1、第11讲反比例函数考纲要求命题趋势1理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式2会画反比例函数图象，根据图象和解析式探索并理解其基本性质3能用反比例函数解决简单实际问题.反比例函数是中考命题热点之一，主要考查反比例函数的图象、性质及解析式的确定，也经常与一次函数、二次函数及几何图形等知识综合考查考查形式以选择题、填空题为主.知识梳理一、反比例函数的概念一般地，形如_(k是常数，k0)的函数叫做反比例函数1反比例函数y中的是一个分式，所以自变量_，函数与x轴、y轴无交点2反比例函数解析式可以写成xyk(k0)，它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k.二
2、、反比例函数的图象与性质1图象反比例函数的图象是双曲线2性质(1)当k0时，双曲线的两支分别在_象限，在每一个象限内，y随x的增大而_；当k0时，双曲线的两支分别在_象限，在每一个象限内，y随x的增大而_注意双曲线的两支和坐标轴无限靠近，但永远不能相交(2)双曲线是轴对称图形，直线yx或yx是它的对称轴；双曲线也是中心对称图形，对称中心是坐标原点三、反比例函数的应用1利用待定系数法确定反比例函数解析式由于反比例函数y中只有一个待定系数，因此只要一对对应的x，y值，或已知其图象上一个_的坐标即可求出k，进而确定反比例函数的解析式2反比例函数的实际应用解决反比例函数应用问题时，首先要找出存在反比例
3、关系的两个变量，然后建立反比例函数模型，进而利用反比例函数的有关知识加以解决自主测试1如图，是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是()Ayx2 ByCy Dyx2已知点P(1,4)在反比例函数y(k0)的图象上，则k的值是()A B C4 D43若点A(1，y1)，B(2，y2)是双曲线y上的点，则y1_y2(填“”“”或“”)考点一、反比例函数的图象与性质【例1】反比例函数y的图象在第一、三象限，则m的取值范围是_解析：函数的图象在第一、三象限，m10，m1.答案：m1方法总结 1.由于双曲线自变量的取值范围是x0的实数，故其性质强调在每个象限内y随x的变化而变化的情况2反比例函数
4、图象的分布取决于k的符号，当k0时，图象在第一、三象限，当k0时，图象在第二、四象限触类旁通1 若双曲线y的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是_考点二、反比例函数解析式的确定【例2】如图，直线y2x与反比例函数y的图象在第一象限的交点为A，AB垂直于x轴，垂足为B，已知OB1，求点A的坐标和这个反比例函数的解析式解：AB垂直x轴于点B，OB1，且点A在第一象限，点A的横坐标为1.又直线y2x的图象经过A，y2x212，即点A的坐标为(1,2)y的图象过点A(1,2)，2.k2.这个反比例函数的解析式为y.方法总结 反比例函数只有一个基本量k，故只需一个条件即可确定反比例函数这个条件可以是图
5、象上一点的坐标，也可以是x，y的一对对应值触类旁通2 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y2x的图象与反比例函数y的图象的一个交点为A(1，n)(1)求反比例函数y的解析式；(2)若P是坐标轴上一点，且满足PAOA，直接写出点P的坐标考点三、反比例函数的比例系数k的几何意义【例3】已知点P在函数y(x0)的图象上，PAx轴，PBy轴，垂足分别为A，B，则矩形OAPB的面积为_解析：矩形OAPB的面积等于|xy|k|2.答案：2方法总结 过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|；过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积S|k|.
6、触类旁通3 一个反比例函数的图象如图所示，若A是图象上任意一点，AMx轴于M，O是原点，如果AOM的面积是3，那么这个反比例函数的解析式是_1 (2012浙江台州)点(1，y1)，(2，y2)，(3，y3)均在函数y的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()Ay3y2y1 By2y3y1Cy1y2y3 Dy1y3y22(2012湖南常德)对于函数y，下列说法错误的是()A它的图象分布在第一、三象限B它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C当x0时，y的值随x的增大而增大D当x0时，y的值随x的增大而减小3.(2012贵州铜仁)如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y的图象经过点A，则k的
7、值是()A2 B2C4 D44(2012兰州)如图，点A在双曲线y上，点B在双曲线y上，且ABx轴，点C和点D在x轴上若四边形ABCD为矩形，则矩形ABCD的面积为_5(2012四川成都)如图，一次函数y2xb(b为常数)的图象与反比例函数y(k为常数，且k0)的图象交于A，B两点，且点A的坐标为(1,4)(1)分别求出反比例函数及一次函数的表达式；(2)求点B的坐标6(2012四川攀枝花)据媒体报道，近期“手足口病”可能进入发病高峰期，某校根据学校卫生工作条例，为预防“手足口病”，对教室进行“薰药消毒”已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量y(毫克)与燃烧时间x(分钟)之间的关
8、系如图所示(即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分)，根据图象所示信息，解答下列问题：(1)写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？1某反比例函数的图象经过点(1,6)，则下列各点中，此函数图象也经过的点是()A(3,2) B(3,2)C(2,3) D(6,1)2若函数y的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是()Am2 Bm2Cm2 Dm23对于反比例函数y，下列说法正确的是()A图象经过点(1，1)B图象位于第二、四象限C图象
9、是中心对称图形D当x0时，y随x的增大而增大4已知(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)是反比例函数y的图象上的三点，且x1x20，x30，则y1，y2，y3的大小关系是()Ay3y1y2 By2y1y3Cy1y2y3 Dy3y2y15反比例函数y的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点A(1,2)，请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P，你选择的点P的坐标为_6在直角坐标系中，有如图所示的RtABO，ABx轴于点B，斜边AO10，sinAOB，反比例函数y(x0)的图象经过AO的中点C，且与AB交于点D，则点D的坐标为_7如图，已知点A在反比例函数图象上，AMx轴于点M，
10、且AOM的面积是1，则反比例函数的解析式为_8如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与x轴、y轴交于点B，A，与反比例函数的图象分别交于点C，D，CEx轴于点E，tanABO，OB4，OE2.(1)求该反比例函数的解析式；(2)求直线AB的解析式参考答案导学必备知识自主测试1B因为图象的两个分支在第一、三象限，所以k0，A，D选项不是反比例函数，故选B.2Dkxy144.3因为当x1时，y13；当x2时，y2，所以y1y2.探究考点方法触类旁通1k图象经过第二、四象限，2k10，k.触类旁通2分析：(1)把A的坐标代入函数解析式即可求得k的值，即可得到函数解析式；(2)以A为圆心，以OA
11、为半径的圆与坐标轴的交点就是P.解：(1)点A(1，n)在一次函数y2x的图象上，n2(1)2.点A的坐标为(1,2)点A在反比例函数y的图象上，k2.反比例函数的解析式为y.(2)点P的坐标为(2,0)或(0,4)触类旁通3y设反比例函数为y(k0)AOM的面积可表示为SAOM|k|，又SAOM3，|k|3.|k|6.双曲线在第一、三象限，k0.k6.反比例函数的解析式为y.品鉴经典考题1D因为k60，所以函数图象的的两个分支分别在第一、三象限，各象限内y随x的增大而减小，所以0y3y2，点(1，y1)在第三象限，所以y10y3，所以y1y3y2.2C因为k60，所以函数图象的的两个分支分别
12、在第一、三象限，各象限内y随x的增大而减小，图象是双曲线，既是轴对称图形又是中心对称图形，所以A，B，D正确，C错误3D因为正方形ABOC的边长为2，所以面积为4，根据反比例函数系数k的几何意义，又图象在第二象限，所以k4.42延长BA交y轴于点E，则矩形EBCO的面积为3，矩形EADO的面积为1，所以矩形ABCD的面积为312.5解：(1)把A(1,4)代入y得k4，反比例函数的解析式为y.把A(1,4)代入y2xb得2(1)b4，解得b2.一次函数解析式为y2x2.(2)将y和y2x2组成方程组解得或所以B点坐标是(2，2)6解：(1)药物燃烧后，设y与x的函数关系式为y.把B(25,6)
13、代入得6，解得k1150.药物燃烧后，y与x的函数关系式为y.令y10，解得x15.A(15,10)药物燃烧时，设y与x的函数关系式为yk2x.把A(15,10)代入得1015k2，解得k2.药物燃烧时y与x的函数关系式为yx(0x15)，药物燃烧后y与x的函数关系式为y(x15)(2)把y2代入y，得2，解得x75，从消毒开始，至少在75分钟内，师生不能进入教室研习预测试题1A因为反比例函数图象上所有点的横纵坐标乘积相等，3216，故选A.2B因为在象限内y的值随x值的增大而增大，所以图象两分支在第二、四象限，得m20，即m2，故选B.3C因为k10，所以双曲线两分支位于第一、三象限，y随x
14、的增大而减小，图象关于原点中心对称，故选C.4Ak4，图象两分支在第二、四象限，在每个象限y随x增大而增大x1x20，0y1y2.x30，y30，y3y1y2，故选A.5(1，2)(答案不唯一)因为图象过点A(1,2)，所以k2，只需点P的横纵坐标均为负数且乘积为2即可6AO10，sinAOB，AB6，OB8.点C是OA中点，OC5，C点的坐标为(4,3)，k12.D点横坐标为8，纵坐标为.7y8解：(1)OB4，OE2，BE246.CEx轴于点E，tanABO，CE3.点C的坐标为(2,3)设反比例函数的解析式为y(m0)将点C的坐标代入，得3，m6.该反比例函数的解析式为y.(2)OB4，B(4,0)tanABO，OA2，A(0,2)设直线AB的解析式为ykxb(k0)将点A，B的坐标分别代入，得解得直线AB的解析式为yx2.
