1、平面向量的应用平面向量的应用回归课本回归课本1.向量应用的常用结论向量应用的常用结论(1)两个向量垂直的充要条件两个向量垂直的充要条件符号表示符号表示:abab=0.坐标表示坐标表示:设设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则则abx1x2+y1y2=0.(2)两个向量平行的充要条件两个向量平行的充要条件符号表示符号表示:若若ab,b0,则则a=b.坐标表示坐标表示:设设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则则ab(x1,y1)=(x2,y2),即即 或或x1y2-x2y1=0.(3)夹角公式夹角公式cos=(0180).(4)模长公式模长公式|a|=(a=(x,y).(5)数量积性质
2、数量积性质|a b|a|b|.121,2xxyy|a ba b222|axy2.向量应用的分类概述向量应用的分类概述(1)应用平面向量解决函数与不等式的问题应用平面向量解决函数与不等式的问题,是以函数和不等是以函数和不等式为背景的一种向量描述式为背景的一种向量描述,它需要掌握向量的概念及基本它需要掌握向量的概念及基本运算运算,并能根据题设条件构造合适的向量并能根据题设条件构造合适的向量,利用向量的利用向量的“数数”“形形”两重性解决问题两重性解决问题.(2)平面向量与三角函数的整合平面向量与三角函数的整合,仍然是以三角题型为背景的仍然是以三角题型为背景的一种向量描述一种向量描述,它需要根据向量
3、的运算性质将向量问题转它需要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角函数的相关知识来解答化为三角函数的相关知识来解答,三角知识是考查的主体三角知识是考查的主体.(3)平面向量在解析几何中的应用平面向量在解析几何中的应用,是以解析几何中的坐标为是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述背景的一种向量描述,它主要强调向量的坐标运算它主要强调向量的坐标运算,将向量将向量问题转化为坐标问题问题转化为坐标问题,进而利用直线和圆锥曲线的位置关进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答系的相关知识来解答,坐标的运算是考查的主体坐标的运算是考查的主体.(4)平面向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应
4、用,是以平面几何中的基本图是以平面几何中的基本图形形(三角形三角形 平行四边形平行四边形 菱形等菱形等)为背景为背景,重点考查平面向重点考查平面向量的几何运算量的几何运算(三角形法则三角形法则 平行四边形法则平行四边形法则)和几何图形和几何图形的基本性质的基本性质.(5)平面向量在物理力学等实际问题中的应用平面向量在物理力学等实际问题中的应用,是以实际问题是以实际问题为背景为背景,考查学科知识的综合及向量的方法考查学科知识的综合及向量的方法.注意注意:(1)在解决三角形形状问题时在解决三角形形状问题时,回答要全面回答要全面 准确准确,处理四处理四边形问题时边形问题时,要根据平行四边形或矩形要根
5、据平行四边形或矩形 菱形菱形 正方形及正方形及梯形的性质处理梯形的性质处理.(2)用向量处理物理问题时用向量处理物理问题时,一般情况下应画出几何图形一般情况下应画出几何图形,结合结合向量运算与物理实际进行解决向量运算与物理实际进行解决.考点陪练考点陪练01.(2010)ABCMm,m()A.2B.3C.4D.5MAMBMCABACmAM 湖北 已知和点满足若存在实数 使得成立 则01(),3,3,3:MABC,B.MAMBMCAMABACABACAM m 解析 由得点是的重心选答案答案:B3,|2.(2010),ABC,AD|1,()3.2 3.23.B,33ABCBDADAC ADABCD
6、天津 如图 在中则:AD3,(AB,3)3,0,3,ACBCBABDBAAC ADBDBA ADBD ADBA ADBA ADAC ADBD ADBDADABAC AD 解析 因为所以又所以所以又所以33()323.BD ADADAB ADADAB AD 答案答案:D3.y2cosa.,2364.2234.2234.22312().22312xxA ycosxB ycosxC ycosxD ycos 将的图象按向量平移 则平移后所得图象的解析式为2,2364122346122,34:A.xycosaycosxcosx 解析 函数的图象按向量平移后所得图象解析式为所以选答案答案:A4.已知等差数
7、列已知等差数列an的前的前n项和为项和为Sn,若若 a2 +a2009 ,且且A B C三点共线三点共线(该直线不过点该直线不过点O),则则S2010等于等于()A.1005B.1010C.2010D.2015解析解析:由题意知由题意知A B C三点共线三点共线,则则a2+a2009=1.S2010=10051=1005.故选故选A.答案答案:AOB OA OC120102010()2aa类型一类型一利用向量解决平面几何问题利用向量解决平面几何问题解题准备解题准备:一般情况下一般情况下,用向量解决平面几何问题用向量解决平面几何问题,要用不共线要用不共线的向量表示题目所涉及的所有向量的向量表示题
8、目所涉及的所有向量,再通过向量的运算法再通过向量的运算法则和性质解决问题则和性质解决问题.用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”:建立平面几何与向量的联系建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何用向量表示问题中涉及的几何元素元素,将平面几何问题转化为向量问题将平面几何问题转化为向量问题;通过运算通过运算,研究几何元素之间的关系研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题如距离、夹角等问题;把运算结果把运算结果“翻译翻译”成几何关系成几何关系.【典例典例1】如图如图,正方形正方形OABC两边两边AB BC的中点分别为的中点分别为D和和E,求求DOE的余
9、弦值的余弦值.分析分析把把DOE转化为向量夹角转化为向量夹角.1,21.211()()2211().2:4ODOAADOAAB OEOCCEOCCBOD OEOAABOCCBOA OCAB OCOA CBAB CB 解 解法一222222,0,0.,|,|,|,|OAOC ABCBOA OCAB CBABOC OACBAB OCABABOA CBOAOAOD OEABODOA 又2222222222|15|,|c|2.44|4.55|os DOE|4ADABABABOEODODoOEABABOD OEODAB 解法二解法二:如图建立直角坐标系如图建立直角坐标系,设设A(2,0),C(0,2),
10、则则D(2,1),E(1,2).22 1 1 24.cos DO|5.44.5|E|(5)OD OEODOEODoOEOD OE 故 反思感悟反思感悟利用向量解几何题利用向量解几何题,关键是将有关线段设为向量关键是将有关线段设为向量,不同的设法可出现不同的解法不同的设法可出现不同的解法;或者建立平面直角坐标系或者建立平面直角坐标系,用坐标法解之用坐标法解之.利用向量解平面几何有时特别方便利用向量解平面几何有时特别方便,但要注但要注意一点意一点,不宜搞得过难不宜搞得过难,因为高考在这方面要求不高因为高考在这方面要求不高.类型二类型二向量在解析几何的应用向量在解析几何的应用解题准备解题准备:向量与
11、解析几何结合的综合题是高考命题的热点向量与解析几何结合的综合题是高考命题的热点,解题的关键是正确把握向量与坐标之间的转化和条件的运解题的关键是正确把握向量与坐标之间的转化和条件的运用用.常见技巧有两个常见技巧有两个:一是以向量的运算为切入口一是以向量的运算为切入口;二是结合二是结合向量的几何意义及曲线的有关定义作转化向量的几何意义及曲线的有关定义作转化.【典例典例2】在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中中,点点P到两点到两点 的距离之和等于的距离之和等于4,设点设点P的轨迹为的轨迹为C,直线直线y=kx+1与与C交于交于A,B两点两点.(1)写出写出C的方程的方程;(2)若若 求求k的值的
12、值;(3)若点若点A在第一象限在第一象限,证明证明:当当k0时时,恒有恒有(0,3),(0,3),OAOB|.OAOB 分析分析(1)由点由点P满足的条件列出等式满足的条件列出等式,化简可得化简可得C的方程的方程;(2)由由 这是解题的突破口这是解题的突破口;(3)证明的关键是写出证明的关键是写出 再结合题的条件即可求证再结合题的条件即可求证.0,OAOBOA OB 22|,OAOB 解解(1)设设P(x,y),由椭圆定义可知由椭圆定义可知,点点P的轨迹的轨迹C是以是以 为焦点为焦点,长半轴为长半轴为2的椭圆的椭圆.它的短半轴它的短半轴故曲线故曲线C的方程为的方程为x2+(0,3),(0,3)
13、222(3)1,b 21.4y 112222121212122121212121222222222222A x,y,B x,y,y,k4 x2kx30,xxxx xy y0.y yk x xk xx1,x x1,y y441,2,43.4,33210,444110,k2kyxykxkkxkOAOBkkkkk 设其坐标满足消去 并整理 得故若则而于是化简得所以.22222112222221212121211222122212223:|(xy)(xy)(xx)4(1x1x)3 xxxxA,x0.x xx0,|6().43,4|0.|xx0.k|,.0|,OAOBk xxkkOAOBOAOB 证明在
14、第一象限 故由知从而又故即在题设条件下 恒有类型三类型三向量在物理中的应用向量在物理中的应用解题准备解题准备:用向量知识研究物理问题的基本思想和方法是用向量知识研究物理问题的基本思想和方法是:(1)认真分析物理现象认真分析物理现象,深刻把握物理量之间的相互关系深刻把握物理量之间的相互关系;(2)通通过抽象过抽象 概括概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题把物理现象转化为与之相关的向量问题;(3)利用向量知识解决这个向量问题利用向量知识解决这个向量问题,并获得这个向量的解并获得这个向量的解;(4)利用这个结果利用这个结果,对原物理现象作出合理解释对原物理现象作出合理解释.即用向量知识即用向量知
15、识圆满解决物理问题圆满解决物理问题.【典例典例3】一条河的两岸平行一条河的两岸平行,河宽为河宽为d km,一艘船从一艘船从A处出发处出发航行到对岸航行到对岸,已知船航行的速度为已知船航行的速度为|v1|km/h,水流速度为水流速度为|v2|km/h.要使船抵达要使船抵达B的上游的上游C处且处且BC=d km,若取若取|v1|=10,|v2|=4,d=2,则用时多少则用时多少?解解作出位移平行四边形作出位移平行四边形AGCF,如图所示如图所示,则则CF=AG=|tv2|,在在RtABF中中,d2+(d+t|v2|)2=t2|v1|2,即即(|v1|2-|v2|2)t2-2d|v2|t-2d2=0
16、,把把d=2,|v1|=10,|v2|=4代入上式代入上式,得得84t2-16t-8=0,解得解得t0.418(h).类型四类型四向量在三角形中的应用向量在三角形中的应用解题准备解题准备:平面向量与解三角形的综合题是高考中的一个热平面向量与解三角形的综合题是高考中的一个热点点.其解题的基本思路是其解题的基本思路是:(1)在这些问题中在这些问题中,平面向量实际上主要呈现为叙述问题的一平面向量实际上主要呈现为叙述问题的一种语言或者工具种语言或者工具,其考查要求并不高其考查要求并不高,解题时要综合利用平解题时要综合利用平面向量的几何意义等将题中的条件翻译成简单的数学问题面向量的几何意义等将题中的条件
17、翻译成简单的数学问题.(2)在解题时在解题时,既要考虑三角形中的边角关系性质的应用既要考虑三角形中的边角关系性质的应用;又要又要考虑向量的工具性作用考虑向量的工具性作用,如利用向量的模与数量积转化边如利用向量的模与数量积转化边长与夹角问题长与夹角问题;还要注意三角形中边角的向量关系式的表还要注意三角形中边角的向量关系式的表示形式示形式.224ABCSS3,.1;2fsin2sincos3c6,o.3sAB BCABBC 【典例】已知的面积 满足 且设与的夹角为求 的取值范围求函数的最小值 1cos6,|Ssin3tan,3tan36,|6|.1,tan1,(0|,),|2333.64AB BC
18、ABBCABBCcosABBC 解又 即又 2min 2 f12cossin2cos2sin2222222,46 43 273,41243f.442,3sin 由得当时 反思感悟反思感悟三角形的三边可与三个向量对应三角形的三边可与三个向量对应,这样就可以利用这样就可以利用向量的知识来解三角形了向量的知识来解三角形了,解决此类问题要注意内角与向解决此类问题要注意内角与向量的夹角之间的联系与区别量的夹角之间的联系与区别,还要注意向量的数量积与三还要注意向量的数量积与三角形面积公式之间关系的应用角形面积公式之间关系的应用.类型五类型五向量在函数不等式中的应用向量在函数不等式中的应用解题准备解题准备:
19、借助向量的坐标表示借助向量的坐标表示,将已知条件实数化并转化为将已知条件实数化并转化为函数问题函数问题,利用函数的性质解之利用函数的性质解之.向量主要是通过模与不等向量主要是通过模与不等式联系起来式联系起来,常用的工具有均值不等式及常用的工具有均值不等式及|ab|a|b|.【典例典例5】设设0|a|2且函数且函数f(x)=cos2x-|a|sinx-|b|的最大值的最大值为为0,最小值为最小值为-4,且且a与与b的夹角为的夹角为45,求求|a+b|.分析分析由于已知由于已知=45,故可求出故可求出|a|、|b|后再求后再求|a+b|.22222f x1 sin xa sinxb0a2,sinx
20、,ab10;sinx1,ab4.|1.24|1241|2,|2|104|ab84a|2.|42,22.b2aasinxbaaabbab 解当时当时由即 反思感悟反思感悟由于已知由于已知f(x)的最值的最值,故可结合二次函数的最值确故可结合二次函数的最值确定定|a|与与|b|的大小的大小,再结合再结合=45,可求出可求出|a+b|.本题充本题充分体现了函数与不等式思想在向量中的应用分体现了函数与不等式思想在向量中的应用.错源一错源一错误地认为错误地认为|a b|=|a|b|【典例典例1】已知向量已知向量a,b,试比较试比较|a b|与与|a|b|的大小的大小.错解错解|a b|=|a|b|.剖析
21、剖析设向量设向量a与与b的夹角为的夹角为.则则a b=|a|b|cos.(1)当当ab时时,=90,a b=0,所以所以|a b|=0,但但|a|b|0,故有故有|a b|a|b|;(2)当当a与与b同向或反向时同向或反向时,cos0=1,cos180=-1,有有|a b|=|a|b|;(3)当夹角当夹角为锐角或钝角时为锐角或钝角时,|a b|=|a|b|cos|,|cos|1,故有故有|a b|a|b|.正解正解综合上述可知综合上述可知,|a b|a|b|.错源二错源二“共线共线”运用出错运用出错【典例典例2】如图如图,半圆的直径半圆的直径AB=2,O为圆心为圆心,C是半圆上不同是半圆上不同
22、于于A,B的任意一点的任意一点,若若P为半径为半径C上的动点上的动点,则则 的的最小值是最小值是_.()PAPB PC 22,1|1,2|11,22OAB,x 0 x1,22x 1x2x0 x1,0.PAPBPOPOPCABPCPO PCx 错解点 是的中点设 则当或时 上式有最小值 剖析剖析本题的错误在于忽视向量的方向本题的错误在于忽视向量的方向,导致了计算上的失误导致了计算上的失误.向量向量 虽然共线虽然共线,但其方向相反但其方向相反,所以向量运算时所以向量运算时,一定要看清方向一定要看清方向.,PO PC 22,|,|()211OAB,1x 0 x12(1)2.,x2211.22,PAP
23、BPOPCxPOPAPB PCPO PCxxx 正解点 是的中点设则 当时 上式有最小值12答案技法一技法一整体思想整体思想1,Rt ABC,BCa,2aPQA,?.PQBCBP CQ 【典例】如图所示 在中已知若长为的线段以点 为中点问与的夹角 取何值时的值最大 并求出这个最大值 解题切入点解题切入点解答本题的关键是要结合图形解答本题的关键是要结合图形,利用向量的三角利用向量的三角形法则找出向量之间的关系形法则找出向量之间的关系;或建立适当的坐标系或建立适当的坐标系,利用向利用向量的坐标形式来解答量的坐标形式来解答.解解以直角顶点以直角顶点A为坐标原点为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建两
24、直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系立平面直角坐标系,设设B(b,0),C(0,c),所以所以b2+c2=a2,设设P点坐标为点坐标为(x,y),则则Q点坐标为点坐标为(-x,-y),且且x2+y2=a2,22222(,),(,),()()()(,),(xybxcy.2a cos2bx2cy2,a cosa,cos2),1,0,0BPxb y CQxycBP CQxbxyycBCb c PQxyBC PQBP CQBP CQ 则又而当时有最大值 即当(),0.PQBCBP CQ 即与的方向相同 时最大 最大值为技法二技法二转化与化归转化与化归【典例典例2】如图所示如图所示,若点若点D是是A
25、BC内一点内一点,并且满足并且满足AB2+CD2=AC2+BD2,求证求证:ADBC.解题切入点解题切入点借助向量的减法借助向量的减法,分别表示出向量分别表示出向量,然后代入已知然后代入已知条件证明条件证明.22222222222222ABCDACBD,cmbbmc,cm2m bbbm2,m cc,2m cb0,.()0,0,ABc ACb ADmBDADABmcCDADACmbAD ABACAD CB 证明 设则即即即ADBC.小结小结1.向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用2.向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用3.向量在物理中的应用向量在物理中的应用4.向量在三角中的应用向量在三角中的应用5.向量在函数不等式中的应用向量在函数不等式中的应用
