1、排列排列组合组合二项式定理二项式定理第九章第九章一一.两个基本原理两个基本原理加法原理：加法原理：做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n类办法类办法第第1类办法中类办法中有有m1种不同的方法种不同的方法 第第2类办法中类办法中有有m2种不同的方法种不同的方法 第第n类办法中类办法中有有mn种不同的方法种不同的方法 则完成这件事共有则完成这件事共有Nm1+m2+mn种不同的办法种不同的办法(不论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成这件事不论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成这件事)理解理解:前提：做一件事完成它有前提：做一件事完成它有n类办法类办法在这在这n类办法中选用任何一种方法都可
2、完成这件事类办法中选用任何一种方法都可完成这件事完成这件事的各种方法是相互独立的、互斥的完成这件事的各种方法是相互独立的、互斥的,一一.两个基本原理两个基本原理乘法原理：乘法原理：做一件事完成它需要分做一件事完成它需要分n个歩骤：个歩骤：做第做第1歩歩有有m1种不同的方法种不同的方法做第做第2歩歩有有m2种不同的方法种不同的方法做第做第n歩歩有有mn种不同的方法种不同的方法 则完成这件事共有则完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法种不同的方法 需要依次完成所有歩骤才能完成这件事，而完成需要依次完成所有歩骤才能完成这件事，而完成每一个歩骤各自有若干方法，即各歩骤不可缺少每一个歩骤各自有若干方法
3、，即各歩骤不可缺少 理解理解:两个基本原理的两个基本原理的区别区别：)()(串联乘法原理并联加法原理一一.两个基本原理两个基本原理附加：附加：抽屉原理：抽屉原理：把把n个不同物体放入个不同物体放入m个抽屉里的放入方法有个抽屉里的放入方法有mn种种？这样的复数共有多少个为非负整数且、，其中复数例 ,5|.1zbabiaz确定不同映射的个数可以到求从集合例 BA,A.2fedBdcba一一.两个基本原理两个基本原理多少个不同的三位数？张排放在一起，可组成将其中与、与、与、与张卡片的正反面分别有例3 ,765432104.3.3543210.4整除的四位数可组成多少个能被、用数字例.)()(,4,3
4、,3,0.5222数所表示的不同的圆的个时求方程：、当例rbyaxMrbaM二二.排列及其应用排列及其应用排列定义：排列定义：从从n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m(nm)个元个元素，按照一定的顺序素，按照一定的顺序排成一列排成一列，叫做，叫做从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个排列排列(树图树图).问：一个排列指什么？问：一个排列指什么？排列数：排列数：从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(nm)个元素的个元素的所有排列所有排列的个数，叫做从的个数，叫做从n个不同元素中个不同元素中取出取出m个元素的个元素的排列数排列数，问：所有排列指什么？问：所有排列指
5、什么？排列数公式：排列数公式：从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的排个元素的排列数，记为列数，记为mnP)!(!)1()2)(1(mnnmnnnnPmn!123)2)(1(nnnnPnn1!0 规定：规定：常用方法：常用方法：(1)直接法直接法(2)间接法：间接法：处理处理“至多至多”或或“至少至少”一类问题非常有效一类问题非常有效求其反面求其反面(3)优选法：优选法：部分元素要排在某些部分元素要排在某些特殊位置特殊位置时要时要优先优先予以考虑。予以考虑。(4)排除法：排除法：反面情形较为简单，可计算反面情形再从所有情形反面情形较为简单，可计算反面情形再从所有情形中中减去减去.(5
6、)捆绑法：捆绑法：部分元素要部分元素要连排连排在一起时，可将它们在一起时，可将它们排列后排列后视为视为一个元素再和其它排列一个元素再和其它排列(相邻问题相邻问题).(6)插空法：插空法：某些元素要求隔开或顺序有规定时，可先排其余某些元素要求隔开或顺序有规定时，可先排其余元素元素(不相邻问题不相邻问题)例例2.7人排成一排，其中甲乙两人不相邻的排人排成一排，其中甲乙两人不相邻的排 法有多少？法有多少？例例1.已知集合已知集合A=a1,a2,a3,B=b1,b2,b3,b4,b5,b6,若若A中的不同元素对应到中的不同元素对应到B中的不同象，则这样中的不同象，则这样的映射个数其有的映射个数其有()
7、A.3 B.20 C.64 D.120例例3.7名师生站成一排照相留念，其中老师名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生人，男生4人，女生人，女生2人，在下列情况下，各人，在下列情况下，各自不同站法多少种？自不同站法多少种？(1).两名女生必须相邻而站两名女生必须相邻而站.(2).4名男生互不相邻名男生互不相邻.(3).若若4名男生身高都不等且男生按从高到底名男生身高都不等且男生按从高到底的一种顺序站的一种顺序站.(4).老师不站中间，女生不站两端老师不站中间，女生不站两端.(5).女生甲不站左端，女生乙不站右端女生甲不站左端，女生乙不站右端.例例5.已知甲组有已知甲组有2n人，乙组有人，乙
8、组有n+1人，设从甲人，设从甲组中选出组中选出3人分别参加数理化三科竞赛人分别参加数理化三科竞赛(每科每科限一人参加限一人参加)的选法数是的选法数是x，从乙组中选出从乙组中选出4人人站成一排照相的站法数是站成一排照相的站法数是y，若若x=2y,求求n、x、y.例例4.由由1、2、3、4、5组成没有重复数字的五组成没有重复数字的五位数位数120个，把这些五位数从小到大的顺序排个，把这些五位数从小到大的顺序排列起来。列起来。(1).43251是第几个数是第几个数?(2).写出第写出第93个数个数?二二.组合及其应用组合及其应用组合定义：组合定义：从从n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m(nm)
9、个元个元素并成一组，叫做从素并成一组，叫做从n个不同元素中个不同元素中取出取出m个元素的一个组合个元素的一个组合(树图树图).问：一个组合指什么？问：一个组合指什么？组合数：组合数：从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(nm)个元素的个元素的所有组合所有组合的个数，叫做从的个数，叫做从n个不同元素中个不同元素中取出取出m个元素的个元素的组合数组合数，问：所有组合指什么？问：所有组合指什么？组合数公式：组合数公式：从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的组个元素的组合数，记为合数，记为mnC)!(!)1()2)(1(mnmnmmnnnnPPCmmmnmn10nnnCC规定：规定：组合
10、数的两个性质组合数的两个性质：定理定理1：mnnmnCC定理定理2：11mnmnmnCCC排列排列组合组合顺序问题顺序问题 与元素的顺序有关与元素的顺序有关与元素的顺序无关与元素的顺序无关相同相同 与与相异相异ab与与ba是不同的排列是不同的排列abc与与abd是不同的排列是不同的排列abd与与abd是相同的排列是相同的排列ab与与ba是相同的组合是相同的组合abc与与abd是不同的组合是不同的组合公式公式规定规定排列与组合关系：排列与组合关系：)!(!mnnPmn)!(!mnmnPPCmmmnmn1!0 10nnnCC例例1.从从4个不同元素个不同元素a、b、c、d中取出中取出3个元个元素的
11、排列与组合关系：素的排列与组合关系：组合组合 排列排列 cba abcacbbcabaccabcba dba dca abdadbbdabaddabdba acdadccdacaddacdca dcb bcdbdccdbcbddbcdcb mnCmnPmmmnmnPCP例例1.91.9人分往人分往3 3处劳动，若处劳动，若(1)(1)甲处要甲处要4 4人，乙处要人，乙处要3 3人，丙处要人，丙处要2 2人，有几种分法人，有几种分法.(2)(2)一处要一处要4 4人，一处要人，一处要3 3人，一处要人，一处要2 2人，有几种分法人，有几种分法.例例2.2.从从4 4名男生和名男生和5 5名女生中
12、任选出名女生中任选出3 3名，其中至少男女名，其中至少男女生各一名，则不同取法有生各一名，则不同取法有 ()()A.140 B.80 C.70 D.35A.140 B.80 C.70 D.35例例3.3.在在100100件产品中，有件产品中，有4 4件次品，现任意抽出件次品，现任意抽出5 5件，件，其中至少有其中至少有1 1件是次品的抽法有多少？件是次品的抽法有多少？例例4.4.从四面体顶点和各棱中点共从四面体顶点和各棱中点共1010个点中任取个点中任取4 4个不共个不共面的点，不同取法有面的点，不同取法有 ()()A.150A.150种种 B.147B.147种种 C.144C.144种种
13、D.141D.141种种例例5.105.10名优秀学生名额分到名优秀学生名额分到6 6个班，每班至少一个名额个班，每班至少一个名额的分法有多少种？的分法有多少种？例例6.116.11名学生中有名学生中有5 5名只会英语，名只会英语，4 4名只会日语，名只会日语，2 2人人既会英语又会日语，从中选出既会英语又会日语，从中选出4 4人参加英语比赛，人参加英语比赛，4 4人人参加日语比赛有多少种不同的选参加日语比赛有多少种不同的选 法？法？例例7.7.四个不同的小球放入编号为四个不同的小球放入编号为1 1、2 2、3 3、4 4的四个盒的四个盒 中则中则4 4个有一个是空盒的放法有多少种个有一个是空
14、盒的放法有多少种.例例8.8.从从1、2、3、4、9九个数字中，选出九个数字中，选出3个不同个不同的数字作为的数字作为y=ax2+bx+c的系数且的系数且abc，这种系数有多这种系数有多少种少种例例9.(9.(走路问题走路问题)()(方法方法:数格子数格子)如图在某如图在某城市中城市中MM、N N两地之间有整齐的道路网，两地之间有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿图若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则中路线前进，则MM到到N N不同的走法共有：不同的走法共有：A.25 B.15 C.13 D.10A.25 B.15 C.13 D.10例例10.(10.(组成长方形问题组成长
15、方形问题)()(方法方法:数线数线)如上图可组成多少如上图可组成多少个长方形个长方形.MN三三.二项式定理及其应用二项式定理及其应用nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba1110)(一一.二项式定理及展开式二项式定理及展开式项数项数 杨辉三角杨辉三角二二.二项式定理的通项二项式定理的通项rrnrnrbaCT1是第几项是第几项?是第是第r+1r+1项项二项式系数二项式系数rnC三三.二项式定理展开式的中间项二项式定理展开式的中间项n n为偶数时为偶数时:中间项为中间项为第第n n为奇数时为奇数时:中间项为中间项为第第21212112121 nnnnnnnbaCTT即2221212nn
16、nnnbaCTn项，即项，项或第12121nn212121121 nnnnnnbaCT或中间项中间项的的二项式系数二项式系数最大最大四四.二项式系数二项式系数 的性质的性质nxxf)()(1rnC首先构建一个函数式首先构建一个函数式nnnnnnnnxCxCxCxCCxxf3322101)()(nnnnnnnCCCCCx2113210时则当).(01123210nnnnnnnCCCCCx)().(时则当1531420221nnnnnnnCCCCCC.)(得由nnnnnnnniCiCiCiCCiix33221013)().(时当)sin(cos)sin(cos4424422nininnnnnnrr
17、nrnnnnnnnnxbCbxaCxbaCbxaCaCbxaxf)()()(2222110nnxaxaxaxaa332210结论：结论：42126420nCCCCnnnnncos).(42227531nCCCCnnnnnsin).(五五.区别区别“二项式系数二项式系数”与二项式展开式中与二项式展开式中“某项的系某项的系数数”例如例如nCCCnnnnn求若例218722212221.(1)求展开式：求展开式：的展开式求例8211)(.x六六.二项式定理题型二项式定理题型443322104323xaxaxaxaax)(.若例2312420)()(aaaaa求 4283状例P.22AB,A15Bxn
18、求和为，偶数项之展开式中奇数项之和为已知例)(.(2)求证整除问题求证整除问题：.)(:.整除能被求证例64 983122Nnnn?.天是星期几再过今天是星期二例1002,2(3)证明恒等式证明恒等式1nn3n2n1n2CC3C2C:1nnn求证例.nnCnnn22nn22n21n20n2CCC(C:2!)!()()()().求证例(4)求近似问题求近似问题8599980 2 (1.003)(1).:0.001)(1.).().(精确到求近似值例组合数的两个性质的应用组合数的两个性质的应用 定理定理1：mnnmnCC定理定理2：11mnmnmnCCC例例1：填空：填空 CCC(1).C3100
19、353433 CCC(3).C1020919212111010C CCC(2).C410474645例例2：证明下列恒等式：证明下列恒等式nnmnnmCC1nnm1122m11m0mCCC(1).C1mkm1m2mm1mmmCCC(2).CmkmC 题型nba)(.)各项系数之和系数和第四项的系数及式的展开式的第四项二项求二项式例 2x3-(2x1.72.)有理项的展开式中有多少项是在例10031x(2.x的系数的展开式中在例xx5223(x4.)的系数的展开式中求在例51031x-(13.xx)(【分析】【分析】:列表法分类讨论列表法分类讨论项的系数的展开式中求在例5623x2(15.xx)
20、【方法【方法】:利用利用通项通项与与分解因式列表法分解因式列表法(240)(-168)题型ncba)(.项的系数展开式中求例3328z)-3y(x1.zyx展开式中常数项求例321|x(|2.)|x【小结】【小结】.)()(,)nnrqpncbacbacbac视为把项的系数展开式中含一般地，b(a【方法【方法】:先先任意组合两项任意组合两项或或分解因式列表法分解因式列表法展开式中常数项求例511(x3.)x(-15120)(-20)(-51)rrnrnrcbaCc)().(的项为先找出含有1qpqrnqprnbaCbaba的项为中含再寻找).(2)(nrqpbaCCcbaqpqrnrnrqp其中的项为则含 c r
