1、17 振动基本理论振动基本理论 振动是日常生活和工程实际中常见的现象。例如：钟摆的往复摆动，汽车行驶时的颠簸，电动机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。振动（振动（Vibration）:系统在平衡位置附近作往复运动。振动的利弊：利利：振动给料机；弊弊：磨损，减少寿命，影响强度 振动筛；引起噪声，影响劳动条件 振动沉拔桩机等。消耗能量，降低精度等。研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动为人类服务。单自由度系统的振动 按系统的自由度分 多自由度系统的振动 弹性体的振动振动的分类：按振动产生的原因分：自由振动强迫振动自激振动无阻尼的自由振动有阻尼的自由振动（衰减振动）无
2、阻尼的强迫振动有阻尼的强迫振动17.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 实际中的振动往往很复杂，为了便于研究，需简化为力学模型。力学模型。质量弹簧系统振体 17.1.1 自由振动微分方程 如图17-1所示振动系统，设物块的质量为m，弹簧原长为 l0，刚度系数为 k。物块在平衡位置时，弹簧的变形为 ，称为静变形。平衡时，重力G与弹性力相等，即st x st l0 F k x G 图 17-1 stGmgk 弹簧的静变形为 kmgst（17-1）xkFst取物块的静平衡位置为坐标原点，x轴铅垂向下，当物块在任意位置x处时，弹簧对物块的作用力大小为（17-2）根据牛顿第二定律，物块的运
3、动微分方程为 22ddstxmmgkxtxktxm22dd令 mkn2 0dd222xtxn（17-3）单自由度系统无阻尼自由振动（Free vibration）微分方程的标准形式。通解：（17-4）12cossinnnxCtCt任意瞬时的速度为tCtCtxvnnnncossindd21 01xC nvC02当t=0时，x=x0，v=v0，可求出积分常量 sin1AC cos2AC tAxnsin令 式（17-4）可写成 （17-5）（17-6）2222012000tannnvACCxxv 无阻尼自由振动是简谐振动，其运动图线如图17-2所示。0 txA0A0tT图 17-2x0 17.1.2
4、 自由振动的特点（17-7）Ttxtx2ttTnn无阻尼自由振动的周期 nT2无阻尼自由振动的频率 21nTf（17-8）（1）周期与频率。物体的无阻尼自由振动是周期运动，设周期为T（17-10）（17-9）2nfGmgstGktsngmkn2表示物体在 2 秒内振动的次数，称为圆频率圆频率（Circular frequency）。只与系统本身的质量m及弹簧刚度k有关，而与运动的初始条件无关，是振动系统的固有特性，所以称为固有圆频率（固有频率（固有圆频率（固有频率（Natural frequency）。其单位与频率 f 相同，为赫兹（Hz）。tnA表示物块偏离振动中心的最大距离，称为振幅振幅（
5、Amplitude），它反映自由振动的范围和强弱；称为振动的相位（相位（Phase）（或相位角），单位是弧度（rad），相位决定了物块在某瞬时t的位置，而 称为初相位，它决定了物块运动的起始位置。（2）振幅和初位相tAxnsin 例17-1 求如图17-3所示单摆的微幅振动周期。已知摆球质量为m，摆绳长为l。解：单摆的静平衡位置为铅垂位置，用摆绳偏离垂线的夹角 j 作为角坐标。摆球受到重力 mg和绳拉力 F 的作用。取j 的增大方向为正向，依据动量矩定理，得 O j F l mg v 图 17-3 jjsindd222lgmtml0sindd22lgtjj微幅振动 jjsin0dd22jjlg
6、t固有圆频率 lgn周期为 22nlTg 例17-2 滑轮重量为 G，重物 M1，M2重量为 G1，G2。弹簧的刚度系数为k，如图17-4所示。设滑轮为均质圆盘，略去弹簧与绳子的质量，求重物垂直振动的周期。jrts 解：以滑轮偏离其平衡位置的转角j 为确定系统位置的坐标。设滑轮半径为r。当系统在任意位置j 时，弹簧的变形量为依据动量矩定理，有012stJkrrG rG rjj 系统对点O的转动惯量系统在平衡位置时弹性力对点O之矩与重物重力对点O之矩相互抵消，即222212012122GGGGrJrrrGGgggg120stkrG rG r22122GrGGkrgjj 122022gkGGGjj
7、12222ngkGGG1222222nGGGTgk （1）弹簧并联。图17-5表示刚性系数为k1，k2的弹簧组成的两种并联系统。17.1.3 弹簧的并联与串联 在物块重力作用下，每个弹簧产生的静变形相等，由物块的平衡条件可得tstskkmg21将并联弹簧看成为一个弹簧，其刚度系数 ，称为等效刚度系等效刚度系数数（Equivalent stiffness）。tseqmgk21kkkeq（17-11）并联弹簧系统的等效刚度系数等于各弹簧刚度系数之和。这一结果说明弹簧并联后总的刚度系数增大了。该系统的固有圆频率为 mkkmkeqn21 （2）弹簧串联。图17-6表示两个弹簧串联，两个弹簧的刚度系数分
8、别为k1，k2。在物块重力作用下每个弹簧所受的拉力相同，因此每个弹簧的静变形为11kmgts22kmgts211121kkmgtststs将串联弹簧看成为一个弹簧，其等效刚度系数为keq，则有qetskmg弹簧总的静变形为21111kkkeq（17-12）表明串联弹簧系统的等效刚度系数的倒数等于各弹簧刚度系数的倒数之和。2121kkkkkeq 串联弹簧系统的固有频率为2121kkmkkmkeqn（17-13）17.2 计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法 求系统固有频率的方法：（1）运动微分方程法 （2）静变形法stng （3）能量法。能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振动系统
9、的固有频率，用能量法来求更为简便。nkm 对于如图17-1所示无阻尼振动系统，当系统作自由振动时，物块的运动规律为tAxnsin速度：tAtxvnncosddtmAmvTnn2222cos2121动能：选静平衡位置为零势能位置，系统的势能：xgmxkVt sts2221tkAxkVn222sin2121mgkt s物块处于静平衡位置时，势能为零，动能最大，即22max21AmTn物块距振动中心最远时，动能为零，势能最大，即2max21AkVmaxmaxVTmkn无阻尼自由振动系统是保守系统，机械能守恒 对于质量弹簧系统，固有频率为：这种求振动系统固有频率的方法称为能量法能量法。例17-3 如图
10、17-7所示系统中，圆柱体半径为 r，质量为 m，在水平面上滚而不滑；弹簧刚度系数为 k。试求系统的固有频率。解：以弹簧处于原长时圆柱圆心为坐标原点，以圆柱圆心偏离原点的距离 x为系统的运动坐标。设系统作自由振动，坐标 x 的变化规律为tAxnsin动能：tAmxmmvJTnn222222cos4343212122max43AmTn最大动能：tAkxkVn222sin22势能：2max2AkV最大势能：maxmaxVT222243AkAmnmkn32机械能守恒，有jjtnmsin 例17-4 用能量法计算例17-2题，如图17-4所示。解：以滑轮偏离其平衡位置的转角j为系统的坐标。设系统作自由
11、振动，振动规律为 当系统在任意位置j 时，其动能为2221202222121112221cos22mnnGGTJrrggrGGGtgjjjj 最大动能：222max12224mnrTGGGgj 系统在任意位置j 时，其势能为最大势能：2212222222sin22s ts tmnkVrG rG rkkrrtjjjjj22max2mrkVjmaxmaxTV21212242nkGGGg12222ngkGGG1222222nGGGTgk 17.3 单自由度系统有阻尼自由振动单自由度系统有阻尼自由振动 自由振动是简谐运动，振幅不随时间而变。但实际中振动的振幅几乎都是随时间逐渐减小的，这是由于阻尼（阻尼
12、（Damping）的存在。阻尼有多种形式：如黏性阻尼、干摩擦阻尼、结构变形产生的内阻尼等。这里只讨论黏性阻尼。阻尼：振动过程中，系统所受的阻力。当振动速度不大时，阻力近似地与速度成正比，方向与速度相反。这样的阻尼称为黏性阻尼（黏性阻尼（Viscous damping）。设振动质点的速度为 v，黏性阻尼的阻尼力可表示为（17-14）其中比例常数 C 称为阻尼系数（阻尼系数（Coefficient of damping），负号表示阻力与速度的方向相反。RC Fv（17-16）17.3.1 振动微分方程 质量弹簧系统存在黏性阻尼。取静平衡位置为原点，坐标轴 x 向下为正（见图17-8）。物块的运动微
13、分方程为 FR F G o x x k m C（b）图 17-8（a）txCxkmgtxmtsdddd220dddd22xmktxmCtxmkn2mCn2 0dd2dd222xtxntxn有阻尼自由振动微分方程的标准形式。（17-17）17.3.2 微分方程的通解：（1）小阻尼情形nn2Cmk（）阻尼系数22esinntnxAn tesin()ntdxAt22nnd有阻尼自由振动的圆频率00 0,txxvv设时则222020002200();tannnxnvnxAxnvnx 分三种情况讨论：由小阻尼情形下的自由振动表达式式（17-17）知，振幅随时间不断衰减，所以又称为衰减振衰减振动动（Dam
14、ped Vibration）。运动图线如图17-9所示。-Ae-nt x x0 图 17-9 dAe-nt Td O t A1 A A2 衰减振动的特点：entxAentxA 振幅在曲线与 之间逐次递减。这种振动已不是周期振动，但仍然是围绕平衡位置的往复运动，仍然具有振动的特点。entAd2nnCmk（17-19）瞬时振幅衰减振动的圆频率 称为阻尼比（阻尼比（Damping ratio）。22212 11dndnTT（17-20）相同的质量及刚度系数条件下，衰减振动的周期比无阻尼自由振动的周期长。（17-21）（17-22）振幅减缩率：两个相邻振幅之比 1eeeididntnTin tTiAA
15、AA任意两个相邻振幅之比为一常数。衰减振动的振幅呈几何级数减小。对数减缩率：diinTAA1ln221（17-23）阻尼很小时：2（17-24）（17-25）（2）大阻尼情形（）nn222212eeennntntntxCC 积分常数由C1、C2由运动的初始条件决定。系统不具备振动特性。（3）临界阻尼情形（）nn临界阻尼系数 mkCC212entxCC t积分常数由C1、C2由运动的初始条件决定。系统不具备振动特性。综上所述，系统受粘滞阻尼作用时，只有在nn的情况下才发生振动，振动的周期较无阻尼时略长，而振幅则按几何级数递减。在临界阻尼和大阻尼情形下，系统已不振动。例17-5 一有阻尼的弹簧质量
16、系统如图17-10（a）所示。测得 ，如图17-10（b）所示。已知质量块m=450 kg，振动周期为 1 s。求此系统的弹性系数 k 及阻尼系数C。1291xx （a）图 17-10 x2 x1 O t x k m C（b）dnTAA9lnln21 解：振幅的对数减缩率为mCn2Td=1s msN19789n12 mC将 、代入221n910.33022CmkmN19935422mCk 17.4 单自由度系统无阻尼受迫振动单自由度系统无阻尼受迫振动 由于阻尼的存在，自由振动的振幅逐渐衰减，最后，系统的振动停止。但实际中，振动系统常常会受到激振力激振力的作用。由激振力所引起的振动称为受迫振受迫
17、振动动（Forced vibration）。例如，电机转子的偏心引起的振动。sinSFHt 简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力，简谐激振力 FS 随时间变化的关系为H 称为激振力的力幅，即激振力的最大值；是激振力的圆频率（17-26）17.4.1 振动微分方程 x st l0 k x F G FS S m（b）图 17-11（a）O 如图17-11（a）所示的质量弹簧系统，物块质量为m。取重物的静平衡位置为坐标原点O，x 轴铅垂向下。当物体在离原点 x 处时，作用于物体上的力有重力G，弹性力 F 和激振力 FS，如图17-11（b）所示。重物的运动微分方程为22ddsinstSxmGkxF
18、tkxHt 2nmkmHh，（17-27）令thxtxnsindd222得（17-28）无阻尼受迫振动微分方程的标准形式。解由两部分组成21xxx齐次通解：tAxnsin1特解：tBxsin2将x2代入式（17-28），得22nhB（17-29）全解为thtAxnnsinsin22（17-31）表明：无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的，第一部分是频率为固有频率的自由振动自由振动；第二部分是频率为激振力频率的振动，称为受迫振动受迫振动。由于振动系统中总有阻尼存在，自由振动部分会很快地衰减下去。下面着重研究受迫振动。17.4.2 受迫振动的振幅受迫振动的振幅 22nhB 振幅的大小与运动初始条件无
19、关，与振动系统的固有频率 n、激振力频率、激振力力幅 H 有关。幅频 特性曲线：kHhBn200 （1），激振力的周期趋于无穷大，激振力为一恒力，此时并不振动。在此恒力作用下的静变形为 n B0 图 17-12（a）0 B（b）0 1 1 n0 （2），振幅 B 随着激振力频率 的增加而增大（见图17-12（a）。当 接近于n时，振幅 B 将趋于无穷大。纵轴取为 ，为振幅比，振幅比表示由常力H 的静力作用换成 的作用时，振动系统变形扩大的倍数。横轴取为 ，称频率比。l 和b 的关系如图17-12（b）所示。0BBbtHsinnl ，振幅 B 为负值，表示受迫振动 x2与激振力反相。习惯上把振幅
20、都取为正值，因此 B 取其绝对值。随着激振力频率的增大，振幅减小，当 趋于 时，振幅 B 趋于零。（3）nttBxncos2 当 =n 时，振幅 B 理论上趋向无穷大，这种现象称为共振共振（Resonance）。此时，式（17-30）所表示的特解失去意义。此时微分方程的特解应为 17.4.3 共振现象nhB2代入微分方程得tthxnncos22故共振时受迫振动的规律为（17-32）振幅为 。共振时，随着时间的增加，振幅不断加大，如图17-13所示。thn2 t O x 图 17-13 实际上，由于系统存在有阻尼，共振时振幅不可能达到无限大。但一般来说共振时的振幅都是相当大的。如不预先加以防止，
21、极易造成工程上的危害。例17-6 电机质量 m=800 kg，安装在弹性梁中部，如图17-14（a）所示。电机转速n=1450 r/min，由于转子偏心引起的激振力幅 H=600 N，梁静变形 st=0.4 cm。不计梁重及阻尼。求受迫振动的振幅及共振时电机的临界转速。解 图17-14（a）所示的系统可简化为图17-14（b）所示的模型，系统的刚度系数为 stmgk系统的固有圆频率为 srad5.49104.08.92stngmk151.8rad s30n激振力圆频率为2sm75.0800600mHhmm0364.0m1064.35.498.15175.052222nhB30472.9r mi
22、n30CnnCnn 单位质量的激振力幅为 当激振力频率（即电机转子的角速度）等于系统的固有频率 n 时，系统产生共振，这时的转速称为临界转速。设临界转速以nC表示，则有 所以，受迫振动的振幅为17.5 单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的有阻尼受迫振动 FS FR F G O x k m C 图 17-15 选平衡位置为坐标原点，坐标轴铅直向下，如图17-15所示建立质点的运动微分方程 22ddSRxmGFFFtsinSFHtxkFstddRxFCvCttxCkxtHtxmddsindd22mHh mkn2mCn 2thxtxntxnsindd2dd222（17-33）有阻尼受迫振动微分
23、方程的标准形式。全解：（17-34）21xxx小阻尼，齐次部分通解：tnAexnnt221sintBxsin2特解：振动的相位落后于激振力的相位角 tBtnAexnntsinsin22全解：两部分组成：第一部分是有阻尼的自由振动，因阻尼影响，其振幅将随时间的增加而衰减，一段时间后便消失。第二部分是有阻尼的受迫振动，它是周期变化的激振力引起的振动。在持续简谐激振力作用下，受迫振动也是一个持续进行的简谐运动，称为振动的稳定状态稳定状态。（17-35）2sinxxBt稳定状态下：代入式（17-33），可得 222224nhBn222tannn（17-36）（1）激振力力幅 H 对振幅 B 的影响：H
24、，及阻尼对振幅 B 的影响：mHh，振幅 B 与激振力力幅成正比成正比。（2）激振力圆频率 对振幅 B 的影响：222224nhBn2222241nnnnnhB02Bhnnlnn22220411llbBB 以 b 为纵轴，以 l为横轴，对于每一个 值，都可得到一条幅频特性曲线。在图17-16中画出了不同 值的幅频特性曲线。11b0l图 17-16 1）低频区 1nln0BBb 趋近于1，表明缓慢变化的激振力的动力作用与其最大值的静力作用几乎相同。3）当 趋近于1，即 趋近于n时，在小阻尼情况下，幅频特性曲线出现一个峰值，此时振幅显著地增大。2）高频区 0BBb 趋近于零，即振幅 B 趋近于零。1nlnnl （3）阻尼对振幅B的影响：由图17-16可以看出，在低频区和高频区，阻尼对振幅的影响十分微小，可忽略系统的阻尼。当 趋近于 n 时，即在共振区内，阻尼对振幅的影响很大。在共振区内，阻尼对受迫振动有显著的抑制作用。
