1、一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F（1）如图，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；（2）如图，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H求证ADBAOB；求点H的坐标（3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）【答案】（1）D（1，3）；（2）详见解析；H（，3）；（3）S【解析】【分析】（1）如图，在RtACD中求出CD即可解决问题；（2）根据HL证明即可；
2、，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在RtAHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出m即可解决问题；（3）如图中，当点D在线段BK上时，DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上时，DEK的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；【详解】（1）如图中，A（5，0），B（0，3），OA=5，OB=3，四边形AOBC是矩形，AC=OB=3，OA=BC=5，OBC=C=90，矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，AD=AO=5，在RtADC中，CD=4，BD=BC-CD=1，D（1，3）（2）如图中，由四边形ADEF是矩形，得到ADE=90，点D在线段BE上，ADB=90
3、，由（1）可知，AD=AO，又AB=AB，AOB=90，RtADBRtAOB（HL）如图中，由ADBAOB，得到BAD=BAO，又在矩形AOBC中，OABC，CBA=OAB，BAD=CBA，BH=AH，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在RtAHC中，AH2=HC2+AC2，m2=32+（5-m）2，m=，BH=，H（，3）（3）如图中，当点D在线段BK上时，DEK的面积最小，最小值=DEDK=3（5-）=，当点D在BA的延长线上时，DEK的面积最大，最大面积=DEKD=3（5+）=综上所述，S【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知
4、识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题2如图1，在ABCD中，AB=6，B= (6090). 点E在BC上，连接AE，把ABE沿AE折叠，使点B与AD上的点F重合，连接EF.(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)如图2，点M是BC上的动点，连接AM，把线段AM绕点M顺时针旋转得到线段MN，连接FN，求FN的最小值(用含的代数式表示).【答案】（1）详见解析；（2）FEsin(90)【解析】【分析】(1)由四边形ABCD是平行四边形得AFBE，所以FAE=BEA，由折叠的性质得BAE=FAE，BEA=FEA,所以BAE=FEA，故有ABFE，因此四边形
5、ABEF是平行四边形，又BE=EF,因此可得结论；(2)根据点M在线段BE上和EC上两种情况证明ENG90，利用菱形的性质得到FEN90，再根据垂线段最短，求出FN的最小值即可.【详解】（1）四边形ABCD是平行四边形，ADBC，FAE=BEA，由折叠的性质得BAE=FAE，BEA=FEA, BE=EF，BAE=FEA，ABFE，四边形ABEF是平行四边形，又BE=EF，四边形ABEF是菱形；（2）如图1，当点M在线段BE上时，在射线MC上取点G，使MGAB，连接GN、EN.AMNB，AMN+21+B12又AMNM，ABMGABMMGNB3，NGBMMGABBEEGABNG4=ENG= (18
6、0)90 又在菱形ABEF中，ABEFFECB=FENFEC4= (90 )90如图2，当点M在线段EC上时，在BC延长线上截取MGAB，连接GN、EN.同理可得：FENFEC4= (90)90综上所述，FEN90当点M在BC上运动时，点N在射线EH上运动(如图3) 当FNEH时，FN最小，其最小值为FEsin(90)【点睛】本题考查了菱形的判定与性质以及求最短距离的问题，解题的关键是分类讨论得出FEN90，再运用垂线段最短求出FN的最小值.3如图1，ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6cm，点D从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将
7、ACD绕点C逆时针方向旋转60得到BCE，连结DE（1）求证：CDE是等边三角形；（2）如图2，当6t10时，BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）存在【解析】试题分析：（1）由旋转的性质得到DCE=60，DC=EC，即可得到结论；（2）当6t10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到CDBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最
8、短得到当CDAB时，BDE的周长最小，于是得到结论；（3）存在，当点D于点B重合时，D，B，E不能构成三角形，当0t6时，由旋转的性质得到ABE=60，BDE60，求得BED=90，根据等边三角形的性质得到DEB=60，求得CEB=30，求得OD=OA-DA=6-4=2，于是得到t=21=2s；当6t10s时，此时不存在；当t10s时，由旋转的性质得到DBE=60，求得BDE60，于是得到t=141=14s.试题解析：（1）证明：将ACD绕点C逆时针方向旋转60得到BCE，DCE=60，DC=EC，CDE是等边三角形；（2）存在，当6t10时，由旋转的性质得，BE=AD，CDBE=BE+DB+
9、DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，CDE是等边三角形，DE=CD，CDBE=CD+4，由垂线段最短可知，当CDAB时，BDE的周长最小，此时，CD=2cm，BDE的最小周长=CD+4=2+4；（3）存在，当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，当点D与点B重合时，不符合题意；当0t6时，由旋转可知，ABE=60，BDE60，BED=90，由（1）可知，CDE是等边三角形，DEB=60，CEB=30，CEB=CDA，CDA=30，CAB=60，ACD=ADC=30，DA=CA=4，OD=OADA=64=2，t=21=2s；当6t10s时，由DBE=12090，此时不存在；当t10s时
10、，由旋转的性质可知，DBE=60，又由（1）知CDE=60，BDE=CDE+BDC=60+BDC，而BDC0，BDE60，只能BDE=90，从而BCD=30，BD=BC=4，OD=14cm，t=141=14s.综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形点睛：在不带坐标的几何动点问题中求最值，通常是将其表达式写出来，再通过几何或代数的方法求出最值；像第三小问这种探究性的题目，一定要多种情况考虑全面，控制变量，从某一个方面出发去分类.4如图1，菱形ABCD，连接对角线AC、BD交于点O，如图2，将沿DB平移，使点D与点O重合，求平移后的与菱形ABCD重合部分的面积如图3，
11、将绕点O逆时针旋转交AB于点，交BC于点F，求证：；求出四边形的面积【答案】证明见解析【解析】【分析】(1)先判断出ABD是等边三角形，进而判断出EOB是等边三角形，即可得出结论；(2)先判断出 OBF，再利用等式的性质即可得出结论；(3)借助的结论即可得出结论【详解】四边形为菱形，为等边三角形，AD/AO，AOB=60，为等边三角形，边长，重合部分的面积：，在图3中，取AB中点E，由知，EOB=60，EOF=60，EOE=BOF，又EO=BO，OEE=OBF=60，OEEOBF，EE=BF，BE+BF=BE+EE=BE=2；由知，在旋转过程中始终有OEEOBF，SOEE=SOBF，S四边形O
12、EBF =.【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键.5如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，COE140，将一直角三角板AOB的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分COD，求此时BOC的度数；（2）若射线OC的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA、OC、OD中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线
13、？若存在，请求出t的取值，若不存在，请说明理由；（3）若在三角板开始转动的同时，射线OC也绕O点以每秒15的速度逆时针旋转一周，从旋转开始多长时间，射线OC平分BOD直接写出t的值（本题中的角均为大于0且小于180的角）【答案】（1）BOC70；（2）存在，t2，t8或32；（3）或.【解析】【分析】（1）由图可知BOCAOBAOC，AOC可利用角平分线及平角的定义求出.（2）分OA平分COD，OC平分AOD，OD平分AOC三种情况分别进行讨论，建立关于t的方程，解方程即可.（3）分别用含t的代数式表示出COD和BOD，再根据OC平分BOD建立方程解方程即可，注意分情况讨论.【详解】（1）解：
14、COE140，COD180COE40，又OA平分COD，AOCCOD20，AOB90，BOC90AOC70；（2）存在当OA平分COD时，AODAOC，即10t20，解得：t2；当OC平分AOD时，AOCDOC，即10t4040，解得：t8；当OD平分AOC时，AODCOD，即36010t40，解得：t32；综上所述：t2，t8或32；（3）或，理由如下：设运动时间为t，则有当90+10t2（40+15t）时，t当27010t2（32015t）时，t所以t的值为或【点睛】本题主要考查角平分线的定义以及图形的旋转，根据题意，找到两个角之间的等量关系建立方程并分情况讨论是解题的关键.6在ABC中，
15、AB=BC=2，ABC=120，将ABC绕点B顺时针旋转角（090）得A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段BE与BF有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图2，当=30时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由 【答案】（1）BE=DF；（2）四边形BC1DA是菱形【解析】【分析】（1）由AB=BC得到A=C，再根据旋转的性质得AB=BC=BC1，A=C=C1，ABE=C1BF，则可证明ABEC1BF，于是得到BE=BF（2）根据等腰三角形的性质得A=C=30，利用旋转的性质得A1=C1=30，ABA1=CBC1
16、=30，则利用平行线的判定方法得到A1C1AB，ACBC1，于是可判断四边形BC1DA是平行四边形，然后加上AB=BC1可判断四边形BC1DA是菱形【详解】（1）解：BE=DF理由如下：AB=BC，A=C，ABC绕点B顺时针旋转角（090）得A1BC1，AB=BC=BC1，A=C=C1，ABE=C1BF，在ABE和C1BF中，ABEC1BF，BE=BF（2）解：四边形BC1DA是菱形理由如下：AB=BC=2，ABC=120，A=C=30，A1=C1=30，ABA1=CBC1=30，ABA1=A1，CBC1=C，A1C1AB，ACBC1，四边形BC1DA是平行四边形又AB=BC1，四边形BC1D
17、A是菱形【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了菱形的判定方法7如图，已知RtABC中，ACB=90，AC=BC，D是线段AB上的一点（不与A、B重合）过点B作BECD，垂足为E将线段CE绕点C顺时针旋转，得到线段CF，连结EF设BCE度数为.（1）补全图形；试用含的代数式表示CDA（2）若 ，求的大小（3）直接写出线段AB、BE、CF之间的数量关系【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）按要求作图即可；由ACB=90，AC=BC，得ABC=45,故可得出结论；（2）易证 ，得；连结
18、FA，得AFC是直角三角形，求出ACF=30，从而得出结论；（3）.试题解析：（1）补全图形ACB=90，AC=BC，ABC=45BCE=CDA=（2）在和中， ， 连结FA =在Rt中， 即.（3）8如图，四边形中，将绕点顺时针旋转一定角度后，点的对应点恰好与点重合，得到.（1）判断的形状，并说明理由；（2）若，试求出四边形的对角线的长.【答案】（1）是等腰直角三角形，理由详见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用旋转不变性证明A4BC是等腰直角三角形.（2）证明ACDE是等腰直角三角形，再在RtADE中，求出AE即可解决问题.【详解】解：（1）是等腰直角三角形.理由：，是等腰直角三角形.（2）如图：由旋转的性质可知：，.【点睛】本题考查旋转变换，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型
