1、构造角平分线借助其性质解题在解决三角形的问题中，如果已知条件中涉及到角的平分线，我们则可以考虑利用角的平分线的性质解题.现举例如下. 一、证明线段相等例1 如图1，在ABC中，BAC的角平分线AD平分底边BC.求证AB=AC.分析：根据已知可知AD是BAC的平分线，可通过点D作BAC的垂线，根据角平分线的性质，结合三角形的面积进行证明.证明：过点D作DEAB，DFAC，垂足分别为E、F.因为DA为BAC的平分线，所以DE=DF.又因为AD平分BC，所以BD=CD，所以SABD=SACD，又SABD=ABDE，SACD=ACDF，所以ABDE=ACDF，所以AB=AC. 图1 图2二、证明两角的
2、和等于180.例2 已知，如图2，AC平分BAD，CD=CB，ABAD.求证:B+D=180.分析:因为AC是BAD的平分线,所以可过点C作BAD的两边的垂线,构造直角三角形,通过证明三角形全等解决问题. 证明:作CEAB于E,CFAD于F.因为AC平分BAD,所以CE=CF.在CBE和CDF中,因为CE=CF,CB=CD,所以RtCBERtCDF,所以B=1,因为1+ADC=180,所以B+ADC=180,即B+D=180.三、证明角相等例3如图3，在ABC中，PB、PC分别是ABC的外角的平分线，求证：1=2分析：要证明AP是BAC的平分线，需要证明点P到BAC两边的距离相等，可作PEAB
3、，PGAC，PHBC，易证PE=PH，PH=PG，从而PE=PG.证明；过点P作PEAB于点E，PGAC于点G，PHBC于点H.因为P在EBC的平分线上，PEAB，PHBC，所以PE=PH，同理可证PH=PG，所以PG=PE，又PEAB，PGAC，所以PA是BAC的平分线.所以1=2. 图3 图4四、证明角的平分线例4 如图4，DAAB，CBAB，P是AB的中点，PD平分ADC.求证：CP平分DCB.分析：因为DAAB，PD平分ADC，所以可过点P作PEAC，利用角平分线的性质得到PE=PA，进而可得到PE=PB.证明：过点P作PEDC，垂足于E，因为PD平分ADC，PAAD，所以PA=PE，
4、因为P为AB的中点，所以PA=PB，所以PE=PB，因为CBBP，CEPE，所以CP平分DCB五、求角的度数例5 如图5，在ABC中，ABC=100，ACB=20，CE平分ACB，D是AC上一点，若CBD=20，求ADE的度数.分析：由于CE平分ACB，可过点E作ACB的两边的垂线，通过证明DE是ADB的平分线解决问题.解：作ENCA，EMBD，EPCB，垂足分别是N、M、P.因为ABD=ABC-CBD=100-20=80，PBA=180-100=80，所以PBA=ABD，因为EMBD于M，EPCB于P，所以EP=EM，又CE平分ACB，ENCA，EPCB，所以EN=EP，所以EN=EM，所以ED平分ADB，所以ADE=ADB=40=20. 图54 / 4
