1、p pp pq qq qp pp pq qq qeMeMeMeMd da ab bc cddaabbcc一、薄壁圆筒的扭转应力一、薄壁圆筒的扭转应力变形观察：变形观察：圆周线不变（大小、圆周线不变（大小、间距都不变）间距都不变）纵向线倾斜，纵向线倾斜，倾斜角相同倾斜角相同3-3 3-3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转,纯剪切纯剪切表面矩形变成表面矩形变成平行四边形平行四边形p pp pq qq qeMeMddaabbcc横截面上扭转应力分布横截面上扭转应力分布规律的分析：规律的分析：1 1、横截面上仅有切应力、横截面上仅有切应力没有正应力，切应力方没有正应力，切应力方向与圆周线相切。向与圆周线相
2、切。因为各圆周线大小、形状、间距都不变因为各圆周线大小、形状、间距都不变2 2、沿同一圆周线上的切应力、沿同一圆周线上的切应力 大小相等大小相等因为各纵向线倾斜角相同因为各纵向线倾斜角相同3 3、沿壁厚方向切应力、沿壁厚方向切应力 大小相等大小相等因为薄壁圆筒因为薄壁圆筒eMTT TeMT薄壁圆筒的扭转时薄壁圆筒的扭转时横截面上扭转应横截面上扭转应力分布规律为：力分布规律为：在整个横截面均匀分布，方向在整个横截面均匀分布，方向沿圆周线的切线，与沿圆周线的切线，与T T的转向相同。的转向相同。扭转应力的大小：扭转应力的大小：T TArdAT)(r rrrdT 20dAd 0 xM0222ATrT
3、得到：得到：圆筒壁厚圆筒壁厚0A圆筒平均直径所围圆周的面积圆筒平均直径所围圆周的面积二、切应力互等定理二、切应力互等定理p pp pq qq qeMeMddaabbcc考虑圆筒中的微元体考虑圆筒中的微元体abcdabcdp pp pq qq qeMeMd da ab bc cdxa ab bc cd ddy 0zMdydxdxdy)()(得：得：切应力互等定理切应力互等定理a ab bc cd d切应力互等定理切应力互等定理 在相互垂直的两个截面上，在相互垂直的两个截面上，切应力切应力必然成对出现必然成对出现，且大小相等，方向为共，且大小相等，方向为共同指向或共同背离两个截面的交线。同指向或共
4、同背离两个截面的交线。a ab bc cd daabbccddp pp pq qq qeMeMddaabbccp pp pq qq qeMeMd da ab bc ca ab bc cd d二、剪切胡克定律二、剪切胡克定律切应变切应变 :直角的改变量直角的改变量p pp pq qq qddaabbccGaabbccdd 圆筒两端面的相对扭转角圆筒两端面的相对扭转角lr对于线弹性材料对于线弹性材料,或者对于或者对于 时时,有有p剪切胡克定律剪切胡克定律G G 材料的剪切弹性模量材料的剪切弹性模量钢材的钢材的 G=80GPaG=80GPaGE,到目前为止到目前为止,已经学到三个材料的弹性常量已经学
5、到三个材料的弹性常量:E拉压弹性模量拉压弹性模量泊松比泊松比G剪切弹性模量剪切弹性模量三个弹性常量之间有如下关系三个弹性常量之间有如下关系:12EG对于钢材对于钢材:GPaG8025.0122003-4 3-4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力一、变形几何条件一、变形几何条件1 1、变形观察：、变形观察：圆周线不变（大小、圆周线不变（大小、间距都不变）间距都不变）纵向线倾斜，纵向线倾斜，倾斜角相同倾斜角相同表面矩形变成表面矩形变成平行四边形平行四边形p pp pq qq qeMeMd da ab bc cp pp pq qq qddaabbcceMeM薄壁圆筒由于壁很薄，表薄壁圆筒由于壁很薄，
6、表面变形即为内部变形。面变形即为内部变形。圆轴无此结论圆轴无此结论必须对内部变形作进一步分析必须对内部变形作进一步分析2 2、平面假设、平面假设 变形前的横截面，变形后仍为平面，且变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大小不变，原先的半径仍为半径。形状、大小不变，原先的半径仍为半径。a aa ab bb bd dc cR Rp pp pq qq qddaabbcceMeM 圆轴两端面的圆轴两端面的相对扭转角相对扭转角圆轴表面的圆轴表面的切应变切应变 为：为：p pp pq qq qqqqq平面相对于平面相对于pppp的的相对扭转角相对扭转角为：为：ddxdRdxRdadaa)(adxdR现研
7、究圆轴内部的现研究圆轴内部的切应变切应变e eeea aa ab bb bd dc cR R 圆轴内部的圆轴内部的切应变切应变e eee)(bdxd圆轴内部任意一点的圆轴内部任意一点的切应变切应变 与该点到圆心的距离与该点到圆心的距离成正比成正比eM二、物理关系二、物理关系G由剪切胡克定律由剪切胡克定律圆轴内部圆轴内部到圆心的距离为到圆心的距离为的的任意一点的任意一点的切应力为切应力为:)(bdxd)(cdxdG圆轴内部任意一点的圆轴内部任意一点的切应力切应力 与该点到圆心的距离与该点到圆心的距离成正比成正比00RdxdGRmaxO OdA三、静力关系三、静力关系eMAdAT)(代入代入:)(
8、cdxdGAdAdxdGT2得得:令令:APdAI2极惯性矩极惯性矩得得:PGITdxdT)(cdxdGPGITdxd由上述两个方程最终解得由上述两个方程最终解得PIT圆轴扭转时横截面上的圆轴扭转时横截面上的切应力计算公式为切应力计算公式为:O OdAeM四、圆轴扭转切应力计算公式四、圆轴扭转切应力计算公式APdAI2圆轴的极惯性矩圆轴的极惯性矩PIO OdAAPddI3代入代入:dddA2003Rdd32244DRO OD D实心圆轴的极惯性矩实心圆轴的极惯性矩PIO OD Dd d3244dDIP空心圆轴的极惯性矩空心圆轴的极惯性矩PI式中式中:Dd324DIP321DI44p圆轴扭转最大
9、切应力圆轴扭转最大切应力PRITR|max令令:RIWPp抗扭截面系数抗扭截面系数圆轴扭转最大切应力为圆轴扭转最大切应力为:pWTmax实心圆轴的抗扭截面系数为实心圆轴的抗扭截面系数为:空心圆轴的抗扭截面系数为空心圆轴的抗扭截面系数为:163DWp16143DWp五、圆轴扭转时的强度条件五、圆轴扭转时的强度条件 pWTmaxmax 圆轴扭转时的最大切应力不能超过圆轴扭转时的最大切应力不能超过材料的许用切应力材料的许用切应力mAmBmCd 1ABCd 2例题例题：阶梯轴尺寸如图：阶梯轴尺寸如图mkNmmkNmmkNmCBA14,36,22mmdmmd100,12021要求：要求：计算轴的强度计算
10、轴的强度 MPa80T2214)mkN(解：作轴的扭矩图解：作轴的扭矩图对对AB段和段和BC段的段的强度要分别计算强度要分别计算mAmBmCd 1ABCd 2mkNmA22mkNmB36mkNmC14mAmBmCd 1ABCd 2 MPaWTABPABAB8.64103.3391022)(63max1610120169332dWABpAB段：段：mkNTAB2236103.339mT2214)mkN(mAmBmCd 1ABCd 2 MPaWTBCpBCBC3.71103.1961014)(63max1610100169332dWBCpBC段：段：mkNTBC1436103.196mT2214)
11、mkN(轴的强度符合要求轴的强度符合要求：P P7.5kW,7.5kW,n n=100r/min,=100r/min,许用切应力许用切应力4040MPaMPa,空心圆轴的内外径之比空心圆轴的内外径之比 =0.8=0.8。:实心轴的直径实心轴的直径d d1 1 和空心轴的外径和空心轴的外径D D2 2。例例 题题解：解：mNnPMTe2.7161005.795499549MPadTWTp4016311maxmmmd45045.010402.71616361P P7.5kW,7.5kW,n n=100r/min,=100r/min,4040MPaMPa,=0.5=0.5。d 2=0.8D2=43
12、mmMPaDTWTp401614322maxmm7.53m0537.010408.012.71616D3642空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。95.18.017.53451D4d4AA2222222121理由？理由？扭转时切应力沿半径线性分布，圆心部分的扭转时切应力沿半径线性分布，圆心部分的材料未能充分发挥作用。材料未能充分发挥作用。空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因：空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因：maxmaxO OD D1 1TO OD D2 2d dT例例 题题已知：已知：P1=14kW,n1=n2=120r/min,z1=
13、36,z3=12;d1=70mm,d 2=50mm,d3=35mmP2=P3=P1/2=7 kW求求:各各轴轴横截面上的最大切应力横截面上的最大切应力。mN1114120149549nP9549T111mN55712079549nP9549T222mN7.15836079549nP9549T333P1=14kW，P2=P3=7 kWn1=n2=120r/minn3=n1 z3z1=120 3612=360r/minmNT 11141mNT2 5 55 57 7mNT3 1 15 58 8.7 7MPaWTpE54.161034.671114)(611maxMPaWTpC85.1810418.87.158)(633maxMPaWTpH69.221054.24557)(622max36933111034.6716107016mdWp36933221054.2416105016mdWp369333310418.816103516mdWp 作作 业业3-13-23-73-8
