 C343 种 D336 种 11已知椭圆 22 3 :1 1616 xy C，M为椭圆C上的一个动点，以M为圆心，2 为半径作圆 M，OP，OQ为圆M的两条切线，P，Q为切点，则POQ的取值范围是（ ） A 32 ， B 42 ， C 62 ， D 2 33 ， 珠海市 20192020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题 第 3 页，共 18 页 12.设函数 1 ( )12 x e f xtnxx xx 恰有两个极值点，则实数t的取值范围是( ) A(1,) 2 e B1,) 3 e C,1,) 23 e e D1,) 二、
6、填空题二、填空题: :本本大大题共题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 13已知等差数列 n a的前n项的和为 n S，且 1 2a ， 10 65S，则 2020 a 14现有三张卡片，每张卡片上分别写着广州、深圳、珠海三个城市中的两个，且卡片不重 复， 甲、 乙、 丙各选一张去对应的两个城市参观 甲看了乙的卡片后说：“我和乙都去珠海” 乙 看了丙的卡片后说： “我和丙不都去深圳”则甲、丙同去的城市为 15已知双曲线的顶点在坐标轴，中心在原点，渐近线经过点(2 )P mm，(0)m ，则双曲 线的离心率为 . 16 在ABC中 ， 角A，B，C所 对
7、的 边 分 别 是cba,， 若6cb， 2 cos 2 sin3sinsin CBCB CB ，则ABC面积的最大值为 三、解答题：共三、解答题：共70分分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第第17 21题为必题为必 考题，每个试题考生都必须作答考题，每个试题考生都必须作答 第第2223题为选题为选考考题，考生根据要求作答题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分分 17（本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前n项的和为 n S， 且满足 * 21 () nn SanN， （1）求数列 n a的通项公式 n a及
8、n S； （2）若数列 n b满足|15| nn bS，求数列 n b的前n项的和 n T. 18 （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥PABCD，四边形ABCD为平行四边形， ADBD，ACBDOI，2ADBD，PBPD， PBPD，PAPC，M为PD中点 (1)求证：/OM平面PBC； (2)求证：平面PAD 平面PBD； (3)求二面角A PB C的余弦值 19 （本小题满分 12 分） M O D C BA P 珠海市 20192020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题 第 4 页，共 18 页 已知曲线E上的点到(1 0)F，的距离比它到直线:4l x的距离少 3
9、 (1)求曲线E的方程； (2)过点F且斜率为k的直线 0 l交曲线E于P，Q两点，交圆 22 :(1)1Fxy于A， B两点， P，A在x轴上方， 过点P，Q分别作曲线E的切线 1 l，2l，1 2 llMI， 求PAM 与QBM的面积的积的取值范围 20 （本小题满分 12 分）已知函数 2 ( )(1) x f xk xex，其中 kR (1)当2k时，求函数 ( )f x的单调区间； (2)当 k1，2时，求函数 ( )f x在0，k上的最大值)(kg 的表达式，并求)(kg的最大值 21（本小题满分 12 分） 某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有 n（n N
10、）份血液样 本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式： （1）逐份检验，则需要检验 n 次； （2）混合检验，将其中 k（k N且2k ）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检 验结果为阴性，这 k 份的血液全为阴性，因而这 k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检 验结果为阳性，为了明确这 k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这 k 份再逐份检验，此时这 k 份血液的检验次数总共为1k次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果 是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为 p（0 1p ）. （1）假设有 5 份血液样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检验方式
11、，求恰好经过 2 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率； （2）现取其中 k（k N且2k ）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的 总次数为 1 ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为 2 . （i）试运用概率统计的知识，若 12 EE，试求 p 关于 k 的函数关系式 pf k； （ii）若 3 1 1 e p ，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检 验的总次数期望值更少，求 k 的最大值. 参考数据：ln20.6931，ln3 1.0986，ln4 1.3863，ln51.6094，ln61.7918 珠海市 20192020 学年度第二学期普通高中
12、学业质量监测高三理科数学试题 第 5 页，共 18 页 （二）（二）选考题选考题 请考生在第请考生在第2223题中任选一题作答题中任选一题作答 如果多做，那么按照所做的第一题计分如果多做，那么按照所做的第一题计分 22(本小题满分 10 分)在平面直角坐标系xoy中， 直线l过点2,3P，且倾斜角 6 = 以 坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 C 的极坐标方程为 =4sin (1)求圆C的直角坐标方程； (2)设直线l与圆C交于AB，两点，求PA PB的值 23(本小题满分 10 分)已知函数( )1f xx （1）解不等式( )(1)4f xf x； （2）当
13、0x ，xR时，证明： 1 ()( )2fxf x 珠海市 20192020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题 第 6 页，共 18 页 绝密启用前 珠海市珠海市 2019201920202020 学年度第二学期普通高中学业质量监测学年度第二学期普通高中学业质量监测 高三理科数学试题高三理科数学试题 时间：120 分钟 满分 150 分 一、选择题：一、选择题：本大题共本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 6060 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项只有一项是符合题目要求
14、的请在答题卡上填涂相应选项 1已知全集1,2,3,4U ,集合1,2A,2,3B ,则() U CAB （ ） A. 1,3,4 B3,4 C3 D4 2设i是虚数单位，则复数 43i i （ ） A3 4i B3 4i C34i D3 4i 3已知函数( )f x是定义域为R的奇函数，当0x时， 2 ( )2f xxxa，则( 1)f （ ） A3 B3 C2 D1 4右图为一个四棱锥的三视图，其体积为（ ） A 4 3 B 8 3 C4 D8 5将函数xxxfsincos)(的图象向右平移 4 3 个单位长度，得 到函数)(g x的图象，则函数)(g x的解析式为（ ） A xcos2 B
15、 xcos2 C xsin2 Dxsin2 6已知在ABC中，4AB，3BC，5AC， 1 4 ADDC，则BD BC （ ） A 5 9 B 4 9 C 5 16 D 5 36 7甲、乙、丙三位同学在一项集训中的 40 次测试分数都在50，100内，将他们的测试分 数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1，s2，s3， 则它们的大小关系为（ ） 2 22 2 22 俯视图 侧(左)视图正(主)视图 珠海市 20192020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题 第 7 页，共 18 页 As1s2s3 Bs1s3s2 Cs3s1s2 Ds3s2s
16、1 8已知两条直线l，m，两个平面，则下列命题正确的是（ ） A若P，l，m，则l mP B若P，mP，l，则lm C若，l，m，则l mP D若，lP，mP，则lm 9.我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表，即杨 辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为21，若 去除所有为 1 的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,，则此数列的前 55 项和为( ) A4072 B2026 C4096 D2048 10甲、乙、丙 3 人从 1 楼乘电梯去商场的 3 到 9 楼，每层楼最多下 2 人，则下电梯的方法
17、 有（ ） A210 种 B252 种 C343 种 D336 种 11已知椭圆 22 3 :1 1616 xy C，M为椭圆C上的一个动点，以M为圆心，2 为半径作圆 珠海市 20192020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题 第 8 页，共 18 页 M，OP，OQ为圆M的两条切线，P，Q为切点，则POQ的取值范围是（ ） A 32 ， B 42 ， C 62 ， D 2 33 ， 12.设函数 1 ( )12 x e f xtnxx xx 恰有两个极值点，则实数t的取值范围是( ) A (1,) 2 e B1,) 3 e C ,1,) 23 e e D1,) 二、填空题
18、二、填空题: :本本大大题共题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 13已知等差数列 n a的前n项的和为 n S，且 1 2a ， 10 65S，则 2020 a 2021 14现有三张卡片每张卡片上分别写着广州、深圳、珠海三个城市中的两个且卡片不重复， 甲、乙、丙各选一张去对应的两个城市参观甲看了乙的卡片后说： “我和乙都去珠海“乙 看了丙的卡片后说： “我和丙不都去深圳”则甲、丙同去的城市为 深圳 15已知双曲线的顶点在坐标轴，中心在原点，渐近线经过点(2 )P mm，(0)m ，则双曲 线的离心率为 5或 5 2 16在ABC中，角A，B，C所对的
19、边分别是cba,，6cb，且 若 2 cos 2 sin3sinsin CBCB CB ，则ABC面积的最大值为 52 三、解答题：共三、解答题：共70分分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第第17 21题为必题为必 考题，每个试题考生都必须作答考题，每个试题考生都必须作答 第第2223题为选题为选考考题，考生根据要求作答题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分分 17（本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前n项的和为 n S， 且满足 * 21 () nn SanN， （1）求数列 n a的通项公式 n a及 n
20、 S， （2）若数列 n b满足|15| nn bS，求数列 n b的前n项的和为 n T. 解： （1）由21 nn Sa得： 11 21Sa，即 1 1a ，1 分 珠海市 20192020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题 第 9 页，共 18 页 由21 nn Sa得： 11 21 nn Sa ,两式相减得: 11 22 nnn aaa , 即 1 2 nn aa ，即数列 n a是以 1 为首项，2 为公比的等比数列， 2 分 则 1 2n n a ， 3 分 则 1 2 21 1 2 n n n S ， 5 分 （2）由（1）知：|216| n n b ，则 16
21、2 (14) 216(4) n n n n b n ， 6 分 则当14n时， 12 (162 )(162 )(162 ) n n T 12 2(1 2 ) 16(222 )16 1 2 n n nn 1 1622 n n ， 8 分 当4n时， 124567 (162 )(162 )(162 )(216)(216)(216)(216) n n T 12 4 2(222 ) 16 n Tn 1 2(1 2 ) 2 341621666 1 2 n n nn ，11 分 则 1 1 1622 (14) 21666 (4) n n n nn T nn 12 分 18 （本小题满分 12 分） 如图，
22、 四棱锥PABCD， 四边形ABCD为平行四边形， ADBD，ACBDOI，2ADBD，PBPD， PBPD，PAPC，M为PD中点 (1)求证：/OM平面PBC； (2)求证：平面PAD 平面PBD； (3)求二面角A PB C的余弦值 (1)证明：四边形ABCD为平行四边形， ACBDOI O为BD中点1 分 M O D C BA P 珠海市 20192020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题 第 10 页，共 18 页 M为PD中点 /OMPB，OM 平面PBC，PB 平面PBC2 分 /OM平面PBC3 分 (2)证明：四边形ABCD为平行四边形，AC BDOI O为
23、AC，BD中点 PBPD ，PA PC POAC ，PO BD ， ACBDOI 4 分 PO平面ABCD ADPO 又AD BD ，BD POOI AD 平面ABD，AD 平面PAD5 分 平面PAD 平面PBD6 分 (3)解：以DA，DB分别为x轴，y轴，过D且与平面ABCD垂直的直线为z轴，建立如 图所示空间直角坐标系 2ADBD ，AD BD BCBD ， 2BC ， 2 2ABCD PBPD，PBPD 2PBPD ， 1PO 2AD ，AD BD ， 1DO 5AOOC O P M D C BA z y x 珠海市 20192020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试
24、题 第 11 页，共 18 页 (2,0,0)A ， (0,1,1)P ， (0,2,0)B ， ( 2,2,0)C 8 分 (2, 1, 1)PA uur ， (0,1, 1)PB uur ， ( 2,1, 1)PC uuu r 设平面PAB和平面PBC的法向量分别为 1 11 ( , 1)nx y r ， 2 22 (, 1)nxy r 则 1n r ， 2n r 夹角的补角就是二面角A PB C 的平面角 由 1 11 1 1 210 10 nPAxy nPBy ruur ruur和 2 2 2 22 10 210 nPBy nPCxy ruur ruuu r 解得： 1 1 1 1 x
25、 y 和 2 2 0 1 x y 10 分 1( 1, 1, 1)n r ， 2(0, 1, 1)n r 1226 cos 36 | | nn nn rr rur1111 分分 二面角A PB C的余弦值为 6 3 12 分 19 （本小题满分 12 分） 已知曲线E上的点到(1 0)F，的距离比它到直线:4l x的距离少 3 (1)求曲线E的方程； (2)过点F且斜率为k的直线 0 l交曲线E于P，Q二点，交圆 22 :(1)1Fxy于A， B二点， P，A在x轴上方， 过点P，Q分别作曲线E的切线 1 l，2l，1 2 llMI， 求PAM 与QBM的面积的积的取值范围 解：(1)因为曲线
26、E上的点到(1 0)F，的距离比它到直线:4l x的距离少 3 所以曲线E上的点到(1 0)F，的距离和它到直线:1l x 的距离相等2 分 故曲线E是(1 0)F， 为焦点， :1l x 为准线的抛物线 故 2 :4E yx4 分 (2)由题设知：0k 则 0: (1)lyk x 珠海市 20192020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题 第 12 页，共 18 页 设 11 ()P xy， 22 ()Q xy， P，A在x轴上方 1 0x ， 2 0x ， 1 0y ， 2 0y 0 l与E方程联立消得 2 4 40yy k “ ”L L 则 1 y， 2 y是“*”的二
27、根 则 12 12 4 4 yy k y y 且“*”的 2 16 160 k 6 分 由 2 :4E yx得0y 时2yx，则 1 y x ； 0y 时2yx ，则 1 y x 1 1 1 12 x x y yx ， 2 2 2 12 x x y yx 故 2 1 11 1 2 :() 4 y lyyx y 2 2 22 2 2 :() 4 y lyyx y 1 l， 2 l联立消y得1x，同时带入 1 l， 2 l方程相加得 2 y k 8 分 2 ( 1,)M k 2 ( 1,)M k 到 0: 0lkxyk的距离 2 21 | k d k 9 分 2 1 1 | | 1 4 y PAP
28、Fx 珠海市 20192020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题 第 13 页，共 18 页 2 2 2 | | 1 4 y QBQFx 10 分 11 | 22 PAMQBM SSPA dQB d 2 222 12 2 111 | |() 464 k PAQB dy yd k 2 1 11 k 11 分 PAM与QBM的面积的积的取值范围是(1,)12 分 20 （本小题满分 12 分）已知函数 2 ( )(1) x f xk xex，其中 kR (1)当2k时，求函数 ( )f x的单调区间； (2)当 k1，2时，求函数 ( )f x在0，k上的最大值)(kg 的表达式
29、，并求)(kg的最大值 解： （1）( )e2( e2) xx fxkxxx k，1 分 当0k时02 x ke ，令0)( xf得; 0x令0)( xf得; 0x故 ( )f x的单调递增区 间为( 0)( )f x， ， 的单调递减区间为(0 )， 3 分 当20k时，令0)( xf得, 0x或0 2 ln k x， 当20k时0 2 ln k ，当0)( xf时 k x 2 ln或0x；当0)( xf时 k x 2 ln0； ( )f x的单调递增区间为 , 2 ln),0 , k （；减区间为），（ k 2 ln0.5 分 当2k时0 2 ln k ，当0x时0)( xf；当0x时0)
30、( xf； ( )f x的单调递增区间 为),（；6 分 （2）当21k时由（1）知， ( )f x的单调递增区间为为 , 2 ln),0 , k （ ；减区间为 珠海市 20192020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题 第 14 页，共 18 页 ），（ k 2 ln0.令 2 ( )ln1 2g kkk k ， 2 11 ( )2110 2 k g k kk ，故 ( )g k在 1 2，上单调递减，故 2 ( )(1)ln210lng kgk k ，7 分 所以当x0，k时函数 ( )f x单调减区间为），（ k 2 ln0，单调增区间为 k k , 2 ln； 故函
31、数 2 max ( )max (0)( )max(1)e1 2. k f xff kk k kkk， 由于 2 ( )(0)(1)e(1)e1 kk f kfk kkkk kk) 1)(1( k ekk 对于 1 2k ， ，011, 0) 1(eekk k ，即 ( )(0)f kf ，当1k 时等号成立， 故 2 max ( )( )(1)ekf xf kk kk 9 分 当2k时由（1）知； ( )f x的单调递增区间为),（ ；所以当x0，k时函数 ( )f x单 调递增，故 2 max ( )( )(1)ekf xf kk kk 综上所述：函数 ( )f x在0，k上的最大值为 2
32、( )(1),1,2 k g kk kekk 10 分 2 ( )(1)2 k g kkkek，由于 2 10,2 k kkee， 2 2 ( )(1)2 22222 (1)(1)0 k g kkkek kkkkk 对1,2k恒成立. ( )在1,2g k上为增函数. 2 max ( )(2)24g kge 12 分 22（本小题满分 12 分） 某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有 n（n N）份血液样 本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式： （1）逐份检验，则需要检验 n 次； （2）混合检验，将其中 k（k N且2k ）份血液样本分别取样混合在一起检验
33、，若检 验结果为阴性，这 k 份的血液全为阴性，因而这 k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检 验结果为阳性，为了明确这 k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这 k 份再逐份检验，此时这 k 份血液的检验次数总共为1k次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果 是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为 p（0 1p ）. 珠海市 20192020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题 第 15 页，共 18 页 （1）假设有 5 份血液样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过 2 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率； （2）现取其
34、中 k（k N且2k ）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的 总次数为 1 ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为 2 . （i）试运用概率统计的知识，若 12 EE，试求 p 关于 k 的函数关系式 pf k； （ii）若 3 1 1 e p ，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检 验的总次数期望值更少，求 k 的最大值. 参考数据：ln20.6931，ln3 1.0986，ln4 1.3863，ln51.6094，ln61.7918 解解（1）设恰好经过 2 次检验能把阳性样本全部检验出来为事件 A, 则 23 23 5 5 A A1 A10 P A
35、,2 分 恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为 1 103 分 （2） （i）由已知得 1 Ek, 2 的所有可能取值为 1,1k, 2 11 k Pp, 2 111 k Pkp , 2 11 1111 kkk Epkpkkp ,4 分 若 12 EE,则 11 k kkkp ,则 1 1 k p k , 1 1 1 k p k , 1 1 1 k p k , p 关于 k 的函数关系式为 1 1 1 k pf k k （k N,且2k ）6 分 （ii）由题意知 12 EE ,得 1 1 k p k , 3 1 1 e p , 3 11 e k k , 1 ln 3 kk,8
36、分 设 1 ln 3 f xxx（0x）, 珠海市 20192020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题 第 16 页，共 18 页 则 11 3 fx x ,令 0fx,则 1 3 x ,10 分 当3x 时, 0fx,即 f x在3,上单调增减, 又ln4 1.3863, 4 1.3333 3 , 4 ln4 3 , 又ln51.6094, 5 1.6667 3 , 5 ln5 3 , k 的最大值为 4 12 分 （二）选考题：共（二）选考题：共10分分 请考生在第请考生在第2223题中任选一题作答题中任选一题作答 如果多做，那么按照如果多做，那么按照 所做的第一题计分所
37、做的第一题计分 22在平面直角坐标内，直线l过点2,3P，且倾斜角 6 = 以坐标原点 O 为极点，x轴的 非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 C的极坐标方程为=4sin (1)求圆C的直角坐标方程； (2)设直线l与圆C交于A B，两点，求PA PB的值 解： （1）由=4sin得 2=4 sin ，2 分 从而有 22 4xyy即： 2 2 24xy4 分 （2）由题意设直线l的参数方程为 3cos 6 2sin 6 xt yt 即： 3 2 2 1 2 2 xt yt 5 分 珠海市 20192020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题 第 17 页，共 18 页 代入圆
38、的方程得 2 2 31 34 22 tt 7 分 整理得： 2 3 350tt 12 3 3tt， 1 2 5t t 由 12 0tt且 1 2 0t t 9 分 可知 1212 3 3PAPBtttt 10 分 23已知函数( )1f xx. （1）解不等式( )(1)4f xf x； （2）当0x，xR时，证明： 1 ()( )2fxf x . 解： （1）由( )(1)4f xf x得14xx 当1x 时，得214x 即： 5 2 x ；2 分 当01x时，得14即： 3 2 x ；4 分 （2）由 1 ()( )fxf x 1 11x x 5 分 由绝对值不等式得 11 11xx xx 7 分 又因为 1 , x x 同号，所以 11 xx xx 8 分 由基本不等式得： 1 2x x 9 分 所以 1 ()( )2fxf x 10 分 珠海市 20192020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题 第 18 页，共 18 页
