1、【必考题】高二数学上期中试题(及答案)一、选择题1已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则ABCD2在本次数学考试中，第二大题为多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，小明因某原因网课没有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题得5分的概率为（ ）ABCD3从区间随机抽取个数，构成个数对，其中两数的平方和小于的数对有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率疋的近似值
2、为（ ）ABCD4甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如下：甲：7，8，8，8，9 乙：6，6，7，7，10；若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用表示，方差分别为表示，则（ ）ABCD5某校高一1班、2班分别有10人和8人骑自行车上学，他们每天骑行路程（单位：千米）的茎叶图如图所示：则1班10人每天骑行路程的极差和2班8人每天骑行路程的中位数分别是A14，9.5B9，9C9，10D14，96已知不等式的解集为，若，则“”的概率为（ ）ABCD7从分别写有的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）ABCD8将一颗骰子
3、掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量(m，n)，(3,6)则向量与共线的概率为()ABCD9执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则输入的值可以为ABCD10已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个篮球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中.（a）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；（b）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为.则ABCD11在学校组织的考试中，45名学生的数学成绩的茎叶图如图所示，则该45名学生的数学成绩的中位数为（）A127B128C128.5D12912设点(a,b)为区域 内任意一点，则使函数f(x)=在区间，+）上是
4、增函数的概率为ABCD二、填空题13在长为的线段上任取一点，并以线段为边作正方形，这个正方形的面积介于与之间的概率为_14从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得80， 20， 184， 720.则家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程为_附：线性回归方程ybxa中， ，ab，其中， 为样本平均值线性回归方程也可写为x.15从正五边形的对角线中任意取出两条，则取出的两条对角线为图中同一个等腰三角形的两腰的概率为_.16某班全体学生参加英语成绩的频率分布直方图如图，若低于分的人数是，则该班的学生人数是_17执行如图所示的流程
5、图，则输出的的值为 .18如左下图是一次数学考试成绩的样本频率分布直方图（样本容量n=200），若成绩不低于60分为及格，则样本中的及格人数是_。 19从2个黄球，3个红球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是_20在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都在集合A0，1，2，3，4，5内取值的点中任取一个点，此点正好在直线上的概率为_三、解答题21自从高中生通过高校自主招生可获得加分进入高校的政策出台后，自主招生越来越受到高中生家长的重视.某机构为了调查城市和城市的高中家长对于自主招生的关注程度，在这两个城市中抽取了名高中生家长进行了调查，得到下表：关注不关注合计城高中家长2050城高中家长20
6、合计100（1）完成上面的列联表；（2）根据上面列联表的数据，是否有的把握认为家长对自主招生关注与否与所处城市有关；（3）为了进一步研究家长对自主招生的直法，该机构从关注的学生家长里面，按照分层抽样方法抽取了人，并再从这人里面抽取人进行采访，求所抽取的人恰好两城市各一人的概率.附：（其中）.0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63522高一(1)班参加校生物竞赛学生的成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：(1)求高一(1)班参加校生物竞赛的人数及分数在80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中
7、80,90)间的矩形的高；(2)若要从分数在80,100之间的学生中任选2人进行某项研究，求至少有1人分数在90,100之间的概率23我们知道，地球上的水资源有限，爱护地球、节约用水是我们每个人的义务与责任.某市政府为了对自来水的使用进行科学管理，节约水资源，计划确定一个家庭年用水量的标准.为此，对全市家庭日常用水量的情况进行抽样抽查，获得了个家庭某年的用水量（单位：立方米），统计结果如下表及图所示.分组频数频率250.19500.230.185（1）分别求出，的值；（2）若以各组区间中点值代表该组的取值，试估计全市家庭年均用水量；（3）从样本中年用水量在（单位：立方米）的5个家庭中任选3个，
8、作进一步的跟踪研究，求年用水量最多的家庭被选中的概率（5个家庭的年用水量都不相等）.24某“双一流类”大学就业部从该校2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在人民币1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图：（1）将同一组数据用该区间的中点值作代表，求这100人月薪收入的样本平均数；（2）该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：方案一：设区间，月薪落在区间左侧的每人收取400元，月薪落在区间
9、内的每人收取600元，月薪落在区间右侧的每人收取800元；方案二：每人按月薪收入的样本平均数的收取；用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用？25某学校随机抽取部分学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据制成频率分布直方图（如图），若上学路上所需时间的范围为，样本数据分组为，.（1）求直方图中a的值；（2）如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿，若招收学生1200人，请估计所招学生中有多少人可以申请住宿；（3）求该校学生上学路上所需的平均时间.26某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用（单位：千万
10、元）对年销售量（单位：千万件）的影响，统计了近年投入的年研发费用与年销售量的数据，得到散点图如图所示：（）利用散点图判断，和（其中，为大于的常数）哪一个更适合作为年研发费用和年销售量的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；（）对数据作出如下处理：令，得到相关统计量的值如下表：根据（）的判断结果及表中数据，求关于的回归方程；（）已知企业年利润（单位：千万元）与，的关系为（其中），根据（）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1A解析：A【解析】【
11、分析】分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得的值，即可得到答案【详解】由题意，根据平均数的计算公式，可得，设收集的48个准确数据分别记为，则， ，故选A【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，数基础题2C解析：C【解析】【分析】根据题意结合组合的知识可知，总的答案的个数为11个，而正确的答案只有1个，根据古典概型的计算公式，即可求得结果.【详解】总的可选答案有：AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD，共11个，而正确的答案只有1个，即得5分的概
12、率为.故选：C.【点睛】本题考查了古典概型的基本知识，关键是弄清一共有多少个备选答案，属于中档题.3B解析：B【解析】【分析】根据随机模拟试验的的性质以及几何概型概率公式列方程求解即可.【详解】如下图：由题意，从区间随机抽取的个数对，落在面积为4的正方形内，两数的平方和小于对应的区域为半径为2的圆内，满足条件的区域面积为，所以由几何概型可知，所以.故选：B【点睛】本题主要考查几何概型，属于中档题.4B解析：B【解析】【分析】计算，得到答案.【详解】，故.；，故.故选：B.【点睛】本题考查了平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力和观察能力.5A解析：A【解析】2班共有8个数据，中间两个是9和
13、10，因此中位数为9.5，只有A符合，故选A（1班10个数据最大为22，最小为8，极差为14）6B解析：B【解析】【分析】【详解】分析：解分式不等式得集合P，再根据几何概型概率公式（测度为长度）求结果.详解：，选点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域7D解析：D【解析】【分析】【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n=55=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数
14、包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10个基本事件，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p= 故答案为D8D解析：D【解析】【分析】由将一枚骰子抛掷两次共有种结果，再列举出向量与共线的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解。【详解】由题意，将一枚骰子抛掷两次，共有种结果，又由向量共线，即，即，满足这种条件的基本事件有：，共有3种结果，所以向量与共线的概率为，故选D。【点睛】本题主要考查了向量共线的条件，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中根据向量的共线条
15、件，得出基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。9C解析：C【解析】【分析】执行如图所示的程序框图，逐次循环，计算其运算的结果，根据选项即可得到答案.【详解】由题意可知，执行如图所示的程序框图，可知：第一循环：；第二循环：；第三循环：，要使的输出的结果为48，根据选项可知，故选C.【点睛】本题主要考查了循环结构的计算与输出问题，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，逐次准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10A解析：A【解析】，故，由上面比较可知，故选A考点：独立事件的概率,数学期望.11D解析：D【解析】分析：由茎叶图得出45名学生
16、的数学成绩，从而求出中位数详解：根据茎叶图得出45名学生的数学成绩，可知中位数为129.故选D.点睛：本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应根据茎叶图中的数据，进行解答，属基础题.12A解析：A【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示：若f（x）=在区间，+）上是增函数，则，即，则A（0，4），B（4，0），由得，即C（，），则OBC的面积S=OAB的面积S=则使函数f(x)=在区间，+）上是增函数的概率为P=，故选：A二、填空题13【解析】若以线段为边的正方形的面积介于与之间则线段的长介于与之间满足条件的点对应的线段长为而线段的总长度为故正方形的面积介于与之间的概率故答案为：解析：【解析】若
17、以线段为边的正方形的面积介于与之间，则线段的长介于与之间，满足条件的点对应的线段长为，而线段的总长度为，故正方形的面积介于与之间的概率故答案为：.14y03x04【解析】由题意知又由此得故所求回归方程为故答案为解析：y0.3x0.4【解析】由题意知，又，由此得，故所求回归方程为，故答案为.15【解析】【分析】先求出所有的基本事件再求出满足条件的基本事件根据概率公式计算即可【详解】从5条对角线中任意取出2条共有10个基本事件其中取出的两条对角线为某一个等腰三角形的两腰有5个所以取出的两条对解析：【解析】【分析】先求出所有的基本事件，再求出满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可【详解】从5条对角
18、线中任意取出2条，共有10个基本事件，其中取出的两条对角线为某一个等腰三角形的两腰有5个，所以取出的两条对角线为图中同一个等腰三角形的两腰的概率为. 即答案为.【点睛】本题考查概率的求法，涉及到直线、组合、概率等知识，属于中档题16【解析】由图可知低于分的频率为故该班人数为故答案为解析：【解析】由图可知，低于分的频率为，故该班人数为，故答案为17【解析】试题分析：由程序框图第一次循环时第二次循环时第三次循环时第四次循环时退出循环输出考点：程序框图解析：【解析】试题分析：由程序框图，第一次循环时，第二次循环时，第三次循环时，第四次循环时，退出循环，输出考点：程序框图18120【解析】由频率分布直
19、方图可得低于分的频率为而不低于分的频率为故不低于分的频数为故答案为解析：120【解析】由频率分布直方图可得，低于分的频率为，而不低于分的频率为，故不低于分的频数为，故答案为.19【解析】两球颜色不同的概率是解析：【解析】两球颜色不同的概率是 20【解析】【分析】试验发生包含的事件是横纵坐标都在内任取一个点共有种结果满足条件的事件是点正好在直线上可以列举出结果数得到概率【详解】由题意知本题是一个等可能事件的概率试验发生包含的事件是横纵坐标都解析：【解析】【分析】试验发生包含的事件是横纵坐标都在内任取一个点，共有种结果，满足条件的事件是点正好在直线上，可以列举出结果数，得到概率【详解】由题意知本题
20、是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是横纵坐标都在内任取一个点，共有种结果，满足条件的事件是点正好在直线上，可以列举出共有（0，0）（1，1）（2，2）（3，3）（4，4）（5，5）共有6种结果，要求的概率是，故答案为.【点睛】本题考查等可能事件的概率，解决本题的关键是注意利用列举法求满足条件的事件数时，注意做到不重不漏，千万不要漏掉原点三、解答题21（1）详见解析；（2）有的把握认为家长对自主招生的关注与否与所处城市有关；（3）0.6.【解析】【分析】（1）根据相关数据完成.（2）根据的观测值的计算公式求解，再对应下结论.，（3）关注的人共有人，根据分层抽样的方法，城市人，城市人，算出
21、从人抽取两的方法数，两城市各取一人的方法数，再代入古典概型的概率公式求解.【详解】（1）关注不关注合计城高中家长203050城高中家长302050合计5050100（2）由题意，得的观测值为，所以有的把握认为家长对自主招生的关注与否与所处城市有关.（3）关注的人共有人，按照分层抽样的方法，城市人，城市人.从人抽取两人有种不同的方法，两城市各取一人有种不同的方法，故所抽取的人恰好两城市各一人的概率为.【点睛】本题主要考查独立性检验的应用和古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22（1）0. 016；（2） 【解析】试题分析：（1）根据频率等于频数除以总数，可得到参加校生物竞赛的人数
22、，再根据分数在80,90)之间的频率求频数，根据矩形高等于对应频率除以组距得高（2）先根据枚举法列出所有基本事件，再计数至少有1人分数在90,100之间基本试卷数，最后根据古典概型概率公式求概率试题解析：(1)因为分数在50,60)之间的频数为2，频率为0. 008100. 08，所以高一(1)班参加校生物竞赛的人数为25分数在80,90)之间的频数为25271024，频率为0. 16，所以频率分布直方图中80,90)间的矩形的高为0. 016(2)设“至少有1人分数在90,100之间”为事件A，将80,90)之间的4人编号为1、2、3、4，90,100之间的2人编号为5、6在80,100之间
23、任取2人的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个其中，至少有1人分数在90,100之间的基本事件有9个，根据古典概型概率的计算公式，得P(A)23（1），（2）（立方米）（3）【解析】【分析】（1）观察图和表，用水量在内的频数是50，频率是，由此可求得样本容量，再由相应的频率求出；（2）用每组中点值代表这组的估计值计算均值（3）可把五个家庭编号用列举法写出任取3个各种情况，同时得用水量最多的家庭被选中的情况，计数后可得概率【详解】解：
24、（1）用水量在内的频数是50，频率是，则，用水量在内的频率是，则，用水量在内的频率是，则；（2）估计全市家庭年均用水量为；（3）设代表年用水量从多到少的5个家庭，从中任选3个，总的基本事件为，共10个，其中包含的有，共6个，所以，即年用水量最多的家庭被选中的概率是.【点睛】本题考查频率分布直方图和频率分布表，考查古典概型，属于基础题24(1)2；(2) 方案一能收到更多的费用.【解析】【分析】（1）每个区间的中点值乘以相应的频率，然后相加；（2）分别计算两方案收取的费用，然后比较即可【详解】(1)这100人月薪收入的样本平均数是.(2)方案一：月薪落在区间左侧收活动费用约为（万元）； 月薪落在
25、区间收活动费用约为（万元）；月薪落在区间右侧收活动费用约为（万元）；因此方案一，这50人共收活动费用约为3.01（万元）；方案二：这50人共收活动费用约为（万元）；故方案一能收到更多的费用.【点睛】本题考查频率分布直方图及其应用，属于基础题25（1）（2）276人（3）32.8【解析】【分析】（1）由直方图中频率和（小矩形面积和）为1可求得；（2）求出上学路上所需时间不少于40分钟的学生的频率，然后乘以1200可得；（3）用各小矩形中点估算为这一组的均值，然后乘以频率，并相加可得【详解】解：（1）由，解得.（2）上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿，招收学生1200人，估计所招
26、学生中有可以申请住宿人数为：.（3）该校学生上学路上所需的平均时间为：【点睛】本题考查频率分布直方图，考查数学期望，解题关键是掌握频率分布直方图的性质：直方图中所有频率之和为1，即各小矩形面积和为1.26（）由散点图知，选择回归类型更适合；（）；（）要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.【解析】【分析】（）根据散点图的特点可知，相关关系更接近于幂函数类型；（）根据所给数据，代入公式求得回归直线的方程；（）先求出年利润的表达式，结合不等式特点利用导数可得最值.【详解】（）由散点图知，选择回归类型更适合（）对两边取对数，得，即由表中数据得：， ，年研发费用与年销售量的回归方程为. ()由（）知，令，得，且当时，,单调递增；当时，,单调递减 所以当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为千万元.答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.【点睛】本题主要考查非线性回归方程的求解及决策判断，非线性回归方程一般是转化为线性回归方程求解，侧重考查数学建模和数据分析的核心素养.
