1、【必考题】高三数学上期中试题带答案一、选择题1在等差数列an中，则此数列前30项和等于（ ）A810B840C870D9002已知实数x，y满足，若直线经过该可行域，则实数k的最大值是（ ）A1BC2D33已知不等式的解集为,的解集为，不等式的解集为，则（ ）A-3B1C-1D34已知数列的通项公式为，设其前n项和为，则使成立的自然数n( )A有最小值63B有最大值63C有最小值31D有最大值315中华人民共和国国歌有个字，小节，奏唱需要秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示）
2、，旗杆底部与第一排在同一个水平面上要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）ABCD6已知为等比数列,则（ ）ABCD7当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）ABCD8已知数列an的通项公式为an则数列an中的最大项为()ABCD9如果等差数列中，+=12，那么+=（ ）A14B21C28D3510设等差数列an的前n项和为Sn，已知(a41)32 016(a41)1，(a2 0131)32 016(a2 0131)1，则下列结论正确的是()AS2 0162 016，a2 013a4BS2 0162 016，a2 013a4CS2 0162 016，a2 013a4D
3、S2 0162 016，a2 013a411设是首项为，公差为-2的等差数列，为其前n项和，若，成等比数列，则 ( )A8B-8C1D-112若正数满足，则的最大值为ABCD二、填空题13已知数列的前项和为，且（为常数）若数列满足，且，则满足条件的的取值集合为_14若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是_ .15某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为_元
4、16数列满足，则的前60项和为_17如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援，则_18在中，分别是角的对边，已知成等比数列，且，则的值为_.19设等差数列的前项和为，若，则等于_.20设，则的最小值为_三、解答题21在中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知,且(1)当时,求的值;(2)若角为锐角,求m的取值范围22设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足：对任意的nN*，都有an+1+Sn+11，又a1（1）求数列an的通项公式
5、；（2）令bnlog2an，求（nN*）23已知是递增的等差数列，是方程的根.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.24已知数列的前项和，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和25已知为等差数列，前项和为，是首项为的等比数列，且公比大于，.（1）求和的通项公式；（2）求数列的前项和.26如图，中，.点分别在边和上，将沿翻折，使变为，且顶点落在边上,设（1）用表示线段的长度，并写出的取值范围；（2）求线段长度的最大值以及此时的面积，【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1B解析：B【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为 ，
6、选B.2B解析：B【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线过定点，再利用k的几何意义，只需求出直线过点时，k值即可【详解】直线过定点，作可行域如图所示，由，得当定点和B点连接时，斜率最大，此时，则k的最大值为： 故选：B【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题3A解析：A【解析】【分析】根据题意先求出集合，然后求出，再根据三个二次之间的关系求出，可得答案.【详解】由不等式有，则.由不等式有，则，则.所以.因为不等式的解集为,所以方程的两个根为.由韦达定理有：,即.所以.故选：A.【点睛】本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系，属于中档题.4A解
7、析：A【解析】【分析】利用对数运算，求得，由此解不等式，求得的最小值.【详解】，又因为，故使成立的正整数n有最小值：63.故选：A.【点睛】本小题主要考查对数运算和数列求和，属于基础题.5B解析：B【解析】【分析】如解析中图形，可在中，利用正弦定理求出，然后在中求出直角边即旗杆的高度，最后可得速度【详解】如图，由题意，在中，即，（米/秒）故选B【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件6D解析：D【解析】【分析】由条件可得的值，进而由和可得解.【详解】或.由等比数列性质可知或故选D.【点睛】本题主要考查了等比数列
8、的下标的性质，属于中档题.7D解析：D【解析】由时，恒成立得对任意恒成立，即当时，取得最大值，的取值范围是，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.8A解析：A【解析】解法一an1an(n1) n1nnn，当n0，即an1an；当n2时，an1an0，即an1an；当n2
9、时，an1an0，即an1an.所以a1a4a5an，所以数列an中的最大项为a2或a3，且a2a322.故选A.解法二，令1，解得n2；令1，解得n2；令2.又an0，故a1a4a5an，所以数列an中的最大项为a2或a3，且a2a322.故选A.9C解析：C【解析】试题分析：等差数列中，则考点：等差数列的前项和10D解析：D【解析】(a41)32 016(a41)1，(a2 0131)32 016(a2 0131)1，(a41)32 016(a41)(a2 0131)32 016(a2 0131)0，设a41m，a2 0131n，则m32 016mn32 016n0，化为(mn)(m2n2
10、mn2 016)0，mna41a2 01310，a4a2 0132，.很明显a410，a2 01311a2 013，本题选择D选项.11D解析：D【解析】【分析】利用等差数列的通项公式，以及等比中项公式和前n项和公式，准确运算，即可求解.【详解】由题意，可得等差数列的通项公式为，所以，因为，成等比数列，可得，解得.故选：D.【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式，以及等比中项公式与求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12A解析：A【解析】【分析】分析题意，取倒数进而求的最小值即可；结合基本不等式中“1”的代
11、换应用即可求解。【详解】因为，化简可得，左右两边同时除以xy得 求的最大值，即求 的最小值所以 ，当且仅当时取等号所以的最大值为所以选A【点睛】本题考查了基本不等式的简单应用，关键要注意“1”的灵活应用，属于基础题。二、填空题13【解析】【分析】利用可求得；利用可证得数列为等比数列从而得到进而得到；利用可得到关于的不等式解不等式求得的取值范围根据求得结果【详解】当时解得：当且时即：数列是以为首项为公比的等比数列解得：又或满足解析：【解析】【分析】利用可求得；利用可证得数列为等比数列，从而得到，进而得到；利用可得到关于的不等式，解不等式求得的取值范围，根据求得结果.【详解】当时， ，解得：当且时
12、，即：数列是以为首项，为公比的等比数列 ，解得：又 或满足条件的的取值集合为本题正确结果：【点睛】本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用与的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识；关键是能够得到的通项公式，进而根据单调性可构造出关于的不等式，从而求得结果.14【解析】试题分析：因为不等式有解所以因为且所以当且仅当即时等号是成立的所以所以即解得或考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用不等式的有解问题在应解析：【解析】试题分析：因为不等式有解，所以，因为，且，所以，当且仅当，即时，等号是成立的，所以，所以，
13、即，解得或.考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值.【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题，在应用基本不等式求解最值时，呀注意“一正、二定、三相等”的判断，运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值，对于不等式的有解问题一般选用参数分离法，转化为函数的最值或借助数形结合法求解，属于中档试题.152300【解析】【分析】【详解】设甲种设备需要生产天乙种设备需要生产天该公司所需租赁费为元则甲乙两种设备生产AB两类产品的情况为下表所示:产品设备A类产品（件）（50）B类产品（件）（140解析：2300【解析】【分析】【详解】
14、设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产天, 该公司所需租赁费为元,则，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示:产品设备A类产品（件）（50）B类产品（件）（140）租赁费（元）甲设备510200乙设备620300则满足的关系为即:,作出不等式表示的平面区域, 当对应的直线过两直线的交点（4,5）时，目标函数取得最低为2300元161830【解析】【分析】由题意可得变形可得利用数列的结构特征求出的前60项和【详解】解：从第一项开始依次取2个相邻奇数项的和都等于2从第二项开始依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项以1解析：1830【解析】【分析】由题意可得，变形可得，利用数列的结构特征
15、，求出的前60项和【详解】解： ，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，的前60项和为，故答案为：【点睛】本题主要考查递推公式的应用，考查利用构造等差数列求数列的前项和，属于中档题17【解析】【分析】在中由余弦定理求得再由正弦定理求得最后利用两角和的余弦公式即可求解的值【详解】在中海里海里由余弦定理可得所以海里由正弦定理可得因为可知为锐角所以所以【点睛】本题主要考查了解三角形实际解析：【解析】【分析】在中，由余弦定理，求得，再由正弦定理，求得，最后利用两角和的余弦公式，即可求解的值【详解】在中，海里，海里，
16、由余弦定理可得，所以海里,由正弦定理可得，因为，可知为锐角，所以 所以【点睛】本题主要考查了解三角形实际问题，解答中需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，合理使用正、余弦定理是解答的关键，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：列方程，求结果18【解析】【分析】利用成等比数列得到再利用余弦定理可得而根据正弦定理和成等比数列有从而得到所求之值【详解】成等比数列又在中由余弦定理因由正弦定理得因为所以故故答案为【点睛】在解三角形中如果题解析：【解析
17、】【分析】利用成等比数列得到，再利用余弦定理可得，而根据正弦定理和成等比数列有，从而得到所求之值.【详解】成等比数列，.又，.在中，由余弦定理 ，因，.由正弦定理得，因为， 所以 ，故.故答案为 .【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.19【解析】【分析】根据等差数列的前项和转化为关于和的数量关系来求解【详解】等差数列的前项和为则有解得故答案为【点睛】本题考查了等差数列前
18、项和的公式运用在解答此类题目时可以将其转换为关于和的数量关系来求解析：【解析】【分析】根据等差数列的前项和转化为关于和的数量关系来求解【详解】等差数列的前项和为，则有，解得故答案为【点睛】本题考查了等差数列前项和的公式运用，在解答此类题目时可以将其转换为关于和的数量关系来求解，也可以用等差数列和的性质来求解，较为基础。20【解析】【分析】变形之后用基本不等式：求解即可【详解】原式可变形为：当且仅当时取等故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等解析：【解析】【分析】变形之后用基本不等式：求解即可.【详解】原式可变形为：当
19、且仅当，时取等故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式及其应用，属基础题在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.三、解答题21(1)或; (2)【解析】试题分析: 本题考查正弦定理和余弦定理;(1)先利用正弦定理将角角关系转化为边边关系,再通过解方程组求解;(2)利用余弦定理进行求解.试题解析：由题意得(1)当时,解得或;(2)=,为锐角,又由可得,点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化
20、边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.22(1) an；(2)【解析】【分析】（1）利用公式化简得到，计算，得到答案.（2）计算得到，利用裂项求和计算得到答案.【详解】（1）根据题意，由an+1+Sn+11，则有an+Sn1，（n2）得：2an+1an，即an+1an，又由a1，当n1时，有a2+S21，即a2+（a1+a2）1，解可得a2，则所以数列an是首项和公比都为的等比数列，故an；（2）由（1）的结论
21、，an，则bnlog2ann，则（1）+（）+（）1【点睛】本题考查了求通项公式，裂项求和法计算前项和，意在考查学生对于数列公式的综合应用.23（1）;（2）.【解析】【分析】（1）方程的两根为，由题意得，在利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前项和公式即可求出【详解】方程x25x60的两根为2，3.由题意得a22，a43.设数列an的公差为d，则a4a22d，故d，从而得a1.所以an的通项公式为ann1.（2）设的前n项和为Sn，由（1）知，则Sn，Sn，两式相减得Sn，所以Sn2.考点：等差数列的性质；数列的求和【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式
22、、“错位相减法”、等比数列的前项和公式、一元二次方程的解法等知识点的综合应用，解答中方程的两根为，由题意得，即可求解数列的通项公式，进而利用错位相减法求和是解答的关键，着重考查了学生的推理能力与运算能力，属于中档试题24（）；（）.【解析】【分析】（）由题意可得则利用通项公式与前n项和的关系可得 （） 由（1）可知，结合等比数列前n项和公式计算可得数列的前项和.【详解】（）由 得所以当时，当时，所以 检验符合 （） 由（1）可知所以.设数列的前项和为，则： 所以数列的前项和为.【点睛】本题主要考查数列通项公式与前n项和公式的关系，等比数列前n项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算
23、求解能力.25（1），；（2），.【解析】【分析】（1）由等差数列和等比数列的基本量法求数列的通项公式；（2）用错位相减法求和【详解】（1）数列公比为，则，的公差为，首项是，则，解得（2），数列的前项和记为，得：，【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查等差数列的前n项和及错位相减法求和在求等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式时，基本量法是最基本也是最重要的方法，务必掌握，数列求和时除公式法外，有些特殊方法也需掌握：错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法等等26 【解析】【分析】（1）在直角中，得出与的关系，从而得出 与的不等式；（2）在中，利用正弦定理求出，得出的最小值，从而得出的最大值.【详解】（1）设，则，在直角中，解得，即，因为在边上，所以.（2）因为，可得，所以，在中，由，可得，又由，根据正弦定理，可得，所以，令，因为，所以，当且仅当时，即时，有最大值，即当时，有最小值，所以的最大值为，当时，为等边三角形，面积为.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.
