1、第四章一次函数1.初步理解函数的概念,在实际背景中感受自变量取值范围的意义;体会一次函数和正比例函数的意义,能根据所给信息确定一次函数表达式.2.能画一次函数的图象,理解当k0和k0和k0)中,当x=9时,y对应的值为3或-3,不唯一,则y不是x的函数.1.(1)汽车在公路上匀速行驶,速度为每小时30千米,则汽车行驶的路程s(千米)与行驶的时间t(时)之间的关系式为.(2)圆的面积S与半径R的关系式为.答案:(1)s=30t(2)S=R22.一般地,在某个变化过程中,有个变量x,y.如果给定一个x值,相应地就了一个y值,那么我们称y是x的函数.其中是自变量,是因变量.答案:两确定xy3.对于两
2、个变量之间的函数关系,可以采用不同的表达方式:,.答案:列表法关系式法图象法4.圆的周长公式C=2R中,有个变量,是.答案:两R,C5.某30层的大厦底层高4米,以上每层高3米,从底层数起,则前n层的高度h(米)与n的函数关系式为.答案:h=3n+11函数1.感知函数.2.做一做.3.函数的相关概念.一、教材作业【必做题】教材第77页习题4.1第1,2题.【选做题】教材第78页习题4.1第3题.二、课后作业【基础巩固】1.下列变量间的关系不是函数关系的是()A.长方形的宽一定,其长与面积B.正方形的周长与面积C.等腰三角形的底边长与面积D.圆的周长与半径2.下列是关于变量x和y的四个关系式:y
3、=x;y2=x;2x2=y;y2=2x.其中y是x的函数的有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.弹簧挂上物体后伸长,已知一弹簧的长度(cm)与所挂物体的质量(kg)之间的关系如下表:物体的质量/kg012345弹簧的长度/cm1012.51517.52022.5下列说法错误的是()A.没挂物体时,弹簧的长度为10 cmB.弹簧的长度随所挂物体的质量的变化而变化,物体的质量是因变量,弹簧的长度是自变量C.在弹簧的弹性限度内,如果物体的质量为m kg,那么弹簧的长度y cm可以表示为y=2.5m+10D.当物体的质量为4 kg时,弹簧的长度为20 cm4.下列各题中,哪些是函数关系?哪些不是函
4、数关系?(1)匀速运动所走的路程和速度;(2)在平静的湖面上投入一粒石子,泛起的波纹的周长与半径;(3)x+3与x;(4)正方形的面积和梯形的面积;(5)水管中水流的速度和水管的长度.【能力提升】5.如图(1)所示,在长方形ABCD中,动点E从点B出发,沿BADC方向运动至点C处停止.设点E运动的路程为x,BCE的面积为y,如果y关于x的函数图象如图(2)所示,则当x=7时,点E应运动到()A.点C处B.点D处C.点B处D.点A处6.如下图所示的是桂林冬季某一天的气温随时间的变化图象,请根据图填空:时气温最低,最低气温为,当天最高气温为,这一天的温差为.(所有的结果都取整数)【拓展探究】7.如
5、图所示,正方形ABCD的边长为1,E是CD的中点,P为正方形ABCD边上一个动点,动点P从点A出发,沿ABCE运动.若点P经过的路程为x,APE的面积为y,则当y=时,求x的值. 【答案与解析】1.C(解析:A.长=;B.面积=;C.高不能确定,共有三个变量;D.周长=2半径.故选C.)2.B(解析:是y关于x的函数.)3.B(解析:因为表中的数据主要涉及弹簧的长度和所挂物体的质量,所以反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系,所挂物体的质量是自变量,弹簧的长度是因变量,故选项B错误,符合题意.故选B.)4.解:(1)匀速运动所走的路程和速度符合s=vt,是函数关系.(2)在平静的湖面上投入
6、一粒石子,泛起的波纹的周长L与半径r符合L=2r,是函数关系.(3)x+3与x,设y=x+3,即可得出是函数关系.(4)正方形的面积和梯形的面积没有关系,所以不是函数关系.(5)水管中水流的速度和水管的长度没有关系,所以不是函数关系.所以(1)(2)(3)是函数关系,(4)(5)不是.5.B(解析:当E在AB上运动时,BCE的面积不断增大,当E在AD上运动时,面积不变,当E在DC上运动时,BCE的面积不断减小,所以当x=7时,点E应运动到点D处.故选B.)6.4-210127.解:当点P在AB上运动时,如图(1)所示,y=x(0x1).当y=时,x=.当点P在BC上运动时,如图(2)所示,y=
7、1-1(x-1)-(2-x)-1,整理得y=-x(1x0.(3)问题中有信件质量m(g)与邮资y(元)两个变量,且y是m的函数,00,且x是整数.3.解:买单价是0.4元的铅笔,总金额y(元)与铅笔数x(支)之间的关系,其函数的关系式为y=0.4x,自变量的取值范围是非负整数.(答案不唯一)4.解:(1)能.(2)能.(3)能.1.关于确定函数关系式的问题,需要分析实际问题中的等量关系,其具体方法和列方程解应用题类似.2.关于函数自变量的取值范围的讨论,主要包含两个方面:一是自变量取值使函数关系式有意义;二是自变量取值使实际问题有意义,这需要对实际问题作具体分析,具有一定难度.图中的圆点是有规
8、律地从里到外逐层排列的.设y为第n层(n为正整数)圆点的个数,则下列函数关系式中正确的是()A.y=4n-4B.y=n2C.y=4n+4D.y=4n解析由图可知n=1时,圆点有4个,即y=4;n=2时,圆点有8个,即y=8,从而可知y=4n.故选D.2一次函数与正比例函数理解一次函数和正比例函数的概念,以及两者之间的关系,利用一次函数和正比例函数解决实际问题.能够根据所给条件写出简单的一次函数表达式,并利用它解决实际问题.1.通过函数与变量之间的联系,一次函数与一次方程的联系,提高学生的数学思维能力.2.经历利用一次函数解决实际问题的过程,发展学生的数学应用能力.【重点】1.一次函数、正比例函
9、数的概念.2.一次函数、正比例函数的关系.3.会根据已知信息写出一次函数的表达式.【难点】一次函数知识的运用.【教师准备】引例和例题投影图片.【学生准备】复习函数的定义、函数值等内容.导入一:生活中充满着许许多多变化的量,你了解这些变量之间的关系吗?如弹簧的长度(在弹性限度内)与所挂物体的质量,输液时间与相应时间内水滴数目了解这些关系,可以帮助我们更好地认识世界.函数是刻画变量之间关系的常用模型,其中最为简单的是一次函数,那么什么是一次函数?用一次函数可以解决哪些问题呢?你想了解这些吗?一起进入这节课的学习吧!导入二:汽车的平均速度为95 km/h,A地直达北京的高速公路全程为570 km,小
10、明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己与北京的距离.小明能得到一个什么样的关系式呢?他是怎样想的?猜猜看.过渡语怎样写出两个变量之间的函数关系式呢?一、出示教材引例及问题某弹簧的自然长度为3 cm.在弹性限度内,所挂物体的质量x每增加1 kg,弹簧长度y增加0.5 cm.(1)计算所挂物体的质量分别为1 kg,2 kg,3 kg,4 kg,5 kg时弹簧的长度,并填入下表:x/kg012345y/cm(2)你能写出y与x之间的关系式吗?【分析】当不挂物体时,弹簧长度为3厘米,当挂1千克物体时,增加0.5厘米,总长度为3.5厘米,增加1
11、千克物体,即所挂物体为2千克时,弹簧又增加0.5厘米,总共增加1厘米,由此可见,所挂物体为x千克时,弹簧就伸长0.5x厘米,则弹簧总长为原长加伸长的长度,即y=3+0.5x.二、做一做某辆汽车油箱中原有汽油60 L,汽车每行驶50 km耗油6 L.(1)完成下表:汽车行驶路程x/km050100150200300耗油量y/L(2)你能写出耗油量y(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗?(3)你能写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗?【答案与提示】(1)如下表所示:汽车行驶路程x/km050100150200300耗油量y/L0612182436(2)y=6x.(
12、3)z=60-x.【归纳】若两个变量x,y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k0)的形式,则称y是x的一次函数.例如y=2x+1, y=x-1等都是一次函数.特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.例如,y=2x,y=-3x等都是正比例函数.正比例函数是一次函数的特例,一次函数包含正比例函数.正比例函数与一次函数的关系如图所示.知识拓展正比例函数也是一次函数,不过是特殊的一次函数,就像是等边三角形与等腰三角形的关系一样.三、例题讲解写出下列各题中y与x之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数?是否为正比例函数?(1)汽车以60 km/h的速度匀速行驶,行驶路程y(km)与行
13、驶时间x(h)之间的关系;(2)圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系;(3)某水池有水15 m3,现打开进水管进水,进水速度为5 m3/h,x h后这个水池内有水y m3.(由学生交流讨论完成)解:(1)由路程=速度时间,得y=60x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数.(2)由圆的面积公式,得y=x2,y不是x的正比例函数,也不是x的一次函数.(3)这个水池每小时增加5 m3水,x h增加5x m3水,因而y=15+5x,y是x的一次函数,但不是x的正比例函数.【思考】两个变量之间存在函数关系,它们之间一定是一次函数或正比例函数关系吗?我国自2011年9月1日起,个人工资、薪
14、金所得税征收办法规定:月收入不超过3500元的部分不收税;月收入超过3500元但不超过5000元的部分征收3%的所得税如某人月收入3860元,他应缴纳个人工资、薪金所得税为(3860-3500)3%=10.8(元).(1)当月收入超过3500元而又不超过5000元时,写出应缴纳个人工资、薪金所得税y(元)与月收入x(元)之间的关系式;(2)某人月收入为4160元,他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元?(3)如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.2元,那么此人本月工资、薪金收入是多少元?解析一次函数y=kx+b(k,b为常数,k0)中,自变量的取值范围是全体实数,但是在实际问题中,要根据具体情
15、况来确定该一次函数的自变量的取值范围.本例题的关键是确定问题当中的x的取值范围.解:(1)当月收入超过3500元而不超过5000元时,y=(x-3500)3%,即y=0.03x-105.(2)当x=4160时,y=0.034160-105=19.8(元)(3)因为(5000-3500)3%=45(元),19.2-B.m 5C.m=-D.m=52.下列函数:y=4x+3;y=x;y=x4;y=x2;y=1-x中,一次函数有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.在函数y=x, y=x+3,y=,y=2x2-3, y=2(x-3)中,是关于x的正比例函数.【能力提升】4.容积为800 L的水池内已
16、蓄水200 L,若每分钟注入的水量是15 L,设池内的水量为Q(L),注水时间为t(min).(1)请写出Q与t的函数关系式;(2)注水多长时间可以把水池注满?(3)当注水时间为0. 2 h时,池中水量是多少?5.某自行车保管站在某个星期日接受保管的自行车共有3500辆次,其中变速车保管费是每辆一次0.5元,一般车保管费是每辆一次0.3元.(1)若一般车停放的辆次数为x,总的保管费收入为y元,试写出y关于x的函数关系式;(2)若估计前来停放的3500辆自行车中,变速车的辆次不小于总辆次的25%,但不大于40%,试求该保管站这个星期日保管费收入总数的范围.【拓展探究】6.为了节约资源,科学指导居
17、民改善居住条件,小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案.人均住房面积/m2单价/(万元/m2)不超过30的部分0.3超过30不超过n(m2)的部分(45n60)0.5超过n(m2)的部分0.7根据这个购房方案解决下列问题:(1)若某三口之家欲购买120 m2的商品房,求其应缴纳的房款;(2)设某三口之家购买商品房的人均面积为x m2,应缴纳房款为y万元,请写出y关于x的函数表达式.【答案与解析】1.C(解析:函数y=(m-5)x+(4m+1)x2中的y与x成正比例,即m=-.故选C.)2.C (解析:y=4x+3是一次函数;y=x是一次函数;y=x4的自变量的次数不为1,故不是一次函数
18、;y=x2的自变量的次数不为1,故不是一次函数;y=1-x是一次函数.故选C.)3.y=x(解析:只有y=x符合y=kx(k0)的形式.)4.解:(1)Q=200+15t,0t40.(2)注水40 min可以把水池注满.(3)当注水0.2 h,即12 min时,池中水量为380 L.5.解:(1)y与x的关系式是y=0.3x+0.5(3500-x),即y=-0.2x+1750(0x3500,且x为整数). (2)因为变速车停放的辆次不小于3500的25%,但不大于3500的40%,所以一般自行车停放的辆次在350060%与350075%之间.当x=350060%=2100时,y=-0.2210
19、0+1750=1330;当x=350075%=2625时,y=-0.22625+1750=1225.所以该保管站这个星期日保管费收入总数在1225元至1330元之间.6.解析:(1)根据房款=房屋单价购房面积就可以表示出应缴房款.(2)分别求出当0x30,30n时y与x之间的表达式即可.解:(1)由题意,得应缴纳房款为0.390+0.530=42(万元).(2)由题意得:0x30时,y=0.33x=0.9x;30n时,y=0.390+0.53(n-30)+0.73(x-n)=2.1x-18-0.6n.教学时从学生熟悉的实际问题入手,旨在让学生通过直观感知领悟相关概念,通过学生的合作交流得到一次
20、函数和正比例函数的定义,引导学生把新学习的函数知识与实际问题联系起来.对正比例函数和一次函数之间的区别和联系没有做重点强调,这对于学生以后画函数图象和分析图象、性质会带来一定的困难.在教学过程中要适当增加习题,设计不同层次的习题,让不同层次的学生得到不同程度的练习,以提高学生的解题能力和对一次函数与正比例函数的理解和掌握.随堂练习(教材第80页)1.解:依题意得y=2.2x,所以y是x的一次函数,y也是x的正比例函数.2.解:(1)y=80x+100,y是x的一次函数.(2)当x=0.5时,y=140.习题4.2(教材第82页)1.解:y=-3x.2.解:(1)y=3x,y是x的一次函数, 也
21、是x的正比例函数.(2)y=(10-2x)x=-x2+5x,y不是x的一次函数,也不是x的正比例函数.3.解:(1)y=12+0.2x.(2)48元.(3)440 min.4.解:(1)y=0.25x.(2)45元.(3)400 min.5.解:yA=0.2x+12,yB=0.25x.(1)当x=300时,yA=0.2300+12=72,yB=0.25300=75.因为yA0时,经过第象限,从左往右升,即y随x增大而;当k0时,经过第象限,从左往右降,即y随x增大而.知识拓展函数的图象可以是直线,也可以是曲线,描点时,所描出的点越多,图象越精确,有时不能把所有的点都描出,就用平滑的曲线连接描出
22、的点,从而得到函数的近似图象.函数的图象是由函数的表达式决定的,因此函数的表达式与图象之间有一种对应关系.1.正比例函数y=kx(k0)的图象是经过原点的一条直线.通常画正比例函数y=kx(k0)的图象时,只取一点(1,k),然后过原点和这一点画直线即可.2.正比例函数y=kx(k0)的性质.k的取值k0图象图象特征过点(0,0)和(1,k)的直线变化规律y随x的增大而减小y随x的增大而增大1.正比例函数的图象是一条过的直线.答案:原点2.正比例函数y=kx(k为常数,k0).当k0时,直线过第象限,从左向右,y随x的增大而;当k0时,直线过第象限,从左向右,y随x的增大而.答案:一、三上升增
23、大二、四下降减小3.如图所示,射线l甲,l乙分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所行路程s(米)与时间t(分)的函数图象.则他们行进的速度关系是() A.甲、乙同速B.甲比乙快C.乙比甲快D.无法确定解析:因为s=vt,所以同一时刻,s越大,v越大,图象表现为越陡峭.故选B.4.关于函数y=-x,下列说法中正确的是()A.函数图象经过点(1,5)B.函数图象经过第一、三象限C.y随x的增大而减小D.不论x取何值,总有y0B.k0C.k0D.k02.下列各点在正比例函数y=2x的图象上的是()A.(2,1)B.(1,2)C.(-1,2)D.(1,-2)3.对于函数y=k2x(k是常数,k0)的图象,下列说法不正确的是()A.是一条直线B.过点C.经过第一、三象限或第二、四象限D.y随着x的增大而增大4.正比例函数y=(2m+2)x中,y随
