1、第第5 5章章 特殊平行四边形特殊平行四边形5.3 5.3 正方形正方形1课堂讲解课堂讲解正方形正方形的的性质性质正方形的判定正方形的判定2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 给给你一张正方形的彩色纸，你能一刀剪出你一张正方形的彩色纸，你能一刀剪出如如图图所示所示的正方形的正方形孔孔吗？吗？1知识点知识点正方形的性质正方形的性质正方形的性质：正方形的性质：(1)具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质，即：具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质，即：边：四条边相等，邻边垂直，对边平行；边：四条边相等，邻边垂直，对边平行；角：四个角都是直角；角：四个角都是直角；对角线
2、：对角线相等、互相垂直平分，每条对角线：对角线相等、互相垂直平分，每条对对 角角线平分一组对角线平分一组对角知知1 1讲讲(2)正方形的特殊性质：正方形的特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的的 等腰等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成直角三角形；两条对角线把正方形分成四四 个个全等的等腰直角三角形；全等的等腰直角三角形；周长相等的四边形中，正方形的面积最大；周长相等的四边形中，正方形的面积最大；是轴对称图形，有是轴对称图形，有4条对称轴；条对称轴；面积为边长的平方或对角线平方的一半面积为边长的平方或对角线平方的一半知知1 1讲讲（来自（来自
3、点拨点拨）如如图，图，正方形正方形ABCD的边长为的边长为1 cm，AC为对角线，为对角线，AE平分平分BAC，EFAC，垂足为，垂足为F，求，求BE的长的长知知1 1讲讲线段线段BE是是RtABE的一边的一边，但，但由于由于AE未知，不能直接用勾未知，不能直接用勾股股定理定理求求BE，由条件可，由条件可证证ABE AFE，问题转化为，问题转化为求求EF的长，结合已知条件易获解的长，结合已知条件易获解导引导引：例例1 四边形四边形ABCD为正方形，为正方形，B90，ACB45，ABBC1 cm.EFAC，EFAEFC90.又又ECF45，EFC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，EFFC.BA
4、EFAE，BEFA90，AEAE，ABE AFE.ABAF1 cm，BEEF，FCBE.在在RtABC中，中，AC FCACAF(1)(cm)，BE(1)cm.知知1 1讲讲2222112(cm),ABBC（来自（来自点拨点拨）22解：解：总总 结结知知1 1讲讲 解解有关正方形的问题，要充分利用正方形的有关正方形的问题，要充分利用正方形的四四边边相等、四角相等、对角线互相垂直平分且相等相等、四角相等、对角线互相垂直平分且相等等等性质性质，正方形的性质、等腰直角三角形的特点、，正方形的性质、等腰直角三角形的特点、勾勾股股定理是解决正方形的相关证明与计算问题的三定理是解决正方形的相关证明与计算问
5、题的三把把钥匙钥匙知知1 1讲讲例例2 已知：如图，在正方形已知：如图，在正方形ABCD中，中，对角线对角线AC与与 BD的交点的交点为为O，E是是OB上的一点，上的一点，DGAE于于G，DG交交AO于于F，求证：，求证：EFAB.要证要证EFAB，由于，由于OBA45，EOF90，即需证，即需证OEF45，即要证明，即要证明OEOF，而，而OEOF可通过证明可通过证明AEO DFO获得获得（来自（来自点拨点拨）导引：导引：知知1 1讲讲四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，AOEDOF90，AODO，OBA45.又又DGAE，EAOAEOEDGGED90.AEOGED，EAOFDO.AEO
6、 DFOOEOF.OEF45.OEFOBA.EFAB.（来自（来自点拨点拨）证明：证明：总总 结结知知1 1讲讲 通通过证明三角形全等得到边和角相等，再进一步过证明三角形全等得到边和角相等，再进一步得到平行或垂直，是有关正方形中证边或角相等的最得到平行或垂直，是有关正方形中证边或角相等的最常用的方法，而正方形的四条边相等，四个角都是直常用的方法，而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件角为证明三角形全等提供了条件（来自（来自点拨点拨）如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，中，AC为对角线，为对角线，E为为AC上上一点，连结一点，连结EB，ED.(1)求证：求证：BEC
7、DEC；(2)延长延长BE交交AD于于F，当，当BED120时，时，求求 EFD的度数的度数知知1 1练练（来自（来自点拨点拨）1如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，对角线中，对角线AC，BD相交于点相交于点O，E，F分别在分别在OD，OC上，且上，且DECF，连结，连结DF，AE，AE的延长线交的延长线交DF于点于点M.求证：求证：AMDF.知知1 1练练（来自（来自点拨点拨）2如图，正方形如图，正方形ABCD的对角线相交于点的对角线相交于点O，EFAB分别交分别交OA、OB于于E、F两点，连结两点，连结CF、BE，则则下列说法中，不正确的是下列说法中，不正确的是()AOEOF BOFE
8、CFOCCFBE DCFBE知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）3(中考中考怀化怀化)如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，如果中，如果AFBE，那么，那么AOD的度数是的度数是_知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）4(中考中考黄冈黄冈)如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，点中，点F为为CD上上一点，一点，BF与与AC交于点交于点E，若，若CBF20，则则AED等于等于_度度知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）52知识点知识点正方形的判定正方形的判定知知2 2导导 正方形有哪些性质？如何判定一个四边形是正方正方形有哪些性质？如何判定一个四边形是正方形？把它们写出来，并和同学交
9、流一下，然后证明其形？把它们写出来，并和同学交流一下，然后证明其中的一些结论中的一些结论.思考思考知知2 2导导 我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？问题问题知知2 2讲讲正方形的判定方法：正方形的判定方法：要判定一个四边形是正方形，最常用的方法就是要判定一个四边形是正方形，最常用的方法就是先证明它是矩形先证明它是矩形(或菱形或菱形)，再证明这个矩形，再证明这个矩形(或菱形或菱形)有有一组邻边相等一组邻边相等(或有一个角是直角或有一个角是直角)，其实质就是根据正，其实
10、质就是根据正方形的定义来判定，当然也可以先证四边形是平行四方形的定义来判定，当然也可以先证四边形是平行四边形，再证有一组邻边相等且有一个角是直角，或证边形，再证有一组邻边相等且有一个角是直角，或证这个平行四边形的对角线相等并且互相垂直这个平行四边形的对角线相等并且互相垂直（来自（来自典中点典中点）知知2 2讲讲已知已知：如：如图图,在在 RtABC中，中，ACB=90，CD 是是ACB 的平分线，的平分线，DEBC，DFAC，垂足分别垂足分别是是E,F.求证求证:四边形四边形CFDE是是正方形正方形.例例3 C知知2 2讲讲 DEBC，DFAC，DEC=DFC=90.而而ACB=90，四边形四
11、边形CFDE是矩形是矩形(有有三个角是直角的三个角是直角的四边四边 形形是是矩形矩形).又又CD是是ACB的平分线的平分线.1=2，DE=DF(为什么为什么？).四边形四边形CFDE是正方形是正方形(有有一组邻边相等的一组邻边相等的矩矩 形形是是正方形正方形).证明证明：总总 结结知知2 2讲讲 在在证明四边形是正方形时，如果条件中有直角证明四边形是正方形时，如果条件中有直角，通常通常先证明四边形是矩形，再证明矩形的邻边先证明四边形是矩形，再证明矩形的邻边相等相等来来解答解答.知知2 2讲讲例例4 如图，已知在如图，已知在 ABCD中，对角线中，对角线AC，BD交于点交于点O，E 是是BD的延
12、长线上的点，且的延长线上的点，且EAEC.(1)求证：四边形求证：四边形ABCD是菱形；是菱形；(2)若若DACEADAED，求证：四边形求证：四边形ABCD是正方形是正方形若要证明若要证明 ABCD是菱形，由于题中条件与对角线是菱形，由于题中条件与对角线相相关关，则需证，则需证ACBD；要证；要证 ABCD是正方形，有三是正方形，有三种种途径途径可走，即在平行四边形、菱形、矩形的基础上可走，即在平行四边形、菱形、矩形的基础上，找找各需补充的条件进行证明各需补充的条件进行证明导引：导引：知知2 2讲讲(1)四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，AOCO，EAEC，EOAC，即，即BD
13、AC，四边形四边形ABCD是菱形是菱形(2)ADOEADAED，DACEADAED，ADODAC，AODO，四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，AC2AO，BD2DO，ACBD，又由又由(1)知四边形知四边形ABCD是菱形，是菱形，四边形四边形ABCD是正方形是正方形.（来自（来自点拨点拨）证明：证明：已知：如图已知：如图，ABD和和BCD都都是是等腰等腰直角三角形，直角三角形，A=C=Rt.求证求证:四边形四边形ABCD是正是正方形方形.知知2 2练练（来自（来自教材教材）12求证求证:依次依次连结正方形各边中点所成的四边形是连结正方形各边中点所成的四边形是正正方形方形.下列叙述错误的是下列
14、叙述错误的是()A既是矩形又是菱形的四边形是正方形既是矩形又是菱形的四边形是正方形B有一组邻边相等的矩形是正方形有一组邻边相等的矩形是正方形C有一个角是直角的菱形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形D对角线相等且互相垂直的四边形是对角线相等且互相垂直的四边形是正方形正方形知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）3如图，在如图，在ABC中，中，ACB90，BC的垂直的垂直平分线平分线EF交交BC于点于点D，交，交AB于点于点E，且，且BEBF，添加一个条件，仍不能证明四边形，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是为正方形的是()ABCAC BCFBF CBDDF DACBF知知2 2
15、练练（来自（来自典中点典中点）4 正方形同时具备平行四边形、矩形、菱形的所有正方形同时具备平行四边形、矩形、菱形的所有性质，因此，正方形的四个角都是直角，四条边都相性质，因此，正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分等，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角，正方形是轴对称图形，有四条对称轴这一组对角，正方形是轴对称图形，有四条对称轴这些性质为证明线段相等、垂直，角相等提供了重要的些性质为证明线段相等、垂直，角相等提供了重要的依据依据 证明条件中不含对角线的四边形是正方形的四证明条件中不含对角线的四边形是正方形的四种方法：种方法：方法方法1：
16、证：证：“四边形四边相等四个直角四边形四边相等四个直角”；方法方法2：证：证：“平行四边形一组邻边相等一个直平行四边形一组邻边相等一个直 角角”；方法方法3：证：证：“矩形一组邻边相等矩形一组邻边相等”；方法方法4：证：证：“菱形一个直角菱形一个直角”证明条件中含对角线的四边形是正方形的方法：证明条件中含对角线的四边形是正方形的方法：(1)证：证：“四边形对角线互相垂直、平分且相等四边形对角线互相垂直、平分且相等”；(2)证：证：“平行四边形对角线互相垂直且相等平行四边形对角线互相垂直且相等”；(3)证：证：“矩形对角线互相垂直矩形对角线互相垂直”；(4)证：证：“菱形对角线相等菱形对角线相等”1.必做必做:完成教材完成教材P125作业题作业题T1-T52.补充补充:请完成请完成典中点典中点剩余部分习题剩余部分习题
