1、BUPT第7章 泊松过程 泊松泊松(Poisson)(Poisson)过程过程最早由法国人泊松于最早由法国人泊松于18371837年年引入，它的应用也非常的广泛，许多随机现象都可以引入，它的应用也非常的广泛，许多随机现象都可以用泊松过程描述，而大量的物理过程可以借助它加以用泊松过程描述，而大量的物理过程可以借助它加以刻画刻画.最著名的例子是盖格计数器上的粒子流、交通流最著名的例子是盖格计数器上的粒子流、交通流中的事故数以及某地区某段时间的地震次数等中的事故数以及某地区某段时间的地震次数等.1BUPT21 泊松过程的定义 背景背景:考虑在时间间隔考虑在时间间隔(0,t(0,t中某保险公司收到的某
2、中某保险公司收到的某类保险的理赔次数类保险的理赔次数N(t),N(t),它是一个计数过程它是一个计数过程.此类过程有此类过程有如下特点如下特点:(1)(1)零初值性零初值性：N N（0 0）=0=0；(2)(2)独立增量性独立增量性：在不同的时间区段内的理赔次数彼此独：在不同的时间区段内的理赔次数彼此独立；立；(3)(3)平稳增量性平稳增量性:在同样长的时间区段内理赔次数的概率在同样长的时间区段内理赔次数的概率规律是一样的规律是一样的;(4)(4)普通性普通性:在非常短的时间区段在非常短的时间区段t t内的理赔次数几乎不内的理赔次数几乎不可能超过可能超过1 1次次,且发生且发生1 1次理赔的概
3、率近似与次理赔的概率近似与 t t成正比成正比.BUPT31 泊松过程的定义BUPT41 泊松过程的定义BUPT51 泊松过程的定义 泊松过程泊松过程是计数过程的最重要的类型之一，其定义是计数过程的最重要的类型之一，其定义如下如下.BUPT61 泊松过程的定义BUPT71 泊松过程的定义注：注：条件（条件（3 3）说明，在充分小的时间间隔内，最）说明，在充分小的时间间隔内，最多有一个事件发生，而不能有两个或两个以上事件多有一个事件发生，而不能有两个或两个以上事件同时发生。同时发生。BUPT81 泊松过程的定义 我们再介绍齐次泊松过程的一个基于点间间距我们再介绍齐次泊松过程的一个基于点间间距特性
4、的等价定义，该定义也是一种很好的定义方式，特性的等价定义，该定义也是一种很好的定义方式，根据此定义可以很容易地构造出泊松过程根据此定义可以很容易地构造出泊松过程.BUPT91 泊松过程的定义BUPT101 泊松过程的定义BUPT11泊松过程的性质112222(,)()()()()()()()(0)()()()()(0)()()()()()()(1),(,)(,)()().NNNNNRs tE N s N tE N s N tN sN sE N sNN tN sE N sE N sNE N tN sD N sE N sstsssstsstCs tRs tms mts BUPT12泊松过程的性质1
5、2()000()()()!()expexp(1)!niuN tiuniuntNnniunttiuiuntguE eeP N tne enteeetet enBUPT13泊松过程的性质1313BUPT14泊松过程的性质1414时间间隔与等待时间的分布：时间间隔与等待时间的分布：BUPT15泊松过程的性质1515 T1t W115BUPT16泊松过程的性质1616 16tW2W10s+t s(2)n=2211|(,|(,)()()0()(0)0,tP Tt TsPs stTsPs stP X tsX sP X tXe在内没有事件发生在内没有事件发生利用泊松过程的独立，平稳增量性质，有利用泊松过程的
6、独立，平稳增量性质，有16BUPT17泊松过程的性质1717TnTn-1=sn-1T2=s2T1=s1tWn-2W2W10Wn-1Wn(3)n 1注：上定理注：上定理 的结论是在平稳独立增量过程的假设前提的结论是在平稳独立增量过程的假设前提下得到，由于指数分布的无记忆性特征，因此时间间隔下得到，由于指数分布的无记忆性特征，因此时间间隔的指数分布是预料之中的。的指数分布是预料之中的。BUPT182.1 泊松过程与均匀分布BUPT191919)()()(,)(ntXPknsXtXksXP 解：利用条件概率及泊松分布得解：利用条件概率及泊松分布得.1!)()!()(!)()(knkknntknstk
7、ststsCnteknstekse)()(,)()(|)(ntXPntXksXPntXksXPBUPT20202020 niiniitNiintNTEntntNTtEntNTtE11)(1)(|)(|)()(|)(解：对解：对N N（t t）取条件期望）取条件期望20BUPT212121212)(|11ntUEntNTEniinii22)(|)(1ntntntntNTtEnii2)(2)(|)()(2)(1)(1ttNEtntNTtEETtEtNiitNii则则 21BUPT223.1 广义齐次泊松过程BUPT233.1 广义齐次泊松过程BUPT243.1 广义齐次泊松过程 000nntrnn
8、rGsP N tn ssP Mtr Pn 000nrrrnrP M trP n sP M trG s 10!rt G stntG seerBUPT253.2 非时齐泊松过程BUPT263.2 非时齐泊松过程BUPT273.2 非时齐泊松过程BUPT283.2 非时齐泊松过程 例：设例：设 X X(t t),),t t 00为具有强度函数为具有强度函数(t t)的非的非齐次泊松过程，则齐次泊松过程，则 证证:001()()()exp()!()exp()(1)!nnnnnEX tnP X tntntnttn11()()exp()(1)!()exp()exp()()nntttntttt 28()()
9、()EX tDX tt BUPT293.2 非时齐泊松过程29222001()()()exp()!()(1)exp()!nnnnntE X tn P X tnntntn nntn222112()()exp()(2)!()()exp()(1)!()()nnnntttntttntt 2222()()()()()()()D X tE X tEX ttttt 29BUPT303.2 非时齐泊松过程3030).sin(1(21)cos(1(21)()(0ttdsstmtXEtX).sin(1(21)()(tttmtXDX30BUPT313.3 复合泊松过程下面举几个复合泊松过程的例子，以便更好地理解定义
10、下面举几个复合泊松过程的例子，以便更好地理解定义.BUPT323.3 复合泊松过程BUPT333.3 复合泊松过程BUPT343.3 复合泊松过程 34BUPT354 过程的稀释和叠加BUPT364 过程的稀释和叠加BUPT374 过程的稀释和叠加 从另一个方向，将许多个独立的过程进行求和称为从另一个方向，将许多个独立的过程进行求和称为叠加叠加.既然一个泊松过程可以拆分为多个独立的泊松过程，既然一个泊松过程可以拆分为多个独立的泊松过程，那么就不应该很奇怪，当独立的泊松过程放在一起时，它那么就不应该很奇怪，当独立的泊松过程放在一起时，它们的和是一个泊松过程，并且其速率为这些独立泊松过程们的和是一个泊松过程，并且其速率为这些独立泊松过程的速率之和的速率之和.BUPT384 过程的稀释和叠加BUPT本章作业P1901，3，6，7，9，10，11BUPT
