1、【典型题】高三数学下期末试卷(附答案)一、选择题1是成立的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D即不充分也不必要条件2若复数，其中i为虚数单位，则=A1+iB1iC1+iD1i3设是虚数单位，则复数（ ）A3+3iB-1+3iC3+iD-1+i4生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为ABCD5将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是()A40 B60C80 D1006已知命题p：若xy
2、，则xy，则x2y2.在命题pq；pq；p(q)；(p)q中，真命题是()ABCD7下列四个命题中，正确命题的个数为( )如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；两条直线一定可以确定一个平面；若， ，则；空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内A1B2C3D48已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（ ）ABCD49在中，若 ，则=（ ）A1B2 C3D410设F为双曲线C：（a0，b0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点若|PQ|=|OF|，则C的离心率为ABC2D11在内，不等式的解集是（ ）ABCD12设集合，集合，则（）ABCD二、填空
3、题13函数的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中则的最小值为 14已知函数和函数的图象交于三点，则的面积为_15已知复数z=（1+i）（1+2i）,其中i是虚数单位，则z的模是_16已知正三棱锥的底面边长为3，外接球的表面积为，则正三棱锥的体积为_.17已知向量与的夹角为60，|=2，|=1，则| +2 |= _ .18已知实数满足不等式组，则的取值范围为_19设 为第四象限角，且，则 _.20在中，若，则_三、解答题21已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为=2,2-2cos(-)=2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程.(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.22已
4、知菱形的顶点，在椭圆上，对角线所在直线的斜率为（）当直线过点时，求直线的方程（）当时，求菱形面积的最大值23如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，为的中点.()求证：平面；() 求，求二面角的余弦值.24如图，边长为2的正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边的中点，将，分别沿DE，DF折起，使得A，C两点重合于点M(1) 求证：；(2) 求三棱锥的体积25已知函数，讨论函数的单调区间；若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数b的取值范围26如图，在几何体中，平面底面ABC，四边形是正方形，Q是的中点，（I）求证：平面（）求二面角的余弦值.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1A解析
5、：A【解析】试题分析：因为，所以充分性成立；满足，但不满足，必要性不成立，所以选A.考点：充要关系2B解析：B【解析】试题分析：，选B.【考点】复数的运算，复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一.3C解析：C【解析】因为，故选 C.考点：本题主要考查复数的乘法运算公式.4B解析：B【解析】【分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解【详解】设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所
6、有取法有，共10种其中恰有2只做过测试的取法有共6种，所以恰有2只做过测试的概率为，选B【点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错5A解析：A【解析】解：三个小球放入盒子是不对号入座的方法有 种，由排列组合的知识可得，不同的放法总数是： 种.本题选择A选项.6C解析：C【解析】试题分析：根据不等式的基本性质知命题正确，对于命题，当为负数时不成立，即命题不正确，所以根据真值表可得为真命题，故选C.考点：1、不等式的基本性质；2、真值表的应用.7A解析：A【
7、解析】【分析】【详解】试题分析：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确；若M，M，=l，则Ml，故（3）正确；空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），故（4）不正确，综上所述只有一个说法是正确的，故选A8A解析：A【解析】本题主要考查的是向量的求模公式由条件可知=，所以应选A9A解析：A【解析】余弦定理将各值代入得解得或(舍去)选A.10A解析：A【解析】【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以
8、为直径的圆的半径，为圆心，又点在圆上，即，故选A【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来11C解析：C【解析】【分析】根据正弦函数的图象和性质，即可得到结论【详解】解：在0，2内，若sinx，则x，即不等式的解集为（，），故选：C【点睛】本题主要考查利用三角函数的图象与性质解不等式，考查数形结合的思想，属于基础题12B解析：B【解析】【分析】求解出集合，根据并集的定义求得结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查
9、集合运算中的并集运算，属于基础题.二、填空题138【解析】函数（且）的图象恒过定点A当时又点A在一次函数的图象上其中又（当且仅当时取）故答案为8点睛：本题主要考查了基本不等式基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值其失误解析：8【解析】函数（，且）的图象恒过定点A，当时，又点A在一次函数的图象上，其中，又，（当且仅当时取“”），故答案为8.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧
10、，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件14【解析】【分析】画出两个函数图像求出三个交点的坐标由此计算出三角形的面积【详解】画出两个函数图像如下图所示由图可知对于点由解得所以【点睛】本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像考查三角函数图像交点坐解析：【解析】【分析】画出两个函数图像，求出三个交点的坐标，由此计算出三角形的面积.【详解】画出两个函数图像如下图所示，由图可知，对于点，由，解得，所以.【点睛】本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像，考查三角函数图像交点坐标的求法，考查三角函数面积公式，属于中档题.15【解析】【分析】利用复数的运算法则模的计算公式即可得出【详解】解：复数z（1+i
11、）（1+2i）12+3i1+3i|z|故答案为【点睛】对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其解析：【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【详解】解：复数z（1+i）（1+2i）12+3i1+3i，|z|故答案为【点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如其次要熟悉复数相关概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为16或【解析】【分析】做出简图找到球心根据勾股定理列式求解棱锥的高得到两种情况【详解】正三棱锥的外接球的表面积为根据公式得到根据题意画出图像设三棱锥的高为hP点在底面的投影为H点则底面三角形的外接圆半径解析：或【解析】【分
12、析】做出简图，找到球心，根据勾股定理列式求解棱锥的高，得到两种情况.【详解】正三棱锥的外接球的表面积为，根据公式得到根据题意画出图像，设三棱锥的高为h,P点在底面的投影为H点，则，底面三角形的外接圆半径为，根据正弦定理得到，故得到外接圆半径为在三角形中根据勾股定理得到 三棱锥的体积为： 代入数据得到或者 故答案为：或【点睛】这个题目考查了已知棱锥的外接球的半径，求解其中的一些量；涉及棱锥的外接球的球心的求法，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点
13、到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.17【解析】【分析】【详解】平面向量与的夹角为故答案为点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式(2)常用来求向量的模解析：【解析】【分析】【详解】平面向量与的夹角为，.故答案为.点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式(2) 常用来求向量的模18【解析】【分析】作出
14、可行域表示与（00）连线的斜率结合图形求出斜率的最小值最大值即可求解【详解】如图不等式组表示的平面区域（包括边界）所以表示与（00）连线的斜率因为所以故【点睛】本题主要考查了简单解析：【解析】【分析】作出可行域，表示与（0，0）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小值，最大值即可求解.【详解】如图，不等式组表示的平面区域（包括边界），所以表示与（0，0）连线的斜率，因为，所以，故.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中档题.19【解析】因为4cos212(2cos21)12cos21所以cos2又是第四象限角所以sin2tan2点睛：三角函数求值常用方
15、法：异名三角函数化为同解析：【解析】因为4cos212(2cos21)12cos 21，所以cos 2.又是第四象限角，所以sin 2，tan2.点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化201【解析】【分析】由题意利用余弦定理得到关于AC的方程解方程即可确定AC的值【详解】由余弦定理得解得或（舍去）【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形的方法方程的数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计解析：1【解析】【分析】由题意利用余弦定理得到关于AC的方程，解方程即可确定AC的值.【详解】由余弦定理得，解得或（舍去）.【点睛
16、】本题主要考查余弦定理解三角形的方法，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题21(1) x2+y2-2x-2y-2=0 (2) sin(+)=【解析】(1)=2,2=4,即x2+y2=4.2-2cos(-)=2,2-2 (coscos+sinsin)=2.x2+y2-2x-2y-2=0.(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.化为极坐标方程为cos+sin=1,即sin(+)=.22（1）（2）【解析】【分析】【详解】）由题意得直线的方程为因为四边形为菱形，所以于是可设直线的方程为由得因为在椭圆上，所以，解得设两点坐标分别为，则，所
17、以所以的中点坐标为由四边形为菱形可知，点在直线上，所以，解得所以直线的方程为，即（）因为四边形为菱形，且，所以所以菱形的面积由（）可得，所以，故当时，有23（）详见解析（）【解析】【分析】（）由矩形和菱形所在的平面相互垂直，进而证得平面，证得，再根菱形ABEF的性质，证得，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面. () 由()可知，两两垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面ACD和平面ACG一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（）证明：矩形和菱形所在的平面相互垂直，矩形菱形，平面，AG平面，菱形中，为的中点，平面. () 由()可知，两两垂直，以为原点，
18、为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，故，则，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，设二面角的平面角为，则，由图可知为钝角，所以二面角的余弦值为 .【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定与证明和直线与平面所成的角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.24（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）在正方形ABCD中，有，在三棱锥中，可得，由线面垂直的判定可得面MEF，
19、则；（2）由E、F分别是AB、BC边的中点，可得，求出三角形MEF的面积，结合及棱锥体积公式求解【详解】（1）证明：在正方形ABCD中，在三棱锥中，有，且，面MEF，则；（2）解：、F分别是边长为2的正方形ABCD中AB、BC边的中点，由（1）知，【点睛】本题考查线面垂直的判定定理及性质定理的应用，考查棱锥体积的求法，是中档题25(1) 当时，的单调递减区间是，无单调递增区间；当时，的单调递减区间是，单调递增区间是 (2) 【解析】【分析】【详解】分析：（1）求导，解不等式，得到增区间，解不等式，得到减区间；（2）函数f（x）在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f（x）bx21+b，构造函
20、数g（x）=1+，g（x）min即为所求的b的值详解：（1）在区间上， ，当时， 恒成立， 在区间上单调递减；当时，令得，在区间上，函数单调递减，在区间上，函数单调递增.综上所述：当时， 的单调递减区间是，无单调递增区间；当时，的单调递减区间是，单调递增区间是（2）因为函数在处取得极值，所以，解得，经检验可知满足题意由已知，即，即对恒成立，令，则，易得在上单调递减，在上单调递增，所以，即.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为26
21、（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，则四边形是正方形，点是的中点，推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面（2）以为原点，分别为轴和轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的平面角的余弦值【详解】证明：（1）如图所示，连接，交于点，连接因为四边形是正方形，所以点是的中点，又已知点是的中点，所以，且，又因为，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，故，因平面，平面，故平面（2）如图所示，以为原点，分别为轴和轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，所以，设平面的法向量为，则 即，取，则平面的一个法向量，所以故二面角的平面角的余弦值为【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.
