1、 模糊数学模糊数学(Fuzzy mathematics,弗晰数学弗晰数学)是解决模糊性问题的数学分支是解决模糊性问题的数学分支.这里所谓的这里所谓的“模糊模糊”是相对于是相对于“明晰明晰”而言的而言的,而所谓的而所谓的“明晰明晰”即非此即彼即非此即彼.明晰数学数学的基础是明晰数学数学的基础是经典集合论经典集合论:一个元素一个元素a,要么属于集合要么属于集合A,要么要么要么属于要么属于A的余集的余集,二者必居其一二者必居其一.但是并非但是并非所有的现象和概念都象经典集合论这样所有的现象和概念都象经典集合论这样“明明晰晰”,有许多概念没有明确的界限有许多概念没有明确的界限,特别是在特别是在人类的思
2、维与语言中，例如人类的思维与语言中，例如:高矮、胖瘦、美高矮、胖瘦、美丑等丑等.模糊数学的出现与计算机智能模拟密切模糊数学的出现与计算机智能模拟密切相关相关.1965年年,美国加利福尼亚大学自动控制专美国加利福尼亚大学自动控制专家家L.A.Zadeh第一次提出了模糊性问题第一次提出了模糊性问题,从不从不同于经典数学的角度同于经典数学的角度,研究数学的基础集合论研究数学的基础集合论,给出了模糊概念的定量表示方法给出了模糊概念的定量表示方法,发表了著名发表了著名的论文的论文“模糊集合模糊集合”(Fuzzy sets).这篇论文这篇论文的问世的问世,标志着模糊数学的诞生标志着模糊数学的诞生.随着研究
3、的深入随着研究的深入,模糊数学的内容日益丰模糊数学的内容日益丰富富,其思想与方法正在广泛地渗透到科学和技其思想与方法正在广泛地渗透到科学和技术的很多领域术的很多领域,取得了很多重要成果取得了很多重要成果,例如例如:模糊识别、模糊决策、模糊控制、预报预测模糊识别、模糊决策、模糊控制、预报预测等等.L.A.Zadeh是美国工程科学院是美国工程科学院 院士院士,1921年年2月出生在前苏联月出生在前苏联 的阿塞拜疆的阿塞拜疆,1942年毕业于伊年毕业于伊 朗的德黑兰大学朗的德黑兰大学,1949年获美年获美 国哥伦比亚大学电机工程博士国哥伦比亚大学电机工程博士 学位学位,现任伯克利加利福尼亚现任伯克利
4、加利福尼亚 大学电机工程与计算机科学系大学电机工程与计算机科学系教授教授,曾多次在一些大学和公司做访问研究曾多次在一些大学和公司做访问研究,其中包括其中包括MIT和和IBM实验室实验室.他的著名论文他的著名论文 L.A.Zadeh,Fuzzy sets,Information and control,1965,8(3):338-353.第一章第一章 模糊集合模糊集合1.1 1.1 经典集合经典集合1,;()0,.AxAxxA 经典集合的元素彼此相异经典集合的元素彼此相异,即无重复性即无重复性,并且边界分明并且边界分明,即一个元素即一个元素x要么属于集合要么属于集合A(记作记作x A),要么不属
5、于集合要么不属于集合(记作记作x A),二二者必居其一者必居其一.集合集合A的特征函数：的特征函数：集合的表示法集合的表示法：(1)枚举法；枚举法；(2)描述法，描述法，A=x|P(x).A B 若若x A，则则x B；A B 若若x B，则则x A；A=B A B且且 A B.集合集合A的所有子集所组成的集合称为的所有子集所组成的集合称为A的的幂集幂集,记为记为2A.并集并集AB=x|x A或或x B；交集交集AB=x|x A且且x B；设全集是设全集是X,A X,余集余集Ac=x|x X,x A.集合的运算规律集合的运算规律 幂等律：幂等律：AA=A，AA=A；交换律：交换律：AB=BA，
6、AB=BA；结合律：结合律：(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)；吸收律：吸收律：A(AB)=A，A(AB)=A；分配律：分配律：(AB)C=(AC)(BC);(AB)C=(AC)(BC);0-1律：律：AX=X，AX=A；A =A，A =；还原律：还原律：(Ac)c=A；对偶律：对偶律：(AB)c=AcBc，(AB)c=AcBc；排中律：排中律：AAc=X，AAc=,其中其中X为全集，为全集，为空集为空集.集合运算的特征函数表示集合运算的特征函数表示 ()()();()()();()1().cA BABA BABAAxxxxxxxx 这里这里表示取大运算表示取大运算,表示取小运算表
7、示取小运算.集合的笛卡儿积：集合的笛卡儿积：X Y=(x,y)|x X,y Y.映射映射 f:X Y二元关系二元关系 X Y 的子集的子集 R 称为从称为从 X 到到 Y 的的二元关二元关系系,特别地，当特别地，当 X=Y 时，时，称之为称之为 X 上的上的二二元关系元关系.二元关系简称为二元关系简称为关系关系.若若(x,y)R,则则称称 x 与与 y 有有关系，记为关系，记为R(x,y)=1；若若(x,y)R,则则称称x与与y没有没有关系，记为关系，记为R(x,y)=0.映射映射 R:X Y 0,1实际上是实际上是 X Y 的的子集子集R上的特征函数上的特征函数.关系的矩阵表示法关系的矩阵表
8、示法 设设X=x1,x2,xm,Y=y1,y2,yn,R为从为从 X 到到 Y 的的二元关系，记二元关系，记rij=R(xi,yj)，R=(rij)mn，则则R为布为布尔矩阵尔矩阵(Boole matrix)，称为称为R的关的关系矩阵系矩阵.布布尔矩阵是元素只取尔矩阵是元素只取0或或1的矩阵的矩阵.关系的合成关系的合成 设设 R1 是是 X 到到 Y 的关系的关系,R2 是是 Y 到到 Z 的关的关系系,则则R1与与 R2的合成的合成 R1 R2是是 X 到到 Z 上的一上的一个关系个关系.(R1 R2)(x,z)=R1(x,y)R2(y,z)|yY 关系合成的矩阵表示法关系合成的矩阵表示法
9、设设 X=x1,x2,xm,Y=y1,y2,ys,Z=z1,z2,zn,且且X 到到Y 的关系的关系R1=(aik)ms，Y 到到Z 的关系的关系R2=(bkj)sn，则则X 到到Z 的关系可表示为矩阵形式：的关系可表示为矩阵形式：R1 R2=(cij)mn，其中其中cij=(aikbkj)|1ks,R1 R2 称为矩阵称为矩阵的布尔乘积的布尔乘积.例例 设设 X=1,2,3,4,Y=2,3,4,Z=1,2,3,R1 是是 X 到到 Y 的关系的关系,R2 是是Y 到到 Z 的关系的关系,R1=(x,y)|x+y=6=(2,4),(3,3),(4,2),R2=(y,z)|y z=1=(2,1)
10、,(3,2),(4,3),则则R1与与 R2的合成的合成R1 R2=(x,z)|x+z=5=(2,3),(3,2),(4,1).1000001010100R 2100010001R 等价关系：等价关系：设设R为为 X 上的上的关系关系,如果满足如果满足 (1)自反性自反性：X 中的任何元素都与自己有中的任何元素都与自己有关系，即关系，即R(x,x)=1；(2)对称性对称性：对：对X中的两个元素中的两个元素x,y,若若x 与与y有关系有关系,则则y与与x有关系有关系,即若即若R(x,y)=1，则，则R(y,x)=1；(3)传递性传递性：对于：对于X中的三个元素中的三个元素x,y,z，若若x与与y
11、有关系，有关系，y与与z有关系，则有关系，则x与与z有关系，有关系，即若即若R(x,y)=1,R(y,z)=1，则则R(x,z)=1.则称则称R为为X上的等价上的等价关系关系.设设 R为为 X 上的等价上的等价关系关系.如果如果(x,y)R,即即x与与y有关系有关系R,则记为则记为 x y.集合上的等价类集合上的等价类 设设 R是是X 上的等价上的等价关系，关系，x X.定义定义x的等价类：的等价类：xR=y|y X,y x.集合的分类集合的分类 设设 X 是非空集合，是非空集合，Xi 是是 X 的的非空子集族，若非空子集族，若Xi=X，且，且XiXj=(i j)，则称集合族则称集合族 Xi
12、是集合是集合 X 的一个分类的一个分类.(1)对任意对任意 x X，xR非空；非空；(2)对任意对任意 x,y X，若，若x与与y 没有关系没有关系R，则，则xRyR=；(3)X=x X xR.定理定理 集合集合X上的等价上的等价关系关系R可以确定可以确定X的的一个分类一个分类.即即证明证明:(1)由于由于R具有自反性，所以具有自反性，所以x xR,即即 xR非空非空.(2)假设假设 xRyR ,取取z xRyR，则，则z与与x有关系有关系R，z与与y也有关系也有关系R.由于由于R具有具有对称性，所以对称性，所以x与与z有关系有关系R，z与与y也有关系也有关系R.又由于又由于R具有传递性，具有
13、传递性，x与与y也有关系也有关系R.这与题设矛盾这与题设矛盾.(3)显然显然.1.2 1.2 模糊集合及其运算模糊集合及其运算模糊集合与隶属函数模糊集合与隶属函数 设设X是全集是全集(或论域或论域)，称映射，称映射A：X0,1确定了一个确定了一个X中的中的模糊子集模糊子集A，A(x)称为称为A的的隶属函数隶属函数，它表示，它表示x对对A的隶属程度的隶属程度.当映射当映射A(x)只取只取0或或1时，模糊子集时，模糊子集A就是就是经典子集，而经典子集，而A(x)就是它的特征函数就是它的特征函数.可见经可见经典子集就是模糊子集的特殊情形典子集就是模糊子集的特殊情形.模糊集合的表示模糊集合的表示 设设
14、X是全集，是全集，A(x)是模糊集合是模糊集合A的隶属函的隶属函数数.如果如果X是有限集合或可数集合是有限集合或可数集合,则将模糊则将模糊集合集合A表示为表示为();iiA xAx 如果如果X是无限不可数集合是无限不可数集合,则将模糊集合则将模糊集合A表表示为示为().A xAx X中的所有模糊子集记为中的所有模糊子集记为F(X),显然显然F(X)2X.例例 设论域设论域X=x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)(单位：单位：cm)表示人表示人的身高，如果的身高，如果X中模糊集合中模糊集合A=“高个子高个子”的的隶属函数隶属函数A(x)定
15、义为定义为则则A表示为表示为140(),190140 xA x 12345600.20.40.60.81.Axxxxxx 例例 设论域设论域X=0,100表示年龄的集合，表示年龄的集合，X中模糊集合中模糊集合A=“年老年老”和和B=“年轻年轻”的隶的隶属函数属函数可分别可分别定义为定义为120,050,()501,50100;5xA xxx 121,025,()251,25100.5xB xxx x1A(x)x1B(x)A=“年老年老”B=“年轻年轻”例例 设设X 中元素是各种单连通凸区域中元素是各种单连通凸区域x,以以光滑的封闭曲线为边界光滑的封闭曲线为边界,用用l 表示边界的周长表示边界的
16、周长,S表示区域的面积表示区域的面积,模糊集合模糊集合A=“圆的程度圆的程度”,可定义可定义A的隶属函数为的隶属函数为24(,).SA l Sl 常用的隶属函数常用的隶属函数(1)S型函数型函数(偏大型隶属函数偏大型隶属函数)22 (;,)0,2,212,21,.S x a bxaxaabaxbaxbabxbbabx x1ab(2)Z型函数型函数(偏小型隶属函数偏小型隶属函数)(;,)1(;,).Z x a bS x a bx1ab(3)型函数型函数(中间型隶属函数中间型隶属函数)x1b-ab+ab(;,),(;,)(;,),.S x ba bxbx a bZ x b baxb 模糊子集的运算
17、模糊子集的运算相等：相等：A=B A(x)=B(x)；包含：包含：A B A(x)B(x)；并：并：AB的隶属函数为的隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)；交：交：AB的隶属函数为的隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)；余：余：Ac的隶属函数为的隶属函数为Ac(x)=1-A(x).例例 设论域设论域X=x1,x2,x3,x4,x5(商品集商品集),在在X中定义两个模糊集中定义两个模糊集:A=“商品质量好商品质量好”,B=“商品质量差商品质量差”,并设并设则则Ac=“商品质量不好商品质量不好”,Bc=“商品质量不商品质量不差差”.123450.80.5500.31,Axxxxx123
18、450.10.210.860.60.Bxxxxx123450.20.4510.70,cAxxxxx123450.90.790.140.41.cBxxxxx可见可见Ac B,Bc A.并且并且123450.80.5510.71,cAAUxxxxx 123450.20.4500.30.cAAxxxxx 模糊子集的运算性质除了排中律以外与模糊子集的运算性质除了排中律以外与经典集合的运算性质一致经典集合的运算性质一致,即即AAc=X，AAc=不一定成立不一定成立.模糊子集不再具有模糊子集不再具有“非此即彼非此即彼”的特点，这正是模糊性带来的本质特征的特点，这正是模糊性带来的本质特征.设设A是论域是论域
19、X中一个模糊集合中一个模糊集合,0,0 1,称集合称集合1.3 1.3 模糊集的分解定理模糊集的分解定理A=x|A(x)为为A的的 水平集水平集(或或 截集截集).模糊集模糊集A的的 水平集水平集A 是一个经典集合是一个经典集合,由论域中隶属度不小于由论域中隶属度不小于 的元素构成的元素构成.显然显然,A0=X.(1)A B A B；(2)A A；(3)(AB)=A B，(AB)=A B.水平集的性质水平集的性质 设设A,B是两个模糊子集是两个模糊子集,0,1,于是于是模糊集的分解定理模糊集的分解定理 设设A是一个模糊子集是一个模糊子集,则则 即即A(x)=|0,1，x A .0,1,AA 证
20、明证明 因为因为1,()0,xAAxxA 所以所以0,10,1()()()().x AA xAxAxA x 注注 模糊集的分解定理给出了模糊集合与经模糊集的分解定理给出了模糊集合与经典集合之间的关系典集合之间的关系.1.4 1.4 模糊矩阵模糊矩阵 若若0rij1，则称矩阵，则称矩阵R=(rij)mn为为模糊矩模糊矩阵阵.显然布尔矩阵是模糊矩阵的特殊形式显然布尔矩阵是模糊矩阵的特殊形式.当当模糊方阵模糊方阵R=(rij)nn的对角线上的元素的对角线上的元素rii都为都为1时，称时，称R为为模糊自反矩阵模糊自反矩阵.设设A=(aij)mn,B=(bij)mn都都是模糊矩阵是模糊矩阵.A=B ai
21、j=bij；AB aijbij；AB=(aijbij)mn；AB=(aijbij)mn；Ac=(1-aij)mn.有限论域中的模糊集合可以表示为模糊矩阵有限论域中的模糊集合可以表示为模糊矩阵.模糊矩阵的并、交、余运算性质模糊矩阵的并、交、余运算性质幂等律：幂等律：AA=A，AA=A；交换律：交换律：AB=BA，AB=BA；结合律：结合律：(AB)C=A(BC),(AB)C=A(BC)；吸收律：吸收律：A(AB)=A，A(AB)=A；分配律：分配律：(AB)C=(AC)(BC)；(AB)C=(AC)(BC)；0-10-1律：律：AO=A，AO=O；AE=E，AE=A；还原律：还原律：(Ac)c=
22、A；对偶律：对偶律：(AB)c=AcBc,(AB)c=AcBc.1.11.1E模糊矩阵的乘积模糊矩阵的乘积 设设A=(aik)ms，B=(bkj)sn，定义模糊，定义模糊矩阵矩阵A 与与B 的乘积为：的乘积为：A B=(cij)mn，其中其中cij=(aikbkj)|1ks.模糊方阵的幂模糊方阵的幂 若若A为为 n 阶方阵阶方阵,定义定义 A2=A A,A3=A2 A，Ak=Ak-1 A.(A B)C=A (B C)；Ak Al=Ak+l，(Am)n=Amn；A(BC)=(A B)(A C)；(BC)A=(B A)(C A)；O A=A O=O，I A=A I=A；AB，CD A C B D.
23、模糊矩阵乘积运算的性质模糊矩阵乘积运算的性质注：乘积运算关于注：乘积运算关于的分配律不成立，即的分配律不成立，即(AB)C (A C)(B C)1.010.1I 模糊矩阵的转置模糊矩阵的转置 设设A=(aij)mn,称称AT=(aijT)nm为为A的转的转置矩阵，其中置矩阵，其中aijT=aji.转置运算的性质转置运算的性质(AT)T=A；(AB)T=ATBT，(AB)T=ATBT；(A B)T=BT AT；(An)T=(AT)n；(Ac)T=(AT)c；AB AT BT.模糊矩阵的模糊矩阵的 截矩阵截矩阵 设设A=(aij)mn,对任意的对任意的 0,1，称，称A=(aij()mn,为模糊矩
24、阵为模糊矩阵A的的 截矩阵截矩阵,其中其中当当aij 时，时，aij()=1；当；当aij 时，时，aij()=0.显然显然,A的的 截矩阵为布尔矩阵截矩阵为布尔矩阵.AB A B；(AB)=A B，(AB)=A B；(A B)=A B；(AT)=(A )T.设设A=(aij)ms,B=(bij)sn,A B=C=(cij)mn,cij()=1 cij (aikbkj)存在存在k,(aikbkj)存在存在k,aik ,bkj 存在存在k,aik()=bkj()=1 (aik()bkj()=1;cij()=0 cij (aikbkj)k,(aikbkj)k,aik 或或 bkj k,aik()=
25、0或或bkj()=0(aik()bkj()=0.所以所以,cij()=(aik()bkj().证明证明(A B)=A B 1.5 1.5 模糊关系模糊关系 设论域设论域X，Y，X Y 的一个模糊子集的一个模糊子集 R 称为从称为从X到到Y 的的模糊关系模糊关系.模糊子集模糊子集 R 的隶属函数为映射的隶属函数为映射R:X Y 0,1.并称隶属度并称隶属度R(x,y)为为(x,y)关于模糊关系关于模糊关系 R 的相关程度的相关程度.特别地，当特别地，当 X=Y 时，时，称之为称之为 X 上各元上各元素之间的素之间的模糊关系模糊关系.模糊关系的运算模糊关系的运算 由于由于模糊关系模糊关系 R就是就
26、是X Y 的一个模糊子的一个模糊子集集,因此模糊关系同样具有模糊子集因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及的运算及性质性质.设设R,R1,R2均为从均为从 X 到到 Y 的的模糊关系模糊关系.相等：相等：R1=R2 R1(x,y)=R2(x,y)；包含：包含：R1 R2 R1(x,y)R2(x,y)；并：并：R1R2 的隶属函数为的隶属函数为(R1R2)(x,y)=R1(x,y)R2(x,y)；交：交：R1R2 的隶属函数为的隶属函数为(R1R2)(x,y)=R1(x,y)R2(x,y)；余：余：Rc 的隶属函数为的隶属函数为Rc(x,y)=1-R(x,y).(R1R2)(x,y)表示表示(x,
27、y)对模糊关系对模糊关系“R1或者或者R2”的相关程度的相关程度,(R1R2)(x,y)表示表示(x,y)对模糊关系对模糊关系“R1且且R2”的相关程度的相关程度,Rc(x,y)表示表示(x,y)对模糊关系对模糊关系“非非R”的相关程度的相关程度.模糊关系的矩阵表示模糊关系的矩阵表示 对于有限论域对于有限论域 X=x1,x2,xm和和Y=y1,y2,yn,则则X 到到Y 模糊关系模糊关系R可用可用mn 阶模糊矩阵表示，即阶模糊矩阵表示，即R=(rij)mn，其中，其中 rij=R(xi,yj)0,1表示表示(xi,yj)关于模糊关系关于模糊关系R 的相关程度的相关程度.如果如果R为布尔矩阵时为
28、布尔矩阵时,则关系则关系R为普通关为普通关系系,即即xi 与与 yj 之间要么有关系之间要么有关系(rij=1),要么没要么没有关系有关系(rij=0).设设 R1 是是 X 到到 Y 的关系的关系,R2 是是 Y 到到 Z 的的关系关系,则则R1与与 R2的复合的复合 R1R2是是 X 到到 Z 上的上的一个关系一个关系:(R1R2)(x,z)=R1(x,y)R2(y,z)|yY.当论域为有限时当论域为有限时,模糊关系的合成可表模糊关系的合成可表示为模糊矩阵的乘积示为模糊矩阵的乘积.模糊关系的合成模糊关系的合成 设设X=x1,x2,xm,Y=y1,y2,ys,Z=z1,z2,zn,且且X 到
29、到Y 的模糊关系的模糊关系 R1=(aik)ms,Y 到到Z 的模糊关系的模糊关系R2=(bkj)sn,则则X 到到Z 的模糊关系可表示为模糊矩阵的乘积：的模糊关系可表示为模糊矩阵的乘积：R1R2=(cij)mn，其中其中cij=(aikbkj)|1ks.在有限论域情况下在有限论域情况下,模糊关系合成的性模糊关系合成的性质就是模糊矩阵乘积运算的性质质就是模糊矩阵乘积运算的性质.值得注意值得注意的是模糊关系合成关于的是模糊关系合成关于的分配律不成立的分配律不成立.模糊等价关系模糊等价关系 若若X上的上的模糊关系模糊关系R满足：满足：(1)(1)自反性自反性:R(x,x)=1,即即I R(rii=
30、1);(2)(2)对称性对称性:R(x,y)=R(y,x),即即RT=R(rij=rji);(3)(3)传递性传递性:R2 R,即即R2R.则称则称模糊关系模糊关系R是是X上上的一个的一个模糊等价关系模糊等价关系.当论域当论域X=x1,x2,xn为有限时为有限时,X 上上的一个的一个模糊等价关系的矩阵模糊等价关系的矩阵R称为称为模糊等价模糊等价矩阵矩阵,即即R是主对角线元素是是主对角线元素是1的对称矩阵的对称矩阵,且且R2R(rikrkj)|1kn rij).定理定理1 若若R具有自反性具有自反性(IR)和传递性和传递性(R2R),则则 R2=R.证明证明 IR,R R R R2 R2=R.定
31、理定理2 若若R是模糊等价矩阵是模糊等价矩阵,则则对任意对任意 0,1，R 是等价的是等价的Boole矩阵矩阵.证明证明 (1)(1)自反性：自反性：IR 0,1,I R 0,1,I R；(2)(2)对称性对称性：RT=R(RT)=R (R)T=R;(3)(3)传递性传递性：R2R(R2)R (R)2R.定理定理3 若若R是模糊等价矩阵是模糊等价矩阵,则对任意则对任意的的0 1,R 所决定的分类中的每一个类所决定的分类中的每一个类是是R 决定的分类中的某个类的子类决定的分类中的某个类的子类.证明证明 对于论域对于论域 X=x1,x2,xn，若，若 xi,xj 按按R 分在一类，则有分在一类，则
32、有rij()=1 rij rij rij()=1，即若即若 xi,xj 按按R 也分在一类也分在一类.所以，所以，R 所决定的分类中的每一个类是所决定的分类中的每一个类是R 决定的分类中的某个类的子类决定的分类中的某个类的子类.模糊相似关系模糊相似关系 若若X 上模糊关系上模糊关系R满足：满足：(1)自反性自反性:R(x,x)=1,即即I R(rii=1);(2)对称性对称性:R(x,y)=R(y,x),即即RT=R(rij=rji).则称则称R是是X 的一个的一个模糊相似关系模糊相似关系.当论域当论域X=x1,x2,xn为有限时为有限时,X 上的上的一个一个模糊相似关系的矩阵模糊相似关系的矩
33、阵R称为称为模糊相似矩阵模糊相似矩阵，即即R是主对角线元素是是主对角线元素是1的对称矩阵的对称矩阵.定理定理4 若若R 是模糊相似矩阵是模糊相似矩阵,则对任意则对任意的正整数的正整数k,Rk 也是模糊相似矩阵也是模糊相似矩阵.定理定理5 若若R 是是n阶模糊相似矩阵，则存阶模糊相似矩阵，则存在一个最小正整数在一个最小正整数 k(kn),对于一切大于对于一切大于k 的正整数的正整数 l,恒有恒有Rl=Rk,即即Rk 是模糊等价矩是模糊等价矩阵阵(R2k=Rk).此时称此时称Rk为为R的传递闭包的传递闭包,记作记作 t(R)=Rk.上述定理表明，任一个模糊相似矩阵可上述定理表明，任一个模糊相似矩阵
34、可诱导出一个模糊等价矩阵诱导出一个模糊等价矩阵.1.6 1.6 模糊映射与模糊变换模糊映射与模糊变换 设论域设论域X,Y.映射映射f:XF(Y)称为从称为从X到到Y的的模糊映射模糊映射.例如例如X=x1,x2,Y=y1,y2,y3,那么下面的那么下面的f和和g都是都是从从X到到Y的模糊映射的模糊映射.121121321311,()11,.yyxxyyf xyyxxyy 112321230.10.40.5,()0.60.30.7,.xxyyyg xxxyyy X 到到Y 的一个模糊映射的一个模糊映射 f 可唯一确定可唯一确定X 到到Y 的一个模糊关系的一个模糊关系 Rf;X 到到Y 的一个模糊的
35、一个模糊关系关系R可唯一确定可唯一确定X 到到Y 的一个模糊映射的一个模糊映射 fR.有时在不发生混淆的情况下有时在不发生混淆的情况下,不区分模糊关不区分模糊关系和模糊影射系和模糊影射.若若映射映射T 将将X 的一个模糊子集的一个模糊子集A映射到映射到Y 的的一个模糊子集一个模糊子集B,则称则称映射映射T 为从为从X 到到Y 的的模模糊变换糊变换.若模糊变换若模糊变换T T 满足满足 (1)(1)T(AB)=T(A)T(B),(2)(2)T(A)=T(A),则称则称T T 为为模糊线性变换模糊线性变换.设设X=x1,x2,xn,Y=y1,y2,ym,则则对任意的对任意的X到到Y 的模糊关系的模
36、糊关系R都可以确定都可以确定X 到到Y 的模糊线性变换的模糊线性变换TR(A)=AR.模糊变换的意义是论域的转换模糊变换的意义是论域的转换.例例 设设X=x1,x2,x3,x4,x5,Y=y1,y2,y3,y4,X到到Y 的模糊关系的模糊关系R为为0.50.20110.300.1.0.60.80.40.20.31000000R 如果如果A=x1,x21234511000,xxxxx 如果如果 于是于是123450.60.60.910,BxxxxxTR(B)=(0.5,0.6,0.9,1,0)R=(0.6,1,0.4,0.5)12340.610.40.5.yyyyTR(A)=(1,1,0,0,0
37、)R=(1,0.3,0,1)123410.301.yyyy于是于是第一章第一章 完完第二章第二章 模糊决策模糊决策2.1 2.1 模糊集中意见决策模糊集中意见决策 为了对论域为了对论域X=x1,x2,xn 中的元素中的元素进行排序进行排序,由由m个专家组成专家小组个专家组成专家小组M,分别分别对对X中的元素排序中的元素排序,得到得到m种意见：种意见：V=v1,v2,vm,其中其中vi 是第是第i 种意见序列种意见序列,即即X 中的元素的某中的元素的某一个排序一个排序.若若xj在第在第i 种意见种意见vi中排第中排第k位位,设第设第k位位的权重为的权重为ak，则令，则令Bi(xj)=ak(n k
38、)，称，称 若若xj在第在第i 种意见种意见vi中排第中排第k位位,则令则令Bi(xj)=nk,称称1()()mjijiB xB x 1()()mjijiB xB x 为为xj的的Borda数数.论域论域X的所有元素可按的所有元素可按Borda数的大小排序数的大小排序.为为xj的加权的加权Borda数数.例例 设设X=a,b,c,d,e,f,|M|=m=4人人,v1:a,c,d,b,e,f;v2:e,b,c,a,f,d;v3:a,b,c,e,d,f;v4:c,a,b,d,e,f.B(a)=5+2+5+4=16;B(b)=2+4+4+3=13;B(c)=4+3+3+5=15;B(d)=3+0+1
39、+2=6;B(e)=1+5+2+1=9;B(f)=0+1+0+0=1;按按Borda数集中后的排序为：数集中后的排序为：a,c,b,d,e,f.例例 设设6名运动员名运动员X=x1,x2,x3,x4,x5,x6 参加五项参加五项全能比赛全能比赛,他们每项比赛的成绩如下：他们每项比赛的成绩如下：200m x1,x2,x4,x3,x6,x5；1500m x2,x3,x6,x5,x4,x1；跳远跳远 x1,x2,x4,x3,x5,x6；掷铁饼掷铁饼 x1,x2,x3,x4,x6,x5；掷标枪掷标枪 x1,x2,x4,x5,x6,x3.B(x1)=5+0+5+5+5=20;B(x2)=4+5+4+4+
40、4=21;B(x3)=2+4+2+3+0=11;B(x4)=3+1+3+2+3=12;B(x5)=0+2+1+0+2=5;B(x6)=1+3+0+1+1=6.按按Borda数集中后的排序为：数集中后的排序为：x2,x1,x4,x3,x6,x5.名次名次一一二二三三四四五五六六权重权重0.350.250.180.110.070.04 B(x1)=7,B(x2)=5.75,B(x3)=1.98,B(x4)=1.91,B(x5)=0.51,B(x6)=0.75.按加权按加权Borda数集中后的排序为：数集中后的排序为：x1,x2,x3,x4,x6,x5如果考虑加权如果考虑加权Borda数排序数排序,
41、设权重为设权重为 设论域设论域X=x1,x2,xn为为n个被选方案个被选方案,在在n个被选方案中建立一种模糊优先关系个被选方案中建立一种模糊优先关系,即即先两两进行比较先两两进行比较,再将这种比较模糊化再将这种比较模糊化,然后然后用模糊数学方法给出总体排序用模糊数学方法给出总体排序,这就是模糊这就是模糊二元对比决策二元对比决策.在在xi与与xj作对比时作对比时,用用rij表示表示xi比比xj的优先程的优先程度度,并且要求并且要求rij满足满足 rii=1；0rij1；当当ij 时时,rij+rji=1.2.2 2.2 模糊二元对比决策模糊二元对比决策这样的这样的rij组成的矩阵组成的矩阵R=(
42、rij)nn称为称为模糊优先模糊优先矩阵矩阵,由此矩阵确定的关系称为模糊优先关系由此矩阵确定的关系称为模糊优先关系.模糊二元对比决策的方法与步骤模糊二元对比决策的方法与步骤 建立模糊优先关系建立模糊优先关系:两两进行比较，建立模糊优先矩阵两两进行比较，建立模糊优先矩阵.排序方法：排序方法：隶属函数法隶属函数法 对模糊优先矩阵进行适当对模糊优先矩阵进行适当的数学加工处理的数学加工处理,得到得到X中模糊优先集中模糊优先集A的隶的隶属函数属函数,再根据各元素隶属度的大小给全体再根据各元素隶属度的大小给全体对象排出一定的优劣次序对象排出一定的优劣次序.通常采用的方法通常采用的方法取小法：取小法：A(x
43、i)=rij|1jn,i=1,2,n;平均法：平均法：A(xi)=(ri1+ri2+rin)/n,i=1,2,n.截矩阵法截矩阵法 对阈值对阈值 0,1,给出给出 截矩阵截矩阵R =(rij()nn.当当 由由1逐渐减小时逐渐减小时,若若R 中第中第k行首次出现元素全等于行首次出现元素全等于1时时,则取则取xk为第一为第一优先对象优先对象(不一定唯一不一定唯一).再在再在R中划去中划去xk所在所在的行与列的行与列,得到一个新的得到一个新的n-1阶模糊优先矩阵阶模糊优先矩阵,用同样的方法获取第二优先对象用同样的方法获取第二优先对象,如此进行如此进行下去下去,可将全体对象排出一定的优劣次序可将全体
44、对象排出一定的优劣次序.下确界法下确界法 先求模糊优先矩阵先求模糊优先矩阵R每一行每一行的下确界的下确界,以最大下确界所在行对应的以最大下确界所在行对应的xk为为第一优先对象第一优先对象(不一定唯一不一定唯一).再在再在R中划去中划去xk所在的行与列所在的行与列,得到一个新的得到一个新的n-1阶模糊优阶模糊优先矩阵先矩阵,再以此类推再以此类推.2.3 2.3 模糊综合评判决策模糊综合评判决策 对一个事物的评价或评估对一个事物的评价或评估,常常涉及多常常涉及多个因素或多个指标个因素或多个指标,这时就要求根据这多个这时就要求根据这多个因素对事物作出综合评价因素对事物作出综合评价,而不能只从某一而不
45、能只从某一因素的情况去评价事物因素的情况去评价事物,这就是这就是综合评判综合评判.模糊综合评判决策的数学模型模糊综合评判决策的数学模型 设设X=x1,x2,xn为为n种因素种因素(或指标或指标),V=v1,v2,vm为为m种评判种评判(或等级或等级).由于各种因素所处地位不同由于各种因素所处地位不同,作用也不一作用也不一样样,可用权重可用权重A=(a1,a2,an)来描述来描述,它是它是论域论域X的一个模糊子集的一个模糊子集.对于每一个因素对于每一个因素xi,单独作出的一个评判单独作出的一个评判 f(xi),可看作是可看作是X到到V 的的一个模糊映射一个模糊映射 f,由由 f 可诱导出可诱导出
46、X到到V 的一个的一个模糊关系模糊关系 Rf,由由Rf 可诱导出可诱导出X到到V 的一个模的一个模糊线性变换糊线性变换TR(A)=AR=B,它是评判集它是评判集V 的的一个模糊子集一个模糊子集,即为综合评判即为综合评判.(X,V,R)构成模糊综合评判决策模型构成模糊综合评判决策模型,X,V,R是此模型的三个要素是此模型的三个要素.模糊综合评判决策的方法与步骤模糊综合评判决策的方法与步骤 建立因素集建立因素集X=x1,x2,xn 与评判与评判集集V=v1,v2,vm.建立模糊综合评判矩阵建立模糊综合评判矩阵.对于每一个因素对于每一个因素xi,先建立单因素评判：先建立单因素评判：(ri1,ri2,
47、rim)即即rij(0(0rij1)1)表示表示vj对因素对因素xi所所作的评判作的评判,这这样就得到单因素评判矩阵样就得到单因素评判矩阵 R=(rij)nm.综合评判综合评判.根据各因素权重根据各因素权重A=(a1,a2,an)综合评综合评判判:B=A R=(b1,b2,bm)是是V上的一个模上的一个模糊子集糊子集,根据运算根据运算 的不同定义的不同定义,可得到不同的可得到不同的模型模型.模型模型：M(,)-主因素决定型主因素决定型 bj=(airij),1in (j=1,2,m)由于综合评判的结果由于综合评判的结果bj的值仅由的值仅由ai与与rij(i=1,2,n)中的某一个确定中的某一个
48、确定(先取小先取小,后取大运后取大运算算),着眼点是考虑主要因素着眼点是考虑主要因素,其他因素对结果其他因素对结果影响不大影响不大,这种运算有时出现决策结果不易这种运算有时出现决策结果不易分辨的情况分辨的情况.模型模型：M(,)-主因素突出型主因素突出型 bj=(ai rij),1in (j=1,2,m)M(,)与模型与模型M(,)较接近较接近,区别区别在于用在于用ai rij代替了代替了M(,)中的中的airij.在模型在模型M(,)中中,对对rij乘以小于乘以小于1的权的权重重ai表明表明ai是在考虑多因素时是在考虑多因素时rij的修正值的修正值,与与主要因素有关主要因素有关,忽略了次要因
49、素忽略了次要因素.模型模型：M(,)-主因素突出型主因素突出型bj=(ai rij)(j=1,2,m)模型模型也突出了主要因素也突出了主要因素.在实际应用中在实际应用中,如果主因素在综合评判如果主因素在综合评判中起主导作用中起主导作用,建议采纳建议采纳,当模型当模型失效时可采用失效时可采用,.,.模型模型：M(,)-加权平均模型加权平均模型bj=(ai rij)(j=1,2,m)模型模型M(,)对所有因素依权重大小均对所有因素依权重大小均衡兼顾衡兼顾,适用于考虑各因素起作用的情况适用于考虑各因素起作用的情况.例例 服装评判服装评判.因素集因素集X=x1(花色花色),),x2(式样式样),),x
50、3(耐穿耐穿程度程度),),x4(价格价格),),评判集评判集V=v1(很欢迎很欢迎),),v2(较欢迎较欢迎),),v3(不太欢迎不太欢迎),),v4(不欢迎不欢迎).).对各因素所作的评判如下：对各因素所作的评判如下：x1:(0.2,0.5,0.2,0.1)x2:(0.7,0.2,0.1,0)x3:(0,0.4,0.5,0.1)x4:(0.2,0.3,0.5,0)对于给定各因素权重对于给定各因素权重A=(0.1,0.2,0.3,0.4),分分别用各种模型所作的评判如下：别用各种模型所作的评判如下：M(,)：B=(0.2,0.3,0.4,0.1)M(,)：B=(0.14,0.12,0.2,0
