1、12.4 矩阵的初等变换与矩阵的秩矩阵的初等变换与矩阵的秩主要内容主要内容3.初等变换求逆矩阵初等变换求逆矩阵1.矩阵的初等变换矩阵的初等变换2.矩阵的秩矩阵的秩 矩阵的初等变换是矩阵分析的重要工具，在矩阵的初等变换是矩阵分析的重要工具，在线性代数中有十分广泛的应用，所以必须熟练掌线性代数中有十分广泛的应用，所以必须熟练掌握矩阵初等变换的方法。握矩阵初等变换的方法。2 1.1.矩阵的初等变换矩阵的初等变换一一.矩阵的初等变换矩阵的初等变换定义定义2.14下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:）；）；记作记作两行两行对调两行（对调对调两行（对调jirrji,1 ;02
2、乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以数数 k .3 ）记记作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的对对应应的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 3同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换 (把把“r”换成换成“c”)矩阵的初等变换包括矩阵的初等变换包括 初初等等行行变变换换初初等等列列变变换换通常称变换为通常称变换为(1)对换变换对换变换 (2)倍乘变换倍乘变换(3)倍加变换倍加变换初等变换的逆变换仍为初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换,且变换类型相同且变换类型相同jirr kri 逆变换逆变换;jirr 逆
3、变换逆变换;)1(krkrii 或或jikrr 逆变换逆变换.)(jijikrrrkr 或或4等价关系的性质：等价关系的性质：1 AA（）反反身身性性；2 AB ,BA;（）对称性 若则3 AB,BC,AC.（）传传递递性性 若若则则ABABAB如如果果矩矩阵阵经经有有限限次次初初等等变变换换变变成成矩矩阵阵，就就称称矩矩阵阵与与等等价价，记记作作具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价例如，两个线性方程组同解，例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价定义定义5例例121112112144622436979A 197963211322111
4、241211B 21rr 23 r6331000620000111041211B 979632113221112412111B13322rrrr 143rr 234330635500222041211B 13322rrrr 143rr 23252rrr 243rr 75 00000310003011040101B 310006200001110412113B43rr 342rr 4 00000310000111041211B 43rr 342rr 21rr 32rr 8其特点：其特点：（1 1）可划出一）可划出一条阶梯线，线的条阶梯线，线的下方全为零；下方全为零；5 0000031000301
5、1040101B （2）每个台每个台阶只有一行阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元零元.54都称为行阶梯形矩阵都称为行阶梯形矩阵和和矩阵矩阵BB9 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵B5还称为还称为行最简型阶梯矩阵行最简型阶梯矩阵，即非零，即非零行的第一个元素是行的第一个元素是1，且这些非零元素所在列的其它元素，且这些非零元素所在列的其它元素都为零都为零 对任何非零矩阵对任何非零矩阵A总可以经过有限次的总可以经过有限次的初等行变换初等行变换化为行阶梯矩阵与行最简型阶
6、梯矩阵化为行阶梯矩阵与行最简型阶梯矩阵注意注意1：行最简型矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形：行最简型矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的矩阵的行数也是由方程组唯一确定的注意注意2：任意可逆矩阵也可以经过有限次的：任意可逆矩阵也可以经过有限次的初等行变换初等行变换化化为单位矩阵为单位矩阵.10123221343A 解解例例2 将将 化为单位矩阵化为单位矩阵.123025026 123221343A 213123rrrr 1232rrrr 123221343A 例例2 将将 化为单位矩阵化为单位矩阵.1 020250 01 100020001 132325rrrr
7、23(2)(1)rr 1 0 00 1 00 0 1 11注意注意 3 行最简形阶梯矩阵再经过初等列变换，可化成行最简形阶梯矩阵再经过初等列变换，可化成 标准标准形矩阵形矩阵 定义定义2.17 若一个矩阵具有如下特征：若一个矩阵具有如下特征：（1）位于左上角的子块是一个）位于左上角的子块是一个 r 阶的单位矩阵；阶的单位矩阵；（2）其余的子块都是零矩阵；）其余的子块都是零矩阵；则称为则称为标准形矩阵标准形矩阵定理定理2.6 任意非零矩阵都可经过初等变换化为标准形矩阵任意非零矩阵都可经过初等变换化为标准形矩阵.rm nEOAOO .,的的行行数数行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵中中非非零零行行就就是是三
8、三个个数数唯唯一一确确定定，其其中中此此标标准准形形由由rrnm12 000003100030110401015 B214ccc 3215334cccc 例如，例如，F 00000001000001000001 0000030100310104100143 cc 00000301003001040001.的的标标准准形形称称为为矩矩阵阵矩矩阵阵BF13注意注意 4 行最简形阶梯矩阵是唯一的，行最简形阶梯矩阵是唯一的，注意注意 5 有时仅用初等行变换或初等列变换不一定能将矩阵有时仅用初等行变换或初等列变换不一定能将矩阵化为标准形矩阵化为标准形矩阵二二.矩阵秩的概念矩阵秩的概念 梯形，行阶梯形矩阵
9、中非零行的行数是唯一确定的梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的.它它反映了矩阵的一个本质特征反映了矩阵的一个本质特征 矩阵的秩矩阵的秩.任何矩阵总可经过有限次初等行变换把它变为行阶任何矩阵总可经过有限次初等行变换把它变为行阶14定义定义2.18.,2阶子式阶子式的的称为矩阵称为矩阵阶行列式，阶行列式，的的中所处的位置次序而得中所处的位置次序而得变它们在变它们在不改不改元素元素处的个处的个），位于这些行列交叉），位于这些行列交叉列（列（行行中任取中任取矩阵矩阵在在kAkAknkmkkkAnm 123023524714A例例如如，123235471 230352714，则则13012025
10、2232414474，都是都是A的全部的全部4个个3阶子式阶子式.15.)(子子式式的的最最高高阶阶数数中中不不等等于于零零的的是是的的秩秩矩矩阵阵AARAnm ，对于对于TA).()(ARART 显有显有.)(0102.19等于零等于零并规定零矩阵的秩并规定零矩阵的秩的秩，记作的秩，记作称为矩阵称为矩阵的最高阶非零子式，数的最高阶非零子式，数称为矩阵称为矩阵，那末，那末于于）全等）全等阶子式（如果存在的话阶子式（如果存在的话，且所有，且所有式式阶子阶子的的中有一个不等于中有一个不等于 设在矩阵设在矩阵定义定义ARArADrDkA 16例例3.174532321的秩的秩求矩阵求矩阵 A解解中，
11、中，在在 A，阶子式只有一个阶子式只有一个的的又又AA3.03221，且且0 A.2)(AR17例例4.00000340005213023012的秩的秩求矩阵求矩阵 B解解行，行，其非零行有其非零行有是一个行阶梯形矩阵，是一个行阶梯形矩阵，3B.4阶子式全为零阶子式全为零的所有的所有B,0400230312 而而.3)(BR18问题：问题：经过变换的矩阵秩变吗？经过变换的矩阵秩变吗？推论推论 等行变换将其变为行阶梯形矩阵等行变换将其变为行阶梯形矩阵总可以经过有限次初总可以经过有限次初因为对于任何矩阵因为对于任何矩阵m nA 定理定理2.7 矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩矩阵的初等行变换不改变矩
12、阵的秩.矩阵的初等列变换不改变矩阵的秩矩阵的初等列变换不改变矩阵的秩.证证).()(BRARA 则则经一次初等行变换变为经一次初等行变换变为 B先证明先证明：若若.0 rD且且A的某个阶子式的某个阶子式设设R(A)=r19时，时，或或当当BABAkrrriji 时，分三种情况讨论：时，分三种情况讨论：当当BAjikrr ,.rrDDB相对应的子式相对应的子式中总能找到与中总能找到与在在,rrrrrrkDDDDDD 或或或或由于由于.)(0 rBRDr ，从而，从而因此因此行；行；行但不含第行但不含第中含第中含第）（行；行；行和第行和第中同时含第中同时含第）（行；行；中不含第中不含第）（jiDj
13、iDiDrrr32120.)(,0)2(),1(rBRDDDBrrr 故故子式子式对应的对应的中与中与两种情形，显然两种情形，显然对对，对情形对情形)3(,rrjijirDkDrkrkrrD ,0 rD若若,非零子式非零子式阶阶行的行的中有不含第中有不含第行知行知中不含第中不含第因因riAiDr.)(rBR 21,0 rD若若.)(,0rBRDDrr 也有也有则则()().R AR B 因因此此 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变有限次初等行变换矩阵的秩仍不变).()(BRARBA，则则经一次初等行变换变为经一次初等行变换
14、变为若若 ,AB为为也可经一次初等变换变也可经一次初等变换变又由于又由于).()(ARBR 故也有故也有 ).()(,BRARBA 也有也有经初等列变换变为经初等列变换变为设设22,BA经初等列变换变为经初等列变换变为设设).()(),(,BRARBABA 则则即即经有限次初等变换变为经有限次初等变换变为若若综上综上,TTBA 经初等行变换变为经初等行变换变为则则),()(TTBRAR),()(),()(TTBRBRARAR 且且).()(BRAR 证毕证毕23例例5，求该矩阵的秩，求该矩阵的秩已知已知 510231202231A解解1运用秩的概念求解运用秩的概念求解,此方法麻烦此方法麻烦.2
15、4做初等变换，做初等变换，对矩阵对矩阵 510231202231A,000031202231510231202231 显然，非零行的行数为显然，非零行的行数为2，.2 AR此方法简单！此方法简单！25化为行最简型.并求秩310211211344A.将矩阵26定义定义2.20 由单位矩阵由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方阵称经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵为初等矩阵.E三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三种初等方阵.行（列）上去行（列）上去乘某行（列）加到另一乘某行（列）加到另一以数以数乘某行或某列；乘某行或某列；以数以数对调两行或两列；对调两行或两列；kk.30.2.1
16、3.初等变换求逆矩阵初等变换求逆矩阵(1)(1)对调两行或两列，得初等对调两行或两列，得初等对换矩阵对换矩阵。(1)初等矩阵初等矩阵27，得得初初等等方方阵阵两两行行，即即中中第第对对调调)(,jirrjiE11011(,)11011ijPE i ji 第第行行j 第第行行28).()(0 kiEkriki矩阵矩阵，得初等，得初等行行乘单位矩阵的第乘单位矩阵的第以数以数 11()()11iP kE i kki 第第行行(2)以数以数0k 乘某行或某列，得初等乘某行或某列，得初等倍乘矩阵倍乘矩阵。29，列列上上列列加加到到第第的的第第乘乘或或以以行行上上行行加加到到第第的的第第乘乘以以)()(i
17、jjikccjiEkkrrijEk 11()()11ijkP kE ij ki 第第 行行j 第第 行行(3)以数以数0k 乘某行（列）加到另一行（列）上，乘某行（列）加到另一行（列）上，得初等得初等倍加矩阵倍加矩阵。30 ),(),(1；则则的的逆逆变变换换是是其其本本身身，变变换换jiEjiErrji );1()(11kiEkiEkrkrii 则则，的的逆逆变变换换为为变变换换1()()().ijijrkrrk rE ij kE ijk 变变换换的的逆逆变变换换为为，则则初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。1()()ijijPkPk 即即1ijijP
18、P 即即11()()iiPkPk 即即31初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵例例6 计算计算1112121222313231 0 0(1)000 0 1nnnaaakaaaaaa 111212122231323nnnaaakakakaaaa 3211122122313210(2)010001kaaaaaa1131123221223132akaaaaaaa 111213212223313233100(3)001010bbbbbbbbb111312212322313332bbbbbbbbb 33定理定理2.8阶阶初初等等矩矩阵阵。乘乘一一个个相相应应的的的的右
19、右边边相相当当于于在在施施行行一一次次初初等等列列变变换换，对对阶阶初初等等矩矩阵阵；的的左左边边乘乘一一个个相相应应的的相相当当于于在在施施行行一一次次初初等等行行变变换换，矩矩阵阵，对对是是设设nAAmAAnmA 证明证明 具体验证即可具体验证即可行上，即行上，即倍加到第倍加到第行行的第的第施行倍加变换，将施行倍加变换，将按行分块，对按行分块，对设设ikjAAA34另两种情形同理可证另两种情形同理可证 AkijE)(mjik 11111 mjjik 11ijirk rjmA 1ijjmk 35 .A,AkikiAEkiAkiE列乘列乘的第的第表示表示行乘行乘的第的第表示表示 .A,A列上列
20、上加到第加到第列乘列乘的第的第表示表示行上行上加到第加到第行乘行乘的第的第表示表示jkikijAEikjAkijE .A,A,列对换列对换列与第列与第的第的第表示表示行对换行对换行与第行与第的第的第表示表示jijiAEjiAjiE一般记法：一般记法：36定理定理2.9n 阶矩阵可逆的充要条件是阶矩阵可逆的充要条件是 A 可以表示成初等可以表示成初等矩阵的乘积矩阵的乘积.证明证明充分性是显然的，下面证明必要性充分性是显然的，下面证明必要性.21sPP PAE 若若A可逆，则存在一系列的初等矩阵可逆，则存在一系列的初等矩阵 ，使得，使得 12sPPP，因为初等矩阵可逆，且逆矩阵也是初等矩阵，从而因
21、为初等矩阵可逆，且逆矩阵也是初等矩阵，从而11112sAPPP 推论推论 如果对可逆矩阵如果对可逆矩阵 A 和同阶单位矩阵和同阶单位矩阵 E 作同样的初等作同样的初等行变换，那么当行变换，那么当A 变成单位矩阵变成单位矩阵E 时，时，E 就变成就变成 。1A 初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，定理得证。初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，定理得证。37 1AEEA初初等等列列变变换换即，即，等号两边右乘等号两边右乘1,A 121()sPP P EA 使使得得即即，1,AEEA，初初等等行行变变换换1,AAE 又又 121sE PP PA 21,sA PP PE 21sPP PAE 若若A可逆，则存在一系
22、列的初等矩阵可逆，则存在一系列的初等矩阵 ，使得，使得 12sPPP，38 (2)初等变换求逆矩阵初等变换求逆矩阵由推论，利用初等行变换求可逆矩阵由推论，利用初等行变换求可逆矩阵A的逆矩阵的逆矩阵021112111A 例例8 8 已知已知，求逆矩阵，求逆矩阵1.A 100111010211001120,EA解解 10011100112001021121rr39 11010000112001021113rr 11010011102001021132rr 110100212121010010211212r40 1101002121210102523210013212rrr 110212121252
23、3211A41注意注意7 若作初等行变换时若作初等行变换时,出现全行为出现全行为0，则矩阵的行列式等，则矩阵的行列式等于于0。结论：矩阵不可逆结论：矩阵不可逆!求逆时求逆时,若用初等行变换必须坚持始终若用初等行变换必须坚持始终,不能夹杂任何列不能夹杂任何列 变换变换.注意注意6E)()(11BAEBAA )(BABA1 即即初等行变换初等行变换注意注意8 利用初等行变换求逆矩阵的方法还可用于求矩阵利用初等行变换求逆矩阵的方法还可用于求矩阵1.A B 42例例9.341352,343122321 ,BABAXX，其中，其中使使求矩阵求矩阵解解.1BAXA 可逆，则可逆，则若若方法方法1 1：先求
24、出：先求出 ,再计算再计算 。1A 1A B 方法方法 2：直接求直接求 。1AB 1()()A BEAB 初等行变换初等行变换43132325rrrr 1232r rr r 213123rrrr 343431312252321)(BA 1226209152052321 311009152041201 3110064020230014413223.13XA B 23(2)(1)rr ，3110032010230011,YAC YCA 若若,1作初等列变换，作初等列变换，则可对矩阵则可对矩阵如果要求如果要求 CACAY45.1 CAY即可得即可得作初等行变换，作初等行变换，也可改为对也可改为对)
25、,(TTCA,CA 1 CAE列变换列变换),)(,(),1TTTTCAECA（列变换列变换TT1C)(AYT即可得即可得,C)(T1 TA.Y故故可可求求得得又，又，1()()TTTTTTTTYACA YCYAC 46.,1000110011102222A1,njiijAAn式式之之和和中中所所有有元元素素的的代代数数余余子子求求方方阵阵已已知知解解例例10,02 A.可逆可逆A.1*AAA且且47 10001000010011000010111000012222EA 10001000110001000110001000121000148,100011000110001211 A*12AA
26、njiijA1,故故.1)1()1(21 2 nn491.1.单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵.一次初等变换一次初等变换2.利用初等变换求逆阵的步骤是利用初等变换求逆阵的步骤是:;1 EAEA或或构造矩阵构造矩阵 .,(,211 AEEAEAAEEAEA对应部分即为对应部分即为后后划为单位阵划为单位阵将将变换变换施行初等列施行初等列或对或对对应部分即为对应部分即为右边右边后后化为单位矩阵化为单位矩阵将将施行初等行变换施行初等行变换对对小结小结：503.3.要求掌握内容要求掌握内容(1)(1)掌握三种初等变换及与之对应的三种初等矩阵掌握三种初等变换及与之对应的三种初等矩阵.做到做到给出变换会写
27、相应的初等矩阵给出变换会写相应的初等矩阵,反之亦然反之亦然.(2)明确初等矩阵与其他矩阵做乘积的含义明确初等矩阵与其他矩阵做乘积的含义.(3)会用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵会用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵.1,AEEA，初初等等行行变变换换 1AEEA初初等等列列变变换换51思考题思考题思考题解答思考题解答11111011212324335185Aabc 其中其中,a b c为参数为参数,求求A的秩的秩A对 作初等变换得,52111110112123243351881111101121012102252Aabcabc 531111101121001000010abc (1)1,10,()4(2)1,1&0,()3(3)1,10,()3(4)1,1&0,()2caor br Acabr Acaor br Acabr A当当当当当当当当 54练习:n1.设13201022112320121AA求求 552.设1112,010,31116TAXB YABAB求求X,YX,Y 3.设4_201100030,010,22,202000ABXAXBBAXX若若 满满足足则则 56答案n1.111240101113621610A 5711111222.010,3,(2,1,4)112022AXY 40003.010001X
