1、4-5 线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数表象 一、产生算符和消灭算符一、产生算符和消灭算符二、粒子数算符二、粒子数算符三、三、对对 的作用的作用四、四、的本征解的本征解五、能量本征值及本征态五、能量本征值及本征态六、占有数表象（粒子数表象）中算符的矩阵表示六、占有数表象（粒子数表象）中算符的矩阵表示a a nN4-5 线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数表象 一、产生算符和消灭算符一、产生算符和消灭算符 一维谐振子的哈密顿量一维谐振子的哈密顿量 222122pHx 量纲分析：量纲分析：2212Hpx 无量纲无量纲 xppx 构造无量纲算符构造无量纲算符 xxpixaxxpixa22
2、22其中其中 ，、为厄米算符。为厄米算符。/xp 说明：说明：（1 1）由于）由于 ，故，故 不是厄米算符。不是厄米算符。aaa （2 2）满足对易关系）满足对易关系 1,aa,22ppa axixi ,2ixpp x12iii （3 3）可以推出）可以推出 )(2aax)(21aaip 所以所以 222122pHx2222 44aaaaa aaaaaa a 1 2aaa a1 12a aa a1 2a a （4 4）、和和 的对易关系的对易关系 a a H1 ,2a Haa a1,2aHaa a ,a a a,a aa a ,aa a,aaa a 二、粒子数算符二、粒子数算符 引入算符引入算
3、符 Na a 性质：性质：（1 1）它是厄米算符。）它是厄米算符。()Na aa aN （2 2）满足对易关系）满足对易关系 ,N aa a a ,N aa a a 下面求它的本征值及相应的本征态。下面求它的本征值及相应的本征态。,aa a a,aaa a 设的本征值方程为设的本征值方程为 nnnaanN 把把 作用于作用于 上，得上，得 ,aNnnanaN,另一方面另一方面 ,N a nNa naN nNa nna n所以所以 nannaN)1(显然，显然，也是也是 的本征态，对应的本征值为的本征态，对应的本征值为 。na N1n 又又 2,N aN a aa N a nnanaN,把把 作
4、用于作用于 上，得上，得 2,N annanaN222,同时同时 222,N anNana N n所以所以 nannaN22)2(因此，因此，也是也是 的本征态，对应的本征值为的本征态，对应的本征值为 。2 anN2n 以此类推，得以此类推，得 也是也是 的本征态，对应的本征值为的本征态，对应的本征值为 。2 anNnk22a 22Nannan 结论：结论：的本征值及本征态分别为的本征值及本征态分别为 Nn1n2nnna na2 本征态：本征态：本征值：本征值：采用类似的办法，采用类似的办法，的本征值及本征态又可分别为的本征值及本征态又可分别为 Nn1n2nn an2 an 本征态：本征态：本
5、征值：本征值：三、三、对对 的作用的作用 a a n 因为因为 1)1(1nnnNnannaN)1(所以，可以令所以，可以令 1nna1*nan因此因此 2211nnnaan另一方面另一方面 n a a nn N n由此得由此得 n2n(0)nn n nn于是于是 1nnna即把即把 作用到作用到 上就把它变成上就把它变成 态，所以态，所以 称为称为消灭算符消灭算符或或降降算符算符。a n1na 同理同理 11nnna所以所以 称为称为产生算符产生算符或或升算符升算符。a 四、四、的本征解的本征解 N 设设 的最小本征值为的最小本征值为 ，相应的本征矢为，相应的本征矢为 ，则，则 N0n0n0
6、0na000naanN所以，所以，是是 的本征值为的本征值为0 0的本征态，记为的本征态，记为 ，即，即基态基态。0nN0 把把 、逐次作用于逐次作用于 ，得到，得到 的一系列本征解：的一系列本征解：a 2a0N 本征态：本征态：本征值：本征值：00a02a 0 1 2 0 1 2五、能量本征值及本征态五、能量本征值及本征态 12HN有有 12H nNn即即 也是也是 的本征态，对应本征值为的本征态，对应本征值为 ，其中，其中 。nH12n2,1,0n 下面求下面求 。n10a201aa302 2aannan!00!1nann所以所以 因为因为 12nn2 23 2 3 由由 （即（即 ）可得
7、）可得 00a00a0)(20 xpix0)(20 xdxdx00dd00解得解得 22100eN归一化归一化 22000Ndxed 0N 基态波函数基态波函数 2210e 因为因为 1annn即即 0!1nnan20N1()0!nan 又又 12a所以所以01!nnan21211!2nen1222!nnen 下面计算下面计算 。221en222111222eee 221122nneHe所以所以 xHenxnxnn2221!22122 e 2121He六、占有数表象（粒子数表象）中算符的矩阵表示六、占有数表象（粒子数表象）中算符的矩阵表示 1 1算符算符 、的矩阵表示的矩阵表示 a a mna
8、m a n,2,1,0,nm010002000amnam an000100020a 说明说明：实际上将矩阵：实际上将矩阵 取共轭就可得矩阵取共轭就可得矩阵 。aa 2 2算符算符 、的矩阵表示的矩阵表示 NHmnNm N n,2,1,0,nmmnHm H n 1n m n,1m nn11nm n,11m nnmnn12mnn200010000 aaN02/500002/300002/1H 3 3算符算符 、的矩阵表示的矩阵表示 xp)(2aax)(21aaipmnxm x nmnpm p n3020020100102x3020020100102ip()2m aan,1,112m nm nnn()2im aan,1,112m nm ninn 证明：证明：因为因为 aaN1,aaaaaa 所以所以 1 Na aa 同理同理 22)1(N(1)aaa aa aaaa(1)a1(1)11N a 2a 1aaN 例例1 1如果如果 是是 的本征态，对应的本征值为的本征态，对应的本征值为 ，且，且 ，那么，波函数，那么，波函数 和和 也都是也都是 的本征的本征函数，对应的本征值分别为函数，对应的本征值分别为 和和 。,1a a
