1、开放与探究（开放与探究（二二）特殊三角形的探究性问题特殊三角形的探究性问题第1章 三角形的初步认识1234提示：点击 进入习题答案显示答案显示习题链接习题链接1305个个1或或25678约为约为18.44(1)60；ADBE(2)AEB90,ADBE(1)见习题见习题(2)是是是是,证明证明见见习题习题【例例】在在ABC中，中，ABAC，B50，点，点D是是AB上的一点，上的一点，点点P是是BC上的一点上的一点(不与不与B，C重合重合)，PACBPD，若若APD是等腰三角形，求是等腰三角形，求PAD的度数的度数【解题秘方解题秘方】本题考查的是等腰三角形的性质定理本题考查的是等腰三角形的性质定理
2、1.根据根据APD是等腰三角形分三种情况进行讨论是等腰三角形分三种情况进行讨论解解：ABAC，CB50.APBBPDAPDPACC，PACBPD，APDC50.由由APD是等腰三角形，可分三种情况讨论：是等腰三角形，可分三种情况讨论：若若ADAP，则，则ADPAPD50，B50，ADPB，ADP50不成立，不成立，ADAP；若若ADDP，则，则PADAPD50；若若PDAP，则，则PADPDA(18050)265.综上所述，综上所述，PAD的度数为的度数为50或或65.1如图，在长方形如图，在长方形ABCD的对称轴的对称轴l上找一点上找一点P，使得，使得PAB，PBC，PDC，PAD均为等腰三
3、角形，则满足条件的点均为等腰三角形，则满足条件的点P有有_5个个2如图，已知如图，已知ABC是边长为是边长为3 cm的等边三角形，动点的等边三角形，动点P，Q同时从同时从A，B两点出发，分别沿两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它方向匀速移动，它们的速度都是们的速度都是1 cm/s，当点，当点P到达点到达点B时，时，P，Q两点停两点停止设它们运动的时间为止设它们运动的时间为t s当当t_时，时，PBQ是直是直角三角形角三角形1或或23如图，四边形如图，四边形ABCD中，中，BAD115，BD90，M，N分别为分别为BC，CD上的一个动点当上的一个动点当AMN的周长最小时，的周长最小时，AM
4、NANM的度数为的度数为_【点拨点拨】如图，作如图，作A关于关于BC和和CD的对称点的对称点A，A，连结，连结AA，交交BC于于M，交，交CD于于N，则线段，则线段AA的长为的长为AMN的周长的的周长的最小值最小值易知易知ABAM，ADAN，BAD115，AA18011565.BAMDAN65.MAN1156550.AMNANM18050130.4【中考中考贵阳】如图，在第贵阳】如图，在第1个个ABA1中，中，B20，ABA1B.在在A1B上取一点上取一点C，延长，延长AA1到到A2，使得，使得A1A2A1C；在在A2C上取一点上取一点D，延长，延长A1A2到到A3，使得，使得A2A3A2D按
5、此按此作法进行下去，第作法进行下去，第n个三角形以个三角形以An为顶点的内角的度数为为顶点的内角的度数为_5如图，如图，ABC和和CDE均为等腰三角形，均为等腰三角形，ACBC，CDCE，ACCD，ACBDCE，且点，且点A，D，E在同一直线在同一直线上，连结上，连结BE.(1)若若ACB60，如图，如图，则，则AEB的度数为的度数为_；线段线段AD，BE之间的数量关系是之间的数量关系是_60ADBE(2)若若ACBDCE90，如图，如图，求，求AEB的度数，并判的度数，并判断断AD，BE之间的数量关系之间的数量关系ACDBCE.CDACEB，ADBE.易得易得CDE为等腰直角三角形，为等腰直
6、角三角形，CDECED45.CEBCDA18045135.AEB1354590.6.(1)如图如图，点，点M，N分别在等边分别在等边ABC的的BC，CA边上，且边上，且BMCN，AM，BN交于点交于点Q.试说明：试说明：BQM60.解解：ABC是等边三角形，是等边三角形，ABBC，ABCC60.BMCN，ABMBCN(SAS)BAMCBN，BQMABQBAMABQCBN60.(2)若将题中若将题中“BMCN”与与“BQM60”的位置交换，得的位置交换，得到的是否仍是真命题到的是否仍是真命题？若将题中的点若将题中的点M，N分别移动分别移动BC，CA的延长线上，如图的延长线上，如图，是否仍能得到，
7、是否仍能得到BQM60？请请你进行判断，在下列横线上填写你进行判断，在下列横线上填写“是是”或或“否否”：_；_并对并对给出证明给出证明是是是是证明：证明：ABC是等边三角形，是等边三角形，ABACBC，BACACB60，BANACM120，又又CNBM，ANCM.ANBCMA.NM.NAQMAC，BQMACB60.7如图，在如图，在ABC中，中，ABAC16厘米，厘米，BC10厘米，点厘米，点D为为AB的中点的中点(1)如果点如果点P在线段在线段BC上以上以2厘米厘米/秒的速度由秒的速度由B点向点向C点运动，点运动，同时，点同时，点Q在线段在线段CA上由上由C点向点向A点运动点运动若点若点Q
8、的运动速度与点的运动速度与点P的运动速度相等，经过的运动速度相等，经过1秒后，秒后，BPD与与CQP是否全等，请说明理由是否全等，请说明理由；解解：ABAC16厘米，点厘米，点D为为AB的中点的中点，BD8厘米，厘米，BC，若点若点Q的运动速度与点的运动速度与点P的运动速度不相等，当点的运动速度不相等，当点Q的运动的运动速度为多少时，能够使速度为多少时，能够使BPD与与CQP全等？全等？解解：ABAC16厘米，点厘米，点D为为AB的中点的中点，BD8厘米，厘米，BC，设当点设当点Q的运动速度为的运动速度为a厘米厘米/秒时，经过秒时，经过t秒，能够使秒，能够使BPD与与CQP全等全等，点点Q的运
9、动速度与点的运动速度与点P的运动速度不相等，的运动速度不相等，BP和和CQ不是对应边不是对应边，则，则BDCQ，BPCP，2t102t，解得，解得t2.5，BDCQ，82.5a，解得解得a3.2，即当点，即当点Q的运动速度为的运动速度为3.2厘米厘米/秒时，经过秒时，经过2.5秒，能够使秒，能够使BPD与与CQP全等全等(2)若点若点Q以以中的运动速度从点中的运动速度从点C出发，点出发，点P以原来的运动速以原来的运动速度从点度从点B同时出发，都逆时针沿同时出发，都逆时针沿ABC三边运动，经过多三边运动，经过多长时间点长时间点P与点与点Q第一次在第一次在ABC的哪条边上相遇？的哪条边上相遇？8有
10、一个长方体纸盒，如图所示，小明所在数学小组研究从有一个长方体纸盒，如图所示，小明所在数学小组研究从长方体的底面长方体的底面A点沿长方体表面到与点沿长方体表面到与A点相对的点相对的B点的最短点的最短距离若长方体的长为距离若长方体的长为12，宽为，宽为9，高为，高为5，请你帮助该小，请你帮助该小组求出在长方体表面上由组求出在长方体表面上由A点到点到B点的最短距离点的最短距离(参考数参考数据：据：21.592466，19.242370，18.442340)解解：将四边形将四边形ACDF与四边形与四边形FDBG展开在同一平面上，展开在同一平面上，如图如图，连结，连结AB.在直角三角形在直角三角形ACB
11、中，根据勾股定理，得中，根据勾股定理，得AB2AC2BC2122(95)2340.将四边形将四边形AHGF与四边形与四边形FDBG展开在同一平面上，如图展开在同一平面上，如图，连结连结AB.在直角三角形在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得中，根据勾股定理，得AB2AD2DB2(125)292370.将四边形将四边形ACDF与四边形与四边形DCEB展开在同一平面上，如图展开在同一平面上，如图，连结连结AB.在直角三角形在直角三角形AEB中，根据勾股定理，得中，根据勾股定理，得AB2AE2EB2(129)252466.因为因为340370466，所以在长方体表面上由所以在长方体表面上由A点到点到B点的最短距离是如图点的最短距离是如图的情况，的情况，此时此时AB18.44.所以在长方体表面上由所以在长方体表面上由A点到点到B点的最短距离约为点的最短距离约为18.44.
