1、2.1 误差的基本概念及其分类2.2 随机误差的处理2.3 系统误差2.4 粗大误差2.12.1误差的基本概念及其分类误差的基本概念及其分类真值真值 所谓真值，是指在观测一个量时，该量本身所谓真值，是指在观测一个量时，该量本身所具有的真实大小。所具有的真实大小。真值有理论真值和约定真值之分。真值有理论真值和约定真值之分。根据国际计量委员会通过并发布的各种物理根据国际计量委员会通过并发布的各种物理量参量单位的定义，利用当今最先进科学技术复量参量单位的定义，利用当今最先进科学技术复现这些实物单位基准，其值被公认为国际或国家现这些实物单位基准，其值被公认为国际或国家基准，称为约定真值。基准，称为约定
2、真值。被测量的测得值是由所使用的测量器具读数被测量的测得值是由所使用的测量器具读数装置所指示出来的，也称为示值装置所指示出来的，也称为示值x x。误差的定义及表示法误差的定义及表示法 所谓误差就是测得值与被测量的真值之间所谓误差就是测得值与被测量的真值之间的差，可用下式表示：误差的差，可用下式表示：误差=测得值测得值-真值真值 测量误差的表示方法有以下三种：测量误差的表示方法有以下三种：绝对误差绝对误差某量值的测得值和真值之差为绝对误差，通某量值的测得值和真值之差为绝对误差，通常简称为误差，即常简称为误差，即 绝对误差绝对误差=测得值测得值-真值真值 为消除系统误差用代数法而加到测量结果为消除
3、系统误差用代数法而加到测量结果上的值称为修正值。将测得值加上修正值后上的值称为修正值。将测得值加上修正值后可视为近似的真值，即可视为近似的真值，即 真值真值测得值测得值+修正值修正值2.12.1误差的基本概念及其分类误差的基本概念及其分类相对误差相对误差 绝对误差与被测量的真值之比称为相对误差。绝对误差与被测量的真值之比称为相对误差。因测得值与真值接近，故也可近似用绝对误差与因测得值与真值接近，故也可近似用绝对误差与测得值之比值作为相对误差，即测得值之比值作为相对误差，即%100%100测得值绝对误差真值绝对误差相对误差在实际中，相对误差有下列表示形式：1、实际相对误差：实际相对误差是用绝对误
4、差与被测量的实际值的百分比值来表示的相对误差。2、示值相对误差：示值相对误差是用绝对误差与器具的示值的百分比值来表示的相对误差。%100实际值绝对误差实际相对误差%100示值绝对误差示值相对误差2.1误差的基本概念及其分类引用误差 用绝对误差与器具的满度值（全量程）的百分比值来表示的相对误差，称为满度相对误差，又称满度误差。%100全量程示值误差引用误差2.1误差的基本概念及其分类 检测仪器的精度等级 仪表的精度等级（准确度等级）就是用仪表的最大引用（满度）误差 来表示，并以 的大小来划分仪表的精度等级G，其定义为：即maxmax%100%maxmaxLxG100maxLxG任何符合计量规范的
5、检测仪器（系统）都满足 仪表的准确度等级只是从整体上反映仪表的误差情况，在使用仪表进行测量时，其测量准确度往往低于仪表的准确度，而且如果被测量的值离仪表的量限愈远，其测量的准确度愈低。因此，为了提高测量准确度，一方面要选择准确度等级G合适的仪表，更应该注意根据被测量x选择量限合适的仪表，一般应使被测量 ，最好使%maxG2Lx 32Lx 2.1误差的基本概念及其分类误差的分类 根据测量误差的性质及产生的原因，可分为三类：随机误差 在同一测量条件下，多次重复测量同一量值时，测量误差的大小和正负符号以不可预知的方式变化，这种误差叫做随机误差，又称偶然误差。随机误差是由很多复杂因素的微小变化的总和所
6、引起的，因此分析比较困难。系统误差 当在一定的相同条件下，对同一物理量进行多次测量时，误差的大小和正负总保持不变或者误差按一定的规律变化，这种误差叫做系统误差。引起系统误差的因素主要有：材料、零部件及工艺缺陷；环境温度、湿度、压力的变化以及其它外界干扰等。可以利用修正值来减小或消除系统误差。粗大误差 在相同的条件下，多次重复测量同一量时，明显地歪曲了测量结果的误差，称为粗大误差，简称粗差。粗差是由于疏忽大意，操作不当，或测量条件的超常变化而引起的。含有粗大误差的测量值称为坏值，所有的坏值都应去除，但不是主观或随便去除，必须科学地舍弃。正确的实验结果不应该包含有粗大误差。2.22.2随机误差的处
7、理随机误差的处理2.2.12.2.1随机误差的概率分布随机误差的概率分布 从测量实践可知，在排除了系统误差和粗大误差的情况下，对某一物理量进行等精度的多次测量时，其测得值中还会含有随机误差。对于测量列中的某一个测得值而言，这类误差的出现具有随机性，即误差的大小和符号是不能预先知道的；当测量次数增大，这类误差却又具有统计的规律性，测量次数愈多，这种规律性就表现得愈明显。随机误差的这种统计规律常称为误差分布律。2.2随机误差的处理随机误差的处理 在对大量的随机误差进行统计分析后，可以总结出在对大量的随机误差进行统计分析后，可以总结出随机误差分布的如下几点特点随机误差分布的如下几点特点：对称性。随机
8、误差可正可负，但绝对值相等的正、负误差出现的次数相同，或者是概率密度分布曲线 对称于纵轴。抵偿性。相同条件下，当测量次数 时，全体误差的代数和为0，亦即 ，或者说，正误差与负误差相互抵消。当测量次数无限多时，误差的算术平均值趋近于零，也就是数学期望为零。这是随机误差最本质的特性。fn01limniin单峰性。绝对值小的误差出现的次数多，绝对值大的误差出现的次数少。换言之，绝对值小的误差比绝对值大的误差的概率密度大，在 处概率最大，即 。有界性。绝对值很大的误差几乎不出现，故可认为随机误差有一定的界限。0 max0ff2.22.2随机误差的处理随机误差的处理 设在重复条件下对某一被测量 x（真值
9、为A0）进行无限多次测量，得到一系列测得值 x1，x2，xn，若测量误差符合正态分布，则各值出现的概率密度分布可由下列正态分布的概率密度函数来表达 正态分布的测量值x的概率密度 为如果令误差为 ，则上式可改写为称之为概率方程或高斯误差方程。220221Axexf 2222exp212122ef)(xf0Ax图图2-1 2-1 随机误差的概率密度分布曲线随机误差的概率密度分布曲线图图2-2 2-2 随机误差的正态分布曲线随机误差的正态分布曲线2.2.22.2.2随机误差的数值特征随机误差的数值特征对于离散型或连续型的随机误差，它在数轴上的分布规律，虽可采取分布函数或分布密度及其相应的分布曲线图形
10、来表示，但在实际测量数据处理中，要确定误差的分布函数或分布密度函数是很困难的，一般也是不必要的，若知道了随机误差的数字特征，就能明确地说明随机误差分布的特征。用于描述随机误差分布特性的数值，叫做随机误差的数字特性。2.22.2随机误差的处理随机误差的处理随机误差的数值特征主要有：算术平均值对某一量进行一系列等精度测量，由于存在随机误差，其测得值皆不相同，应以全部测得值的算术平均值作为最后测量结果。设 x1，x2，xn 为 次测量所得的值，则算术平均值 为niinxnnxxxx12112.22.2随机误差的处理随机误差的处理标准误差 对于全体测量值（等精度的无限测量列）来说，其标准误差 是方差D
11、x的均方根值，可以表示为对于等精度的有限测量列，其标准误差的计算方法略有不同。当可知真值A0时，标准误差的计算公式与等精度的无限测量列情况类似，仅n为有限值而已。niinniinxnAxnD121201lim1limniin121算术平均值的标准偏差及其估计值如前所述，对于有限等精度测量，可以用有限个观测数据的算术平均值作为测量结果。尽管算术平均值是被测真值的最佳估计值，但由于实际的测量次数有限，算术平均值毕竟还不是真值，它本身也含有随机误差。假设各观测值遵从正态分布，则算术平均值也是遵从正态分布的随机误差。可以证明，算术平均值的标准偏差为nxx)()(2.22.2随机误差的处理随机误差的处理
12、2.2.3测量结果的置信度对于服从正态分布的测量误差，出现在区间a,b 内的概率是 由于正态分布密度函数的对称性，可求得测量误差 出现于区间-l,l 的概率为 dbaPba222exp21dlPllPl2202exp2122.2随机误差的处理置信区间定义为：随机变量取值的范围，用符号 l或-ll 表示。由于标准误差 是正态分布的重要特征，为此，置信区间常以 的倍数来表示，即 式中，Z为置信系数，或 （称为置信限）。置信概率定义为：随机变量 在置信区间 内取值的概率，用下列符号表示ZllZ Zl l dfZPZll置信区间定义置信区间定义图图2-3 2-3 置信区间与置信概率置信区间与置信概率置
13、信系数 取不同典型值时，当Z=1时，置信区间为2倍的标准误差的宽度，即 ；置信概率为 ；置信水平为 。326827.0dfPZ 313173.01ZPZ2.22.2随机误差的处理随机误差的处理当Z=2时，置信区间为 ，置信概率为 ；置信水平为 。当Z=3时，置信区间为 ，置信概率为 ；置信水平为 。2322219545.02PZ2210455.02PZ3703699973.03PZ37010027.03PZ2.3.1系统误差的产生原因系差产生的原因是较复杂的，它可以是某个原因引起的，也可以是几个因素综合影响的结果。主要有：由于测量设备、试验装置不完善，或安装、调整、使用不得当引起的误差。如测量
14、仪表未经校准投入使用。由于外界环境影响而引起的误差。如温度漂移、测量现场电磁场的干扰等。由于测量方法不正确，或测量方法所赖以存在的理论本身不完善引起的误差。如使用大惯性仪表测量脉动气流的压力，则测量结果不可能是气流的实际压力，甚至也不是真正的均值。测量人员方面因素引起误差。如测量者在刻度上估计读数时，习惯偏于某一方向；动态测量时，记录某一信号有滞后的倾向。2.3.12.3.1系统误差的产生原因系统误差的产生原因2.3.22.3.2系统误差的分类系统误差的分类按系统误差的特点，可以分为恒定系统误差和变化系统误差。图2-4所示为各种系统误差随测量过程 变化的特征。图图2-4 2-4 系统误差的变化
15、特征系统误差的变化特征abe恒定系差恒定系差见图2-4中的a。恒定系统误差是指误差的大小和符号恒定不变的误差。例如，工业仪表校验时，标准表的误差会引起被校表的恒定误差；仪表零点的偏高或偏低，观察者读数时的角度不正确（对模拟式仪表而言）等所引起的误差也是恒定误差。变化系差变化系差它是一种按照一定规律变化的系差。根据变化特点又可分为 三种l累积性系差：累积系差是一种在测量过程中，随着时间的增长误差逐渐加大或减小的系差。它可以随时间作线性变化（称线性系差）（见图b），也可以是非线性变化的（见图c），其原因往往是由于元件的老化、磨损以及工作电池的电压或电流随使用时间的加长而缓慢降低等引起的。l周期性系
16、差：周期性系差是指测量过程中误差大小和符号均按一定周期发生变化的系差（见图d）。例如，秒表指针的回转中心偏离刻度盘中心时会产生周期性误差；冷端为室温的热电偶温度计会因室温的周期性变化而产生系差。l复杂变化系差：复杂变化的系差是一种变化规律仍未掌握的系差（见图e）。其上、下限值常常确定了系统不确定度。在某些条件下，它向随机误差转化，可按随机误差处理。例如，微安表的指针偏转角与偏转力矩不能严格保持线性关系，而表盘仍采用均匀刻度所产生的误差等。2.3.32.3.3判断系统误差的方法判断系统误差的方法在测量过程中产生系统误差的原因是复杂的，发现它和判断它的方法也有多种，下面介绍几种常用方法。实验对比法
17、实验对比法这种方法是改变测量条件及测量仪器或测量方法。只适用于发现恒定系差。剩余误差观察法剩余误差观察法根据测量列的各个剩余误差大小和符号的变化规律，直接由误差数据或误差曲线图形来判断有无系统误差。这种方法主要适用于发现变值系差。2.3 系统误差图2-5 剩余误差散点图n马利科夫判据这个判据用于发现累积性系差。首先把剩余误差（残差）Vi按测量列先后顺序排列，并将其前后两部分分别求和，然后取其差值。当n为偶数时 当n为奇数时 nniiniiM1221nniiniiM232112.3 2.3 系统误差系统误差n阿卑赫梅特判据这个判据用以发现周期性系差。首先把残差 按测量列先后顺序排列，并将其依次两
18、两相乘，然后取和的绝对值 若 ，则可认为测量列中存在周期性系差。对于存在变值系差的测量数据，原则上应舍弃不用。但是，其残差的最大值明显地小于测量允许的误差范围或仪器规定的系统误差范围，其测量数据可以考虑使用。若继续测量，则需密切注意误差变化情况。111niiiA21nA2.3 系统误差一、从产生误差根源上消除系统误差 从产生误差根源上消除系统误差是最根本的方法，它要求测量人员对测量过程中可能产生的系统误差的环节作仔细分析，并在测量前就将误差从产生根源上加以消除。首先，应检查测量仪器本身的性能是否符合要求。其次，测量前应仔细检查仪表是否处于正常工作条件。2.3.4系统误差的减小和消除二、用修正方
19、法消除系统误差 在测量之前，应对仪器仪表进行校准或定期进行检定。通过检定，可以用上一级标准（或基准）对仪器仪表进行检定,取得受检仪器的修正值。将修正值 加入测量值x中，即可消除系统误差，求出实际值 由于修正值本身也包含有一定误差，因此用修正值消除系统误差的方法，不可能将全部系统误差修正掉，总要残留少量系统误差，对这种残留的系统误差则应按随机误差进行处理。CxA三、恒定系统误差消除法代替法代替法 代替法的实质是在测量装置上对被测量测量后不改变测量条件，立即用一个标准量代替被测量，放到测量装置上再次进行测量，从而求出被测量与标准量的差值，即 被测量=标准量+差值抵消法抵消法 这种方法要求进行两次测
20、量，以便使两次读数时出现的系统误差大小相等，符号相反，取两次测得值的平均值，作为测量结果，即可消除系统误差。交换法交换法 这种方法是根据误差产生原因，将某些条件交换，以消除系统误差。四、线性系统误差消除法对称法对称法是消除随时间成比例变化的线性系统误差的有效方法，假设误差按照如图2-6所示的斜线规律变化，只要测量时间的各个时间间隔相等则有 3221图图2-6 2-6 对称法对称法五、周期性系统误差消除法半周期法对周期性误差，可以相隔半个周期进行两次测量，取两次读数平均值，即可有效地消除周期性系统误差。周期性系统误差一般可表示为 设=1时，误差为 当2=1+时，即相差半周期的误差为TA2sin1
21、12sinTA11122sin2sinTATA取两次读数平均值则有 由此可知半周期法能消除周期性误差。02221212.3 系统误差系统误差2.4.1粗大误差的产生原因u测量人员的主观原因：在测量时不小心、不耐心、不仔细等，从而造成了错误的读数或错误的记录，这是产生粗大误差的主要原因。u客观外界条件的原因：由于测量条件意外地改变（如机械冲击、外界振动等），引起仪器示值或被测对象位置的改变而产生粗大误差。2.4.22.4.2判别粗大误差的准确判别粗大误差的准确在判别某个测得值是否含有粗大误差时，要特别慎重，应作充分的分析和研究，并根据判别准则予以确定。拉依达准则拉依达准则表达式为：（2-27）3
22、 xxb格拉布斯准则格拉布斯准则表达式为：（2-28）式中的判别值 是和测量次数n、超差概率 相关的数值，可通过查表2-1获得。(,)bbbGxxKKn),(nKG表2-1 格拉布斯系数nn0.050.010.050.0131.151.16172.482.7841.461.49182.50 2.8251.671.75192.532.8561.821.94202.562.8871.942.10 212.582.9182.032.22222.60 2.9492.112.32232.622.96102.182.41242.642.99112.232.48252.663.01122.282.55302.743.10 132.332.61352.813.18142.372.66402.873.24152.412.70 502.963.34162.442.751003.173.592.4 2.4 粗大误差粗大误差
