1、第三节 频率与概率研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率能性大小，也就是事件的概率.事件的概率事件的概率概率是随机事件概率是随机事件发生可能性大小发生可能性大小的度量的度量 事件发生的可能性事件发生的可能性越大，概率就越大，概率就越大！越大！事件发生的可能性事件发生的可能性最大是百分之百，此时最大是百分之百，此时概率为概率为1.0P(A)1我们用我们用P(A)表示表示事件事件A发生发生的概率，则的概率，则 事件发生的可能性事件发生的可能性最小是零，此时最小是零，此
2、时概率为概率为0.了解事件发生的可能性即概率的了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有什么意义呢？大小，对人们的生活有什么意义呢？我先给大家举几个例子，也希望你我先给大家举几个例子，也希望你们再补充几个例子们再补充几个例子.例如，了解发生意外人身事故的例如，了解发生意外人身事故的可能性大小可能性大小,确定保险金额确定保险金额.了解来商场购物的顾客人数的各种了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员可能性大小，合理配置服务人员.了解每年最大洪水超警戒线可能了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度性大小，合理确定堤坝高度.但是，如何衡量可能性的大小，如何定义可能
3、性（概率）呢？下面我们首先从频率入手研究概率的定义。).(,.,AfAnnAnAnnnAA成成并记并记发生的频率发生的频率称为事件称为事件比值比值生的频数生的频数发发称为事件称为事件发生的次数发生的次数事件事件次试验中次试验中在这在这次试验次试验进行了进行了在相同的条件下在相同的条件下1.定义定义 一、频率的定义与性质一、频率的定义与性质 2.性质性质设设 A 是随机试验是随机试验 E 的任一事件的任一事件,则则;1)(0)1(Afn;0)(,1)()2(fSf).()()()(,)3(212121knnnkkAfAfAfAAAfAAA 则则是两两互不相容的事件是两两互不相容的事件若若考虑考虑
4、“抛硬币抛硬币”这个试验这个试验,将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷5次、次、50次次、500次次,各做各做10遍遍,得到数据如下得到数据如下:例例1 试验试验序号序号5 nHnf1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4Hnf50 n22252125241827Hn500 n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54f0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502随随n的增大的增大,频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性处波动较小处波动较小在在21从上述数据可得从上述数据
5、可得:(1)频率有随机波动性频率有随机波动性,所得的所得的f 即对于同样的即对于同样的n,不一定相同不一定相同;,较小时较小时抛硬币次数抛硬币次数n(2)之间之间与与在在频率频率10)(Hfn随机波动随机波动,其幅度较大其幅度较大,)(Hfn频率频率呈现出稳定性呈现出稳定性.n即当即当总是在总是在逐渐增大时逐渐增大时)(Hfn,5.0 附近摆动附近摆动而逐渐稳定于而逐渐稳定于0.5.,增大增大但随着但随着n验证频率稳定性的著名实验 高尔顿高尔顿(Galton)(Galton)板试验板试验1-3高尔顿高尔顿板板.wmv验证频率稳定性的著名实验验证频率稳定性的著名实验 高尔顿(Galton)板试验
6、 试验模型如下所示试验模型如下所示:自上端放入一小球自上端放入一小球,任其自由任其自由下落下落,在下落过程中当小球碰到钉在下落过程中当小球碰到钉子时子时,从左边落下与从右边落下的从左边落下与从右边落下的机会相等机会相等.碰到下一排钉子时又是碰到下一排钉子时又是如此如此,最后落入底板中的某一格子最后落入底板中的某一格子.因此因此,任意放入一球任意放入一球,则此球落入则此球落入哪一个格子哪一个格子,预先难以确定预先难以确定.但是如果放入大量小球但是如果放入大量小球,则其最后所呈现的曲则其最后所呈现的曲线线,几乎总是一样的几乎总是一样的.单击图形播放单击图形播放/暂停暂停ESCESC键退出键退出请看
7、动画演示请看动画演示 大量试验证实大量试验证实,逐渐增逐渐增当重复试验的次数当重复试验的次数n大时大时,)(呈现出稳定性呈现出稳定性频率频率Afn逐渐稳定于某个常逐渐稳定于某个常数数.这种这种“频率稳定性频率稳定性”即通常所说的统计规律即通常所说的统计规律性性.让试验重复大量次数让试验重复大量次数,)(Afn计算频率计算频率以它来表征以它来表征 .的的发生可能性大小是合适发生可能性大小是合适事件事件A然而在实际中然而在实际中,不可能对每一事件都做大量的不可能对每一事件都做大量的 试验试验,而且为了理论研究需要而且为了理论研究需要,我们从频率的稳定我们从频率的稳定 性和频率的性质得到启发性和频率
8、的性质得到启发,给出如下表征事件发生给出如下表征事件发生 大小的概率的定义大小的概率的定义.:)(,)(,.,满足下列条件满足下列条件如果集合函数如果集合函数的概率的概率件件称为事称为事记为记为赋予一个实数赋予一个实数的每一事件的每一事件对于对于是它的样本空间是它的样本空间是随机试验是随机试验设设 PAAPAESE;0)(,:(1)APA 有有对于每一个事件对于每一个事件非负性非负性;1)(,:(2)SPS 有有对于必然事件对于必然事件规范性规范性则有则有即对于即对于事件事件是两两互不相容的是两两互不相容的设设,2,1,:(3)21 jiAAjiAAji可列可加性可列可加性 )()()(212
9、1APAPAAP概率的可列可加性概率的可列可加性1.概率的定义概率的定义二、概率的定义与性质二、概率的定义与性质.0)()1(P2.性质性质概率的有限可加性概率的有限可加性则有则有是两两互不相容的事件是两两互不相容的事件若若,)2(21nAAA).()()()(2121nnAPAPAPAAAP ).()()(),()(,)3(APBPABPBPAPBABA 则则且且为两个事件为两个事件设设).(1)(,)5(APA PAA 则则的对立事件的对立事件是是设设.1)(,)4(APA对于任一事件对于任一事件).()()()(,)()6(ABPBPAPBAPBA 有有对于任意两事件对于任意两事件加法公
10、式加法公式解解),()()1(BPABP 由图示得由图示得.21)()(BPABP故故)()()()2(APBPABP 由图示得由图示得.613121 .81)()3(;)2(;)1(.)(,2131,ABPBABAABPBA互斥互斥与与的值的值三种情况下三种情况下求在下列求在下列和和的概率分别为的概率分别为设事件设事件BASSAB1例例,)3(BAABA 由图示得由图示得),()()()(ABPBPAPBAP 又又),()()(ABPAPBAAP )()()(ABPBPABP 因而因而.838121 ,ABA且且SABAB二维Hilbert曲线 德国数学家德国数学家David Hilbert
11、发现了这样一种可发现了这样一种可以填满整个单位正方形的分形曲线，他称以填满整个单位正方形的分形曲线，他称它为它为Hilbert曲线。我们来看一看这条曲线曲线。我们来看一看这条曲线是怎么构造出来的。首先，我们把一个正是怎么构造出来的。首先，我们把一个正方形分割为方形分割为4个小正方形，然后从左下角的个小正方形，然后从左下角的那个小正方形开始，画一条线经过所有小那个小正方形开始，画一条线经过所有小正方形，最后到达右下角正方形，最后到达右下角。现在，我们把现在，我们把这个正方形分成这个正方形分成16个小正方形，目标个小正方形，目标同样是从左下角出发遍历所有的格子同样是从左下角出发遍历所有的格子最后到
12、达右下角。最后到达右下角。而在这之前我们已经得到了一个而在这之前我们已经得到了一个2x2方格的遍历方格的遍历方法，我们正好可以用它。把两个方法，我们正好可以用它。把两个2x2的格子原的格子原封不动地放在上面两排，右旋封不动地放在上面两排，右旋90度放在左下，左度放在左下，左旋旋90度放在右下，然后再补三条线段把它们连起度放在右下，然后再补三条线段把它们连起来。现在我们得到了一种从左下到右下遍历来。现在我们得到了一种从左下到右下遍历4x4方格的方法，而这又可以用于更大规模的图形中。方格的方法，而这又可以用于更大规模的图形中。用刚才的方法把四个用刚才的方法把四个4x4的方格放到的方格放到8x8的方格中，的方格中，我们就得到了一条经过所有我们就得到了一条经过所有64个小方格的曲线。个小方格的曲线。不断地这样做下去，无限多次地迭代后，每个方不断地这样做下去，无限多次地迭代后，每个方格都变得无穷小，最后的图形显然经过了方格上格都变得无穷小，最后的图形显然经过了方格上所有的点，它就是我们所说的所有的点，它就是我们所说的Hilbert曲线。曲线。三维Hilbert曲线
