1、4.6正弦定理和余弦定理考情分析本节是高考必考内容，重点为正弦、余弦定理及三角形面积公式.客观题以考查正、余弦定理解三角形为主；难度不大；解答题主要考查与函数结合，实现角边互化，或利用以解决实际问题，难度中档.基础知识 1.正弦定理与余弦定理定理正弦定理余弦定理内容变形解决的问题已知两边和任一边，求另一角和其他两条边已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角已知三边，求各角已知两边和它们的夹角求第三边3.三角形的面积公式(1)(2) (3) 4.应用举例利用正弦定理和余弦定理解三角形常用题型有:测量距离问题,测量高度问题,测量角度问题,计算面积问题等.注意事项1.在三角形中，大角对大边，大边对大
2、角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，ABabsin Asin B.2.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角3.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换题型一利用正弦定理解三角形【例1】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos(AC)cosB1，a2c，求C.解：B(AC
3、)，cosBcos(AC)cos(AC)，1cos(AC)cosBcosAcosCsinAsinCcosAcosCsinAsinC2sinAsinC，sinAsinC.由正弦定理2R，得a2RsinA，c2RsinC，a2c，sinA2sinC，2sin2C，即sin2C，解得sinC或sinC(舍去)，C.【变式1】在ABC中，若b5，B，tan A2，则sin A_；a_.解析因为ABC中，tan A2，所以A是锐角，且2，sin2Acos2A1，联立解得sin A，再由正弦定理得，代入数据解得a2.答案2题型二利用余弦定理解三角形【例2】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
4、a，bc4，B30，则c()A. B. C. 3D. 答案：A解析：在ABC中，由余弦定理得cosB，a，bc4，B30，即34(cb)3c,3c4b，结合bc4解得c.选A.【变式2】已知A，B，C为ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2 cos A0.(1)求角A的值；(2)若a2，bc4，求ABC的面积解(1)由2cos2 cos A0，得1cos Acos A0，即cos A，0A，A.(2)由余弦定理得，a2b2c22bccos A，A，则a2(bc)2bc，又a2，bc4，有1242bc，则bc4，故SABCbcsin A.题型三利用正、余弦定理判断三角形形状【
5、例3】在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，试判断ABC的形状解由已知(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，得b2sin(AB)sin Ca2sin Csin(AB)，即b2sin Acos Ba2cos Asin B，即sin2Bsin Acos Bsin2Acos Bsin B，所以sin 2Bsin 2A，由于A，B是三角形的内角故02A2，02B2.故只可能2A2B或2A2B，即AB或AB.故ABC为等腰三角形或直角三角形【变式3】 在ABC中，若；则ABC是()A直角三角形 B等边三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形解析由正弦定理得a2Rsin
6、A，b2Rsin B，c2Rsin C(R为ABC外接圆半径).即tan Atan Btan C，ABC.答案B题型四正、余弦定理的综合应用【例4】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A，bsin(C)csin(B)a.(1)求证：BC；(2)若a，求ABC的面积解：(1)证明：由bsin(C)csin(B)a，应用正弦定理，得sinBsin(C)sinCsin(B)sinA，sinB(sinCcosC)sinC(sinBcosB)，整理得sinBcosCcosBsinC1，即sin(BC)1，由于0B，0C，从而BC.(2)BCA，因此B，C，由a，A，得b2sin，c2si
7、n，所以ABC的面积SbcsinAsinsin【变式4】设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos B，b2.(1)当A30时，求a的值；(2)当ABC的面积为3时，求ac的值解(1)因为cos B，所以sin B.由正弦定理，可得，所以a.(2)因为ABC的面积Sacsin B，sin B，所以ac3，ac10.由余弦定理得b2a2c22accos B，得4a2c2aca2c216，即a2c220.所以(ac)22ac20，(ac)240.所以ac2.重难点突破【例5】在ABC中， a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a，b，12cos(BC)0，求边BC上的高解析在
8、ABC中，cos(BC)cos A，12cos(BC)12cos A0，A.在ABC中，根据正弦定理，sin B.ab，B，C(AB).sin Csin(BA)sin Bcos Acos Bsin A.BC边上的高为bsin C.巩固提高1. 在ABC中，sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，则A的取值范围是()A. (0，B. ，)C. (0，D. ，)答案：C解析：由正弦定理得，a2b2c2bc，即b2c2a2bc，由余弦定理得，cosA.又0A，0AB，所以AC，所以C，选C.3.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac3，且a3bsinA，则ABC的面积等于()A
9、. B. C. 1D. 答案：A解析：a3bsinA，由正弦定理得sinA3sinBsinA，sinB.ac3，ABC的面积SacsinB3，故选A.4.在ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，且b2a2acc2，CA90，则cosAcosC()A. B. C. D. 答案：C解析：依题意得a2c2b2ac，cosB.又0B180，所以B60，CA120.又CA90，所以C90A，A15，cosAcosCcosAcos(90A)sin2Asin30，选C.5.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b5c，C2B，则cosC()A. B. C. D. 答案：A解析：sinCsin2B2sinBcosB，cosB，cosCcos2B2cos2B1，选A项6.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA，cosB，b3，则c_.答案：解析：因为cosA，cosB，所以sinA，sinB，sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，由正弦定理，得c.
