1、第二章 有限元法数学基础有限元法理论及数值分析有限元法理论及数值分析2 本章内容微分方程的等效积分形式1等效积分的“弱”形式2加权余量法3泛函与变分原理43 2.1 等效积分偏微分方程偏微分方程的的数值解法数值解法有限差分法有限差分法:求解域几何形状规则求解域几何形状规则以与原偏微以与原偏微分方程及其分方程及其定解条件定解条件等等效积分效积分提法提法为基础为基础变分方法变分方法：若原方程有某些特：若原方程有某些特定性质，归结为泛函的驻值问定性质，归结为泛函的驻值问题。题。加权余量法加权余量法：适用于所有的偏：适用于所有的偏微分方程，不管是否存在进行微分方程，不管是否存在进行变分的泛函变分的泛函
2、有限单元法有限单元法注意注意：变分法和：变分法和加权余量法加权余量法也只能求解几何形状规则的问题，因为它也只能求解几何形状规则的问题，因为它们都是在求解域上假设近似函数。但已构成了有限元法的理论基础。们都是在求解域上假设近似函数。但已构成了有限元法的理论基础。4 2.1 等效积分问题的提出问题的提出1 工程中的许多问题，通常以未知工程中的许多问题，通常以未知场函数场函数应满足的应满足的微分方程微分方程和和边界条件边界条件的形式提出。的形式提出。1122()(,)()(,)()(,)0in,A uf x tA uf x tA ufx tu为未知函数1122()(,)()(,)()(,)0on,B
3、 ugx tB ug x tB uBx t是的边界且，且，u应满足边界条件应满足边界条件:5 2.1 等效积分问题的提出问题的提出1()0()0 xAufxBug 由于以上微分方程在由于以上微分方程在 和和 中每一点都成立，因此有：中每一点都成立，因此有：上述方程的简化形式：上述方程的简化形式：111222()()()0TvA uf dvA ufvA ufd111222()()()0TvB ug dv B ugv B ugd6 2.1 等效积分问题的提出问题的提出1则表明积分形式与微分方程的定解问题等价这里这里为任意函数向量，为任意函数向量，12vvv12vv=v并且并且v和和 为与微分方程个
4、数相等的函数。对任意为与微分方程个数相等的函数。对任意 上述积分式均成立。上述积分式均成立。v7 2.1 等效积分问题的提出问题的提出1111222()()()0TvA uf dvA ufvA ufd111222()()()0TvB ug dv B ugv B ugd()()0TvA ufdv B ug d 8 2.1 等效积分微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式2()0()0 xAufxBug 微分方程的等效积分形式()()0TvA ufdv B ug d 9 2.2 等效积分的弱形式 将等效积分形式将等效积分形式分步积分分步积分，得到的形式就称为，得到的形式就称为等等效积分弱形式效
5、积分弱形式。因为分步积分后，。因为分步积分后，算子导数阶次降低，对待求变量的连续性降低，就起到了弱化作用。，就起到了弱化作用。()()0TvA ufdv B ug d ()()()()0TTCv D u dEv F u d 将微分方程转化为弱形式，弱并不是弱化对方程将微分方程转化为弱形式，弱并不是弱化对方程解的结果，而是解的结果，而是弱化对解方程得要求弱化对解方程得要求，是，是弱化待求变量的连续性，是，是以提高权函数的连续性为代价以提高权函数的连续性为代价的。的。10 2.2 等效积分的弱形式例题：梁弯曲问题440(0,)d wEJqxldx4400(0,)ld wv EJq dxxldx22
6、32223200000lllld vd wd wdvd wEJvqdxvEJEJdxdxdxdxdx等效积分形式等效积分弱形式11 2.3 加权残量(余量)法基本概念基本概念1 通过引入通过引入权函数权函数/试函数试函数，将近，将近似解带入微分方程会有似解带入微分方程会有余值余值，在余，在余值形式中引入值形式中引入权函数权函数，把这种余值，把这种余值的的加权积分加权积分，称为，称为加权余值法加权余值法。权，然后知轻重。-孟子孟子 采用使采用使余量的加权积分为零余量的加权积分为零求得微分方程近求得微分方程近似解的方法，称为似解的方法，称为加权余量加权余量(余值、残量余值、残量)法法。12 2.3
7、 加权残量(余量)法基本概念基本概念1假定一个试函数作为方程的近似解假定一个试函数作为方程的近似解niiiaNxuxu1)()(待定系数试函数(形函数)3 3）完备性。完备性。n n 时时,uu1 1）一定的连续条件。）一定的连续条件。2 2）线性独立。）线性独立。试函数要满足：试函数要满足：一般选用简单形式的一般选用简单形式的函数，一旦选定就是函数，一旦选定就是已知已知的了的了真正的求解系数真正的求解系数13 2.3 加权残量(余量)法基本概念基本概念1假定某一科学问题的控制微分方程及边界条件为：假定某一科学问题的控制微分方程及边界条件为：xguBxfuA0)(0)()()RA ufRB u
8、g内部残量边界残量14 2.3 加权残量(余量)法基本概念基本概念1权函数)1(njWvWvjj)1(0)()(njdguBWdfuAWTjTj)1(0njdRWdRWTjTj用以下用以下n个线性无关的函数来代替任意函数个线性无关的函数来代替任意函数v和和v等效积分形式强迫残值在某种平均意义上为零。15 2.3 加权残量(余量)法基本概念基本概念1 得到的是得到的是近似解近似解。等效积分 等效积分形式的等效积分形式的近似方法近似方法，得到的，得到的是是近似解近似解。加权余量16 2.3 加权残量(余量)法基本概念基本概念1 出现在出现在近似解近似解中。中。满足一定的域内条满足一定的域内条件或边
9、界条件。件或边界条件。试函数 出现在出现在等效积分等效积分表达式中表达式中，不同的，不同的权函数涉及不同的权函数涉及不同的计算格式。计算格式。权函数17 2.3 加权残量(余量)法配点法配点法2()0(1)TjWA uf djn 取：取：)1()(njxxWWjjj)1(0)()(1njdfaNAxxniiij()0,()1,jjjjxxxxxxxx18 2.3 加权残量(余量)法配点法配点法2)1(0)()(1njdfaNAxxniiij1()()0(1)nijijiAN x af xjn()0,()1,jjjjxxxxxxxx19 2.3 加权残量(余量)法子域法子域法3将求解域分为将求解
10、域分为n n个区域个区域 权函数如下确定：权函数如下确定：)1(njDj外）在内）在jjjDDW(0(1)1(0)(1njdfaNAjDniii则有：则有：这种方法相当于强迫残值在n个子域内的积分等于零。20 2.3 加权残量(余量)法最小二乘法最小二乘法4取权函数取权函数：jjaRW)(1faNAainiij)(jNA)1(0)()(1njdfaNANAniiij则有：则有：这种方法相当于使域内每一点的残值的平方和最小，或平方的积分最小。21 2.3 加权残量(余量)法Galerkin法法5取权函数取权函数：jjNW)1(0)(1njdfaNANniiij则有：则有：Galerkin法精度最
11、高！22 2.3 加权残量(余量)法例题622001d uuxxdx边界条件：边界条件：x=0，u=0；x=1，u=0取近似解：取近似解：u=x(1-x)(a1+a2x+)取一项近似解取一项近似解u1=a1x(1-x)余量余量R1(x)=x+a1(-2+x-x2)23 2.3 加权残量(余量)法例题622001d uuxxdx取取x=1/2=1/2作为配点作为配点配点法1111172022472(1)7Raauxx余量余量R1(x)=x+a1(-2+x-x2)24 2.3 加权残量(余量)法例题622001d uuxxdx子域取全域子域取全域 即即w=1=1子域法1121110011111()
12、(2)02633(1)1111R x dxxaxxdxaauxx 余量余量R1(x)=x+a1(-2+x-x2)25 2.3 加权残量(余量)法例题622001d uuxxdx最小二乘法21112211001112()(2)(2)00.27230.2723(1)RxxaRR xdxxaxxxxdxaauxx 余量余量R1(x)=x+a1(-2+x-x2)26 2.3 加权残量(余量)法例题622001d uuxxdx迦辽金法11 11111121110011(1)(1)()(1)(2)055(1)1818uN aa xxWNxxR x N dxxxxaxxdxauxx 余量余量R1(x)=x+
13、a1(-2+x-x2)27线性、自伴随微分算子线性、自伴随微分算子1 如果微分方程具有如果微分方程具有线性、自伴随线性、自伴随的性质，则：的性质，则：不仅可以建立它的不仅可以建立它的等效积分形式等效积分形式，并可利用，并可利用加权余加权余量法量法求其近似解；还可建立与之相等效的求其近似解；还可建立与之相等效的变分原理变分原理，基于它的另一种近似求解方法基于它的另一种近似求解方法Ritz法法。2.4 泛函与变分微分方程微分方程()0L ub in 微分算子1212()()()LuuL uL u线性微分算子28线性、自伴随微分算子线性、自伴随微分算子1 2.4 泛函与变分对上式分部积分，直至对上式
14、分部积分，直至u 的导数消失，得：的导数消失，得：*()().(,)L u vduL u vdb t u v 若若()L u vd定义为函数的内积，定义为函数的内积，称称L*为为L的的伴随算子伴随算子。若。若L*=L，则称，则称算子自伴随算子自伴随。29 2.4 泛函与变分泛函泛函 最速落径问题最速落径问题-质量为质量为m m的小环从的小环从A A处自由滑下，处自由滑下，试选择一条曲线使所需时间最短（不计摩擦）试选择一条曲线使所需时间最短（不计摩擦）2ABXY设路径为设路径为 y=y(x)22dydxds21ydsvdxdtdt30泛函泛函2ABXYghv2212ydtdxgh201()2ay
15、T y xdxgh 称称T为为y(x)的泛函，的泛函，y(x)为自变函数。即以为自变函数。即以函数函数作自变量以作自变量以积分积分形式定义的函数为形式定义的函数为泛函泛函。函数是变量与变量的关系，函数是变量与变量的关系，泛函泛函是是变量与函数的的关系。泛函是一种广义的函数。关系。泛函是一种广义的函数。2.4 泛函与变分31变分变分3 称称 为为y(x)的的变变分分，它是一个无穷小的任意函数。，它是一个无穷小的任意函数。)()()(*xyxyxy()y xXAYy=y（x）x+dxdyx)(*xyy)(xy微分与变分运算次序可以交换微分与变分运算次序可以交换)()(dxdyydxd积分与变分运算
16、次序也可以交换积分与变分运算次序也可以交换2121)(,()(,xxxxdxxyxfdxxyxf 2.4 泛函与变分32变分原理变分原理4 变分法是处理变分法是处理泛函泛函的数学领域，和处理的数学领域，和处理函数函数的普的普通通微积分微积分相对。泛函可以通过未知函数的积分和它相对。泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它：它们使得泛函取得极大或极小值。们使得泛函取得极大或极小值。2.4 泛函与变分 把一个数学物理问题用把一个数学物理问题用变分法化为求泛函极值（或驻值）的问题，后者就称为该问题的（或驻值）的问题，后者就称为该问题的变分原理。如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有问题如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有问题的的某些约束条件某些约束条件，就称为该问题的，就称为该问题的广义变分原理广义变分原理；如果解除了如果解除了所有的约束条件所有的约束条件，就称为无条件广义变，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。分原理，或称为完全的广义变分原理。
