1、1成德达才 情理兼修 1 1、组合定义、组合定义:一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素）个元素并成一并成一组组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数个元素的所有组合的个数，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示.mnC2 2、组合数、组合数:3、组合数公式、组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAm!()!mnnCm nm210242322CCCC 计算计算有
2、简洁明快的计算方法吗？有简洁明快的计算方法吗？成德达才 情理兼修 例例1：某小组有4人:派出3人打扫教室地板,可以有多少种不同的选派法?派出1人打水和擦课桌,可以有多少种不同的选派法?思考一:为何上面两个不同的组合数其结果相同?这一结果的组合的意义是什么？同学们能小组探究一下吗？434C414C即派出3人打扫教室地板或派出1人打水和擦课桌都有4种不同的选派法.成德达才 情理兼修 1434CC对应从从4 4位同学中位同学中选出选出3 3位同学位同学构成一个组合构成一个组合剩下的剩下的1 1位同位同学构成一个组学构成一个组合合从从4 4位同学中位同学中选出选出3 3位同学位同学的组合数的组合数34
3、C即：从从4 4位同学中选位同学中选出出1 1位同学的组位同学的组合数合数14C思考二思考二：上述情况加以推广可得组合数怎样的性：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？质？成德达才 情理兼修 mnnmnCC对应从从n n个不同元个不同元素素中选出中选出m m个个构成一个组合构成一个组合剩下的剩下的n-mn-m个个元素构成一个元素构成一个组合组合从从n n个不同元个不同元素素中选出中选出m m个个的组合数的组合数mnC即：从从n n个不同元素个不同元素中选出中选出n-mn-m个个的的组合数组合数mnnC成德达才 情理兼修 一般地,从n个不同元素中取出m个不同元素后,剩下nm个元素,因此从n个不同
4、元素中取出m个不同元素的每一个组合,与剩下的nm个元素的每一个组合一一对应,所以从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数,等于从这n个元素中取出nm个元素的组合数.即 这就是我们今天学习的组合数的第一个性质.性质性质1成德达才 情理兼修 mn mnnCCmn mnnCC性质性质1 1的证明的证明 说明：说明：2 2、为了使性质、为了使性质1 1在在m mn n时也能成立时也能成立,规定规定例如例如:20191201920182019201920182019CCC成德达才 情理兼修 01nC 3xynnCC、xyxyn 或或1 1、为简化计算、为简化计算,当当m m 时时,通常将计算通常将计算
5、改为计算改为计算 2nCmnCn mn 练习：练习：（1）计算：810C=45 x=6或7=190 成德达才 情理兼修 （2）已知：725225xxCC,求x 414ttCCtC20（3）已知：,求例例2 2：一个口袋内装有大小相同的一个口袋内装有大小相同的7 7个白球和个白球和1 1个黑球个黑球（1 1）从口袋内取出）从口袋内取出3 3个球个球,共有多少种取法？共有多少种取法？（2 2）从口袋内取出）从口袋内取出3 3个球个球,使其中含有使其中含有1 1个黑个黑 球球,有多少种取法？有多少种取法？（3 3）从口袋内取出）从口袋内取出3 3个球个球,使其中不含黑球使其中不含黑球,有多少种取法？
6、有多少种取法？解：解：我们发现：我们发现：这是为什么呢这是为什么呢?成德达才 情理兼修 5638C2127C 3537C372738CCC 我们可以这样解释我们可以这样解释:从口袋内的从口袋内的8 8个球中所取出的个球中所取出的3 3个球个球,可以分为两可以分为两类类:一类一类含有含有1 1个个黑球黑球,一类一类不含有不含有黑黑球球.因此根据分类计数原理因此根据分类计数原理,上述等上述等式成立式成立.思考思考：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？成德达才 情理兼修 372738CCC1211,1nmna aanmC 一一般般地地，从从这这个个不不同同的
7、的元元素素中中取取出出个个元元素素的的组组合合数数是是，11aa这这些些组组合合可可分分成成两两类类：一一类类含含有有，一一类类不不含含有有，1231,nmnaaaanmC 不不含含的的组组合合是是从从这这 个个元元素素中中取取出出个个元元素素组组成成的的，共共有有个个 123111,1nmnaaaanmaC 含含有有的的组组合合是是从从这这 个个元元素素中中取取出出个个元元素素与与组组成成的的，共共有有个个；由由分分类类计计数数原原理理，得得 性质性质2 2成德达才 情理兼修 性质性质2 2的证明的证明 成德达才 情理兼修 CCmnmn1 :证明)!1()!1(!)!(!mnmnmnmn)!
8、1(!)1(!mnmmnmnn)!1(!)1(mnmnmmn!)1(!)!1(mnmn.1Cmn 注注:1:1 公式特征公式特征:下标相同而上标差下标相同而上标差1 1的两个组合数之的两个组合数之和和,等于下标比原下标多等于下标比原下标多1 1而上标与原组合数上标较大而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数的相同的一个组合数 2 2 此性质的作用此性质的作用:恒等变形恒等变形,简化运算简化运算.3 3 等式体现：等式体现：“含与不含某元素含与不含某元素”的分类思想的分类思想.11()()mnnmmnaCCaC含含素元素不元成德达才 情理兼修 mnCmnC89999099CC920041020
9、05CC变式一：90100C102004C899990100-CC变式二：9099C90899999CC练习：练习：化简（用化简（用 形式表示）形式表示）成德达才 情理兼修 例例 3 计算计算332898(3).2CCC成德达才 情理兼修 例例4 成德达才 情理兼修 222223410CCCC计算；作业：（1）已知 ,C12=C11+C11 7 7 x x则则3n 6421818C,nnC（2）若则69584737CCCC(3)计算计算（4）2100252423AAAA 计算计算成德达才 情理兼修 计算：计算：69584737CCCC解：解：原式原式 34567789()CCCC568489CCC568489()CCC6959CC610C410C10 9 8 72104!成德达才 情理兼修 2 2、数学思想：、数学思想：mn mnnCC11mmmnnnCC C1 1、组合数的两个性质、组合数的两个性质从从特殊到一般特殊到一般的归纳思想的归纳思想取法与剩法的取法与剩法的一一对应一一对应的思想的思想.(3)含与不含其元素的分类思想成德达才 情理兼修 再见成德达才 情理兼修
