1、解题策略特殊角的妙用“12345模型”几何图形中经常会出现一些特殊角,熟悉的有30、45、60等等,特殊角往往伴随着固有属性运用于题目中,也是解题思路来源之一。比如看到30角我们会想到 ,45角总是跟等腰直角三角形说不清道不明,60甚至能牵出一只等边三角形。关于特殊角,除了用角度表示,诸如15角的倍数,还可以用三角函数表示,只要最终的结果是:(1)好看;(2)好用,就可以将其归为特殊角。 比如tanA=1/2,诚然我并不知道A的度数到底是多少,而且A也一定不是一个整数度数,但这并不妨碍A的特殊性,A所对的直角边是邻边的两倍,这与30角的 并无本质区别。 打开三角函数的大门,打开新世界。 今天,
2、故事的主角也是一个特殊角,哦不,是一组特殊角。 01从一道北京中考题说起 【2019北京中考第12题】 如图所示的网格是正方形网格,则PAB+PBA=_(点A、B、P是网格线交点) 解法有很多,这里就根据现有的方格纸来构造一下: PAB+PBA=BPQ=45 这里的PAB和PBA便是今天要说的特殊角,除了它们的和为45之外,用三角函数的观点来看: tanPAB=1/2,tanPBA=1/3 这个正切值可以说很好看了。 02“12345模型” 12345模型 对于这里的数据,为了便于记忆,通常称为“12345”模型。 上文所举的北京中考题已经足够说明这个结论,考虑到使用这个结论的多样性,以下用3
3、种方法给出证明: 法一:方格纸中的构造 小学的时候我们可能就遇到过这样一个题目:求1+2 考虑1和2的正切值,这不正是刚刚所说的和吗? 构造等角,将和组合到一起: 根据这里的等腰直角ABC,可得1+2=45 此外,模型还可变式为: 法二:勾三股四弦五 如图,AC=4,BC=3,AB=5,这个三角形我们再熟悉不过了。在这里: 分别延长CB、CA可构造构造 此处我们还可得: 这个也是在解题中常用的结论。 法三:构造矩形 直角中夹一个45角也是一种常见的构图。 此处我们还可得: 03 慧眼识角 做题从来都不是靠题目告诉我什么,而是结合已知信息,分析这里需要什么 1 已知45+寻、已知45+寻 留意题
4、中给的45角以及由正切值确定的和。 【2018湖北中考第9题】 如图,正方形ABCD中,AB=6,G是BC的中点,将ABG沿AG对折至AFG,延长GF交DC于点E,则DE长是( ) A1 B1.5 C2 D2.5 【分析解答】 根据BG是AB的一半,可得tanBAG=1/2, 连接AE,易证AEFAED, tanDAE=1/3,DE=2, 故此题选C 【2019盐城中考第16题】 如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=2x-1的图像分别交x、y轴于点A、B,将直线AB绕点B顺时针旋转45,交x轴于点C,则直线BC的函数表达式是_ 【分析解答】 根据解析式可知: 即可求得C点坐标(3,0),可求
5、得解析式。 【2017浙江丽水第16题】 如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+m分别交x轴、y轴于A、B两点,已知点C(2,0),点P为线段OB的中点,连接PA、PC,若CPA=ABO,则m的值是_ 【分析解答】 PAO=,APC=45,OPC=,OP=6,OA=12,m=12 【2017无锡中考第18题】 在如图的正方形方格纸上,每个小的四边形都是相同的正方形,A、B、C、D都在格点处,AB与CD相交于O,则tanBOD的值等于_ 【分析解答】 取点E如图所示,则OAE=,OEA=45,BOD=+45,tanBOD=3 2 发掘潜在的2、2 已知有3:4:5的直角三角形,其锐角的一
6、半即为所求的与,反之,2、2也存在着特殊的三角函数值。 【2016甘肃天水第16题】 如图,把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中,使OA、OC分别落在x轴、y轴上,连接OB,将纸片OABC沿OB折叠,使点A落在点A位置,OB为根号5,tanBOC=1/2,则点A的坐标为_ 【分析解答】 tanABO=tanBOC=1/2,tanABA=4/3, 即AHB三边之比为3:4:5, 再根据BA=BA=2, 即可求得A坐标 【2017宜宾中考第7题】 如图,在矩形ABCD中,BC=8,CD=6,将ABE沿BE折叠,使点A恰好落在对角线BD上F处,则DE的长是( ) A3 B24/5 C5 D89/16 【分析解答】 考虑tanABD=4/3,tanABE=1/2, AE=3,DE=5故选C 3 正方形中的角度构造 正方形是中考最常出现的几何图形之一,由于对角线平分对角使得45成为常客。 【一个小题目】 在正方形ABCD中,边长为6,BE=2AE,连接DE,在AD、BC上分别存在点G、F,连接GF交DE于H点,且GHD=45,求线段FG=_ 【分析解答】 观察发现tanADE=1/3,且GHD=45,条件已经具备,考虑GF可动,平移GH,将、45汇于直角处。可知CF=3, 所以DF长度为3倍根号5