1、向量的数量积教学目标1、掌握平面向量的数量积及其几何意义；2、了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；3、掌握向量垂直的条件重 点1、平面向量的数量积及其几何意义；2、向量数量积的应用；3、向量投影的熟练运用难 点平面向量的数量积及其几何意义1向量的投影平面上一点在直线上的投影就是过点作的垂线而得到的垂足.如果向量的起点是和终点在直线的投影分别为点和，那么向量叫做向量在直线上的投影向量（如图），简称为投影.从而，一个向量，在一个非零向量的方向上的投影，就是在的任意一条所在直线上的投影.因为所有这些直线都相互平行，所以在的方向上的投影（在相等意义下）是唯一确定的.对于两个非零向
2、量和，以O为起点，作那么射线的夹角称为向量和的夹角，记作：，它的取值范围为.当时，称与垂直,记作.容易看出，当时，当时，当时，即时，由此可以得知，如果令是的单位向量，那么向量在向量方向上的投影为在上式中，实数称为向量在向量方向上的数量投影，它是数量，其绝对值等于向量在向量方向上的投影的模.当时，其值为正，向量在向量方向上的投影和具有相同方向；当时，其值为负，向量在向量方向上的投影和具有相反方向；当时，即时，其值为有投影的定义立即得知，零向量在任何非零向量方向上的投影是零向量，而相应的数量投影的绝对值是该投影的模，因此这个数量投影等于2、向量的数量积的定义与运算设与是两个非零向量，定义与的数量积
3、 即是的模、的模与夹角的余弦的乘积. 在这个公式中，就是在方向上的数量投影，就是在方向上的数量投影. 我们约定可以把简记，它其实就是.我们还规定零向量与任何向量的数量积是.3、向量数量积的运算律：设和是向量，是实数，则（1）向量数量积的交换律：；（2）向量数量积对数的结合律：对于，；（3）向量数量积对加法的分配律：说明：性质（1）与（2）可以由向量数量积的定义直接进行证明，性质（3）的证明，教师讲解时简单地作图说明，特别应注意向量在向量方向上的投影的正、负，可作两个图形说明。结合律中通常不成立。【例1】已知是边长为6的正三角形，求=_;=_;_.【例2】(1)已知，的夹角为，是与向量方向相同的
4、单位向量，则在向量上的投影向量为_.(2)已知，则向量在向量方向上的数量投影是_，向量在向量方向上的数量投影是_【例3】判断下列各命题正确与否：（1）；（2）；（3）若，则；（4）若，则当且仅当时成立；（5）对任意向量都成立；（6）对任意向量，有.【例4】(1)已知在四边形中，是的中点，则_.(2)已知是边长为2的正三角形，点为平面内一点，且，则的取值范围是_.【例5】(1)如图，在中，则_.(2)如图，在矩形ABCD中，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_【例6】(1)已知平面向量，均为单位向量，且，则的最大值为ABC1D(2)已知在三角形中，则的取值范围是A，B，CD，
5、【例7】(1)已知，且，则向量在方向上的数量投影为A1BCD(2)已知，的夹角为，则在上的数量投影为 【例8】如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边上有10个不同的点，则 1、模为4的向量与单位向量的夹角为，则在向量方向上的投影向量为_2、若，与的夹角为，则在方向上的数量投影是_.3、在中，AB=4，ABC=45，AD是边BC上的高，则_.4、在正三角形中，是上的点，则 5、已知，则向量在向量上的数量投影为AB3C4D56、已知向量、的夹角为，且，则在方向上的投影等于 7、如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各顶点依次为，则的值组成的集合为A，0，1
6、，BCD3向量的夹角及模长若两非零向量，则由向量的数量积的定义，可从数量积来反推向量夹角公式由向量的数量积的定义，可以得到：(1) 当且仅当;(2) ，当且仅当是等号成立.其中.特别地，. 补充：夹角为锐角：夹角为钝角：(夹角为锐角、钝角，解答时要注意共线的情况.)【例9】(1)已知单位向量，的夹角为，则在下列向量中，与垂直的是ABCD(2)已知与的夹角为，当向量与夹角为锐角时，求实数的取值范围.【例10】(1)已知，则ABCD4(2)设，满足，且与的夹角为，则的最大值是 【例11】若是两个非零向量，且，则与的夹角的取值范围是 【例12】已知非零向量，满足，且（1）求；（2）当时，求向量与的夹
7、角的值【例13】(1)已知，与的夹角为，则向量与的夹角余弦值为 (2)已知平面单位向量，满足设向量与向量的夹角为，则的最大值为 【例14】(1)已知，为单位向量，满足，若，则，的夹角为，则的最小值为 (2)已知为不共线的单位向量，设，若对任意向量，均有成立，向量夹角的最大值是 【例15】已知非零向量，满足，与的夹角为，则的取值范围是 【例16】在中，内角，的对边分别为，且，（1）求；（2）设是边上一点，且，求证：【例17】已知，与的夹角是（1）计算，；（2）当为何值时，？1、已知平面向量，均为单位向量，若向量，的夹角为，则_.2、已知，是空间两个向量，若，则， 3、已知平面向量、满足，且，则当时，的取值范围是 4、设两非零向量，的夹角为，若对任意实数，的最小值为2，则A若确定，则唯一确定B若确定，则唯一确定C若确定，则唯一确定D若确定，则唯一确定5、设向量、满足：，的夹角是，若与的夹角为钝角，则的取值范围是_.6、在中，点满足且，则当角最大时，的值为ABCD7、已知，（1）求与的夹角；（2）求；（3）若，求的面积8、若，是夹角为的两个向量，且，设与（1）若，求实数的值；（2）当时，求与的夹角的大小【反思总结】 8 / 8向量的数量积
