1、【典型题】高一数学上期末一模试题及答案一、选择题1已知集合，,则（ ）ABCD2已知函数的定义域和值域都是0，1，则a=（ ）ABCD23已知，则的大小关系为 （ ）ABCD4设f(x)若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为()A1，2B1，0C1，2D0，25函数f(x)ax2bxc(a0)的图象关于直线x对称据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程mf(x)2nf(x)p0的解集都不可能是()A1,2B1,4C1,2,3,4D1,4,16,646若函数y (a0，a1)的定义域和值域都是0，1，则logaloga()A1B2C3D47设是上的周期为2的函数，
2、且对任意的实数，恒有，当时，若关于的方程(且)恰有五个不相同的实数根，则实数的取值范围是( )ABCD8定义在上的奇函数，当时，则不等式的解集为ABCD9下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）ABCD10已知表示不超过实数的最大整数，为取整函数，是函数的零点，则等于（）A1B2C3D411函数y在2，3上的最小值为()A2BCD12已知全集U=1，2，3，4，5，6，集合P=1，3，5，Q=1，2，4，则=A1B3，5C1，2，4，6D1，2，3，4，5二、填空题13若，则_14已知为奇函数，且在上是减函数，若不等式在上都成立，则实数的取值范围是_.15设定义在上的偶函数在
3、区间上单调递减，若，则实数m的取值范围是_16设，满足，则的最小值为_.17若当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_.18函数，若函数的图像与函数的图像有公共点，则m的取值范围是_.19高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则函数的值域是_.20已知函数，其中且，若的值域为，则实数a的取值范围是_三、解答题21已知函数，其中为实数.（1）若，求证：函数在上为减函数；（2）若为奇函数，求实数的值.22设，a为常数.若.（1）求a的
4、值；（2）若对于区间上的每一个x的值，不等式恒成立，求实数m的取值范围 .23已知定义在上的函数满足，且当时，.（1）求；（2）求证：在定义域内单调递增;（3）求解不等式.24已知函数，（且），且.（1）求k的值；（2）求关于x的不等式的解集；（3）若对恒成立，求t的取值范围.25已知函数(,且),且.(1)若,求实数的取值范围;(2)若方程有两个解,求实数的取值范围.26已知，.（1）当时，证明：为单调递增函数；（2）当，且有最小值2时，求a的值.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1A解析：A【解析】【分析】【详解】由已知得，因为，所以，故选A2A解析：A【解析】【分析】由函数
5、的定义域和值域都是0，1，可得f(x)为增函数，但在0，1上为减函数，得0a1，把x=1代入即可求出a的值【详解】由函数的定义域和值域都是0，1，可得f(x)为增函数，但在0，1上为减函数，0a1，y在定义域为0，1上单调递减，值域是0，1，所以f(0)1，f(1)0，所以a2，所logalogalog2log2log283.故选C【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.7D解析：D【解析】由，知是偶函数，当时，且是上的周期为2的函数，作出函数和的函数图象，关于的方程(且)恰有五个不相同的实数根，即为函数和的图象有5个交点
6、，所以，解得.故选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等8B解析：B【解析】【分析】当时，为单调增函数，且，则的解集为，再结合为奇函数，所以不等式的解集为【详解】当时，所以在上单调递增，因为，所以当时，等价于，即，因为是定义在上的奇函数，所以 时，在上单调递增，且，所以等价于，即，所以不等式的解集为【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶
7、函数在其对称的区间上单调性相反9A解析：A【解析】本题考察函数的单调性与奇偶性由函数的奇偶性定义易得，是偶函数，是奇函数是周期为的周期函数，单调区间为时，变形为，由于21,所以在区间上单调递增时，变形为，可看成的复合，易知为增函数，为减函数，所以在区间上单调递减的函数故选择A10B解析：B【解析】【分析】根据零点存在定理判断，从而可得结果.【详解】因为在定义域内递增，且，由零点存在性定理可得，根据表示不超过实数的最大整数可知，故选：B.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.11B解析：B【解析】y在
8、2，3上单调递减，所以x=3时取最小值为，选B.12C解析：C【解析】试题分析：根据补集的运算得故选C.【考点】补集的运算.【易错点睛】解本题时要看清楚是求“”还是求“”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误二、填空题131【解析】故答案为解析：1【解析】，故答案为.14【解析】【分析】根据为奇函数且在上是减函数可知即令根据函数在上单调递增求解的取值范围即可【详解】为奇函数且在上是减函数在上是减函数即令则在上单调递增若使得不等式在上都成立则需故答案为：【点睛】本题解析：【解析】【分析】根据为奇函数，且在上是减函数，可知，即，令，根据函数在上单调递增，求解的取值范围，即
9、可.【详解】为奇函数，且在上是减函数在上是减函数.，即.令，则在上单调递增.若使得不等式在上都成立.则需.故答案为：【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，属于中档题.15【解析】【分析】由题意知函数在上是减函数在上是增函数其规律是自变量的绝对值越小其函数值越大由此可直接将转化成一般不等式再结合其定义域可以解出的取值范围【详解】解：函数是偶函数定义在上的偶函数在区间上解析：【解析】【分析】由题意知函数在上是减函数，在上是增函数，其规律是自变量的绝对值越小，其函数值越大，由此可直接将转化成一般不等式，再结合其定义域可以解出的取值范围【详解】解：函数是偶函数，定义在上的偶函数在区间上单调递减，
10、得故答案为：【点睛】本题考点是奇偶性与单调性的综合，考查利用抽象函数的单调性解抽象不等式，解决此类题的关键是将函数的性质进行正确的转化，将抽象不等式转化为一般不等式求解本题在求解中有一点易疏漏，即忘记根据定义域为来限制参数的范围做题一定要严谨，转化要注意验证是否等价16【解析】【分析】令将用表示转化为求关于函数的最值【详解】令则当且仅当时等号成立故答案为:【点睛】本题考查指对数间的关系以及对数换底公式注意基本不等式的应用属于中档题解析：【解析】【分析】令，将用表示，转化为求关于函数的最值.【详解】，令，则，当且仅当时等号成立.故答案为:.【点睛】本题考查指对数间的关系，以及对数换底公式，注意基
11、本不等式的应用，属于中档题.17【解析】【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式然后用分离参数法转化为求函数最值【详解】设是增函数当时不等式化为即不等式在上恒成立时显然成立对上恒成立由对勾函数性质知在是减函数时即综上故答案为：【解析：【解析】【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式然后用分离参数法转化为求函数最值【详解】设，是增函数，当时，不等式化为，即，不等式在上恒成立，时，显然成立，对上恒成立，由对勾函数性质知在是减函数，时，即综上，故答案为：【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题方法是转化与化归，首先用换元法化指数型不等式为一元二次不等式，再用分离参数法转化为求函数最值18【解析】【分析
12、】作出函数的图象如下图所示得出函数的值域由图象可得m的取值范围【详解】作出函数的图象如下图所示函数的值域为由图象可得要使函数的图像与函数的图像有公共点则m的取值范围是故答案为：【点睛】解析：【解析】【分析】作出函数的图象如下图所示，得出函数的值域，由图象可得m的取值范围.【详解】作出函数的图象如下图所示，函数的值域为，由图象可得要使函数的图像与函数的图像有公共点，则m的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查两函数图象交点问题，关键在于作出分段函数的图象，运用数形结合的思想求得范围，在作图象时，注意是开区间还是闭区间，属于基础题.19【解析】【分析】求出函数的值域由高斯函数的定义即可得解【详解
13、】所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值域的求法属于中档题解析：【解析】【分析】求出函数的值域，由高斯函数的定义即可得解.【详解】，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值域的求法，属于中档题.20【解析】【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质可得值域讨论两种情况即可得到所求a的范围【详解】函数函数当时时时递减可得的值域为可得解得；当时时时递增可得则的值域为成立恒成立综上可得故答案为：【点解析：【解析】【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质，可得值域，讨论，两种情况，即可得到所求a的范围【详解】函数函数，当时，时，时，递减，可得，的值域为，可得，解得；当时，时，时，递增，可得，
14、则的值域为成立，恒成立综上可得故答案为：【点睛】本题考查函数方程的转化思想和函数的值域的问题解法，注意运用数形结合和分类讨论的思想方法，考查推理和运算能力，属于中档题三、解答题21（1）证明见解析（2）或【解析】【分析】（1）对于，且，计算得到证明.（2）根据奇函数得到，代入化简得到，计算得到答案.【详解】（1）当时，对于，且，因为，所以，所以，又因，且，所以，即，所以，.所以函数在上为减函数.（2），若为奇函数，则，即.所以，所以，所以，或.【点睛】本题考查了单调性的证明，根据奇偶性求参数，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.22（1）（2）【解析】【分析】(1)依题意代数求值即可;(2)设
15、,题设条件可转化为在上恒成立,因此,求出的最小值即可得出结论.【详解】(1),即,解得;(2)设,题设不等式可转化为在上恒成立,在上为增函数,的取值范围为.【点睛】本题考查函数性质的综合应用,属于中档题.在解决不等式恒成立问题时,常分离参数,将其转化为最值问题解决.23（1）0；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）取，代入即可求得；（2）任取，可确定，根据单调性定义得到结论；（3）利用将所求不等式变为，结合定义域和函数单调性可构造不等式组求得结果.【详解】（1）取，则，解得：（2）任取则 ，即在定义域内单调递增（3） 由（2）知为增函数 解得：【点睛】本题考查抽象函数单调性的证明、利
16、用单调性求解函数不等式的问题；关键是能够通过单调性的定义证明得到函数单调性，进而根据函数单调性将函数值的比较转化为自变量的比较；易错点是忽略函数定义域的要求，造成求解错误.24(1)；(2) 当时，；当时，；(3)【解析】【分析】（1）由函数过点，待定系数求参数值；（2）求出的解析式，解对数不等式，对底数进行分类讨论即可.（3）换元，将指数型不等式转化为二次不等式，再转化为最值求解即可.【详解】（1）因为且，故：，解得.（2）因为，由（1），将代入得：，则，等价于：当时，解得当时，解得.（3）在R上恒成立，等价于：恒成立；令，则，则上式等价于：，在区间恒成立.即：，在区间恒成立，又，故：的最小
17、值为：-13，故：只需即可.综上所述，.【点睛】本题考查待定系数求参数值、解复杂对数不等式、由恒成立问题求参数范围，属函数综合问题.25(1);(2).【解析】【分析】（1）由求得的值，再利用指数函数的单调性解不等式，即可得答案；（2）作出函数与的图象，利用两个图象有两个交点，可得实数的取值范围.【详解】(1)则即,则函数是增函数由,得得,即实数的取值范围是.(2),由题知图象与图象有两个不同交点,由图知:【点睛】本题考查指数函数的解析式求解、单调性应用、图象交点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.26（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（2）首先表示出，再根据复合函数的单调性分类讨论可得。【详解】解：（1）任取，.，为单调递增函数.（2）.又由（1）知，在单调递增，当时，在单调递增，解得.当时，在单调递减，解得（舍去）.所以.【点睛】本题考查用定义法证明函数的单调性，复合函数的单调性的应用，属于中档题.
