1、理科数学参考答案 第 1 页 （共 5 页） 1 - 1 6 4 武汉市 2020 届高中毕业生六月供题（一） 理科数学参考答案与评分标准 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是 符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B C A C A D B C A B 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13. x - y = 0 14. 114 15. 3 16. 2 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题， 每个试题考
2、生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 17（本题满分 12 分） （1） S = b + c - a . 1 bc A b + c - a 2 2 2 4 2 2 2 2 sin = 4 即 sin A = b + c - a A ， 则 A 又 A A 2 2 2 2bc = cos tan = 1 , (0, ) , = 4 a b 2 6 由正弦定理有：sin A = sin B sin B = 2 2 sin B = 6 6 cos B = 又 a b 30 = 6 6 分 （2） 由第（1）问可知，A = 4 sin(A + B) + sin B cos B +
3、cos(B - A) = sin(B + ) + sin B cos B + cos(B - ) 4 4 = sin B = 2 sin B + cos B+ sin B cos B 令 t = sin B + cos B ,则 t2 = 1 + 2 sin B cos B , 令y = 1 t 2 + 2 t - 1 = 1 (t + 2 )2 - 3 , t 0, 2 2 2 2 2 t = 2 时, B = ,此时最大值为 5 . 12 分 2 1 8 （ . 本题满分 12 分） （1） 由面面平行的性质定理可知： 2 2 2 2 2 sin B + 2 cos B + sin B c
4、os B + 2 cos B + 2 文科数学参考答案 第 2 页 （共 5 页） x 1 F 2 2 y - y P = 四边形 AEFG 是平行四边形 建立如图所示的空间直角坐标系 O - xyz. 可得 A(0, - 3,0) ，B(1,0,0) ，E(1,0,1) ，C(0, 3,0)，F(0, 3,5). 所以 AG = EF =(-1, 3,4) ， 即 G(-1,0,4). BG =(-2,0,4). 即BG 的长为 |BG| = 2 5. 6 分 （2） 依题意可取平面 ABCD 的一个法向量 m =(0,0,1) . 由(1)可知：AG =(-1, 3,4)，AE =(1,
5、3,1)， 设 n =(x,y,z) 是平面 AEFG 的一个法向量，则 nAE = 0 ， 即 x + 3 y + z = 0 nAG = 0 ， -x + 3 y + 4z = 0 可取 n =(3, - 5 3 ,2) . 3 则 | cos | = | n m | = 3 ， |n|m| 4 所以所求锐二面角的余弦值为 3 . 12 分 4 1 9 （ . 本题满分 12 分） 2 （1） m = 2 ，椭圆 E： y 2 ，两个焦点 ， 4 + = 1 F - 3,0 2 3,0 设 K x,y ，F 1 K = x + 3,y ，F 2 K = x - 3,y ， KF KF =
6、FK F K = x + 3,y x - 3,y = x 2 + y2 - 3 = -3y2 + 1 ， 1 2 1 2 -1 y 1 ， KF1KF2 的范围是 - 2,1 5 分 x 2 + 4y 2 = m2 （2） 设 A，B 的坐标分别为 x1,y1 ，x2,y2 ， 则 1 1 + 4y = m . 两式相减， x 2 2 2 得 x + x x - x + 4y + y y - y = 0 ，1 + 4 y1 + y2 1 2 = 0 ， 1 2 1 2 1 2 1 2 x + x x - x 即 1 + 4kOM kl = 0 ， 故 kOMkl = - 1 ； 4 m 1 2
7、 1 2 又设 PxP ,yP ， 直线 l：y = kx - m + l：y = kx - km + m ， 2 m 0,k 0 ， 即 2 从而 OM：y = - 1 x ，代入椭圆方程得，x2 4m 2 k2 ， 4k 4k2 + 1 理科数学参考答案 第 3 页 （共 5 页） 2 2 2 k 1 k 由 y = kx - m+ m 与 y = - 1 x ，联立得 x = 4k m - 2km 2 4k 4k2 + 1 若四边形 OAPB 为平行四边形，那么 M 也是 OP 的中点，所以 2xM = xp ， 即 4( 4k m - 2km 2 4m 2 k2 4 7 4k2 + 1
8、 ) = ，整理得 12k2 4k + 1 - 16k + 3 = 0 解得，k = 6 经检验满足题意 所以当 k = 4 7 时，四边形 OAPB 为平行四边形 . 12 分 6 20.（本题满分 12 分） （1） 设每个人的血呈阴性反应的概率为 q ， 则 q = 1 - p . 所以 k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为 qk ，呈阳性反应的概率为 1 - qk . 依题意可知 X = 1 ，1 + 1 ，所以 X 的分布列为： k k （2） 方案中. 6 分 结合（1）知每个人的平均化验次数为：E(X) = k q + + 1 1 - qk = 1 - q + 1 1 k k k
9、 = 2 时，E(X) = 1 - 0.92 + 1 = 0.69 ，此时 1000 人需要化验的总次数为 690 次， 2 k = 3 时，E(X) = 1 - 0.93 + 1 0.6043 ，此时 1000 人需要化验的总次数为 604 次， 3 k = 4 时，E(X) = 1 - 0.94 + 1 = 0.5939 ，此时 1000 人需要化验的次数总为 594 次， 4 即 k = 2 时化验次数最多，k = 3 时次数居中，k = 4 时化验次数最少，而采用方案则需 化 验 1000 次， 故在这三种分组情况下，相比方案， 当 k = 4 时化验次数最多可以平均减少 1000 -
10、 594 = 406 次. 12 分 2 1 （ . 本题满分 12 分） （1） f (x) = f (1)e 2x - 2 + 2x - 2f (0) ， 令 x = 1 ， 解得 f (0) = 1 ， 由 f (x) = f (1) 2 .e 2x - 2 + x2 - 2f (0)x ， 令 x = 0 得 f (0) = f (1) 2 e- 2 ，f (1) = 2e 2 ， 所以，f (x) = e 2x - 2x + x2 . 4 分 （2） 因为 f (x) = e 2x - 2x + x2 ， 所以 g(x) = f ( x ) - 1 x2 +(1 - a)x + a
11、= ex - a(x - 1) ， 2 4 g(x) = e x - a ， 当 a 0 时， 总有 g (x) 0 ， 函数 f (x) 在 R 上单调递增； 当 a 0 时，由 g (x) 0 得函数 f (x) 在 (ln a, + ) 上单调递增 ， 由 g (x) 0 ，函数 f (x) 在 R 上单调递增； 当 a 0 时，f (x) 在 (ln a, + ) 上单调递增，f (x) 在 (- ,ln a) 上单调递减. 8 分 （3） 设 p(x) = e - ln x,q(x) = e x - 1 + a - ln x ， p (x) e 时，p(x) 0 ， x x 2 所以
12、 q (x) 在 1, + ) 上递增，q (x) q (1) = 0 ， 则 q(x) 在 1, + ) 上递增，q(x) q(1) = a + 2 0, 当 1 x e 时，|p(x) - |q(x)| = p(x) - q(x) = e - e x - 1 - a = m(x) ， m (x) = - e 3 ，所以 a + 1 0 ，2b + 2 0 ，c - 3 0 . 3 所以 (a + 1)(b + 1)(c - 3) = 1 (a + 1)(2b + 2)(c - 3) 1 (a + 1) +(2b + 2) +(c - 3) = 4 2 2 3 当且仅当 a + 1 = 2b + 2 = c - 3 且 a + 2b + c = 6 时等号成立. 即 a = 1,b = 0,c = 5 时等号成立. 所以 (a + 1)(b + 1)(c - 3) 的最大值为 4. 10 分
