1、calculus微积分 第三章导数与微分13.1 导数的概念导数的概念3.2 求导基本公式与求导运算法则求导基本公式与求导运算法则3.3 微分微分3.4 高阶导数和高阶微分高阶导数和高阶微分第三章第三章 导数与微分导数与微分3.5 边际与弹性边际与弹性本章计划课时本章计划课时:14课时课时calculus微积分 第三章导数与微分23.1 导数导数的的概念概念0().f ttt设S表示一物体从某个时刻开始到时刻t作直线运动所经过的路程，则s是时刻t的函数S=求时的瞬时速度。00tttt当时间由 改变到时，物体 这段时间内所经过的距离为引例引例1、变速直线运动的瞬时速度、变速直线运动的瞬时速度00
2、()()Sfttft 一、引例一、引例calculus微积分 第三章导数与微分3（1）当物体作匀速运动时000()()f ttf tsvtt（2）当物体作变速运动时00stttvt表示从 到这一段时间的平均速度0tvv 很小时，t且越小，近似程度越好calculus微积分 第三章导数与微分400limtstt当时，如 果存 在00000lim()()limttsvtfttftt 则引例引例2 2 平面曲线切线的斜率平面曲线切线的斜率 在点在点求曲线求曲线L：)(xfy ),(00yxM处切线的斜率。处切线的斜率。割线割线 MN 的斜率为：的斜率为：tanxxfxxf)()(00 xy calc
3、ulus微积分 第三章导数与微分5割线割线 MN 的极限位置的极限位置 MT 称为称为 曲线曲线 L 在点在点 M 处的切线。处的切线。tantanlim0 x切线切线 MT 的斜率为的斜率为：xyx 0lim xxfxxfx )()(lim000 tan k )(0 xf0 x 当当时时,calculus微积分 第三章导数与微分6000()()()10yf xxyf xxf xxx 定义：设函数在点 处的某邻域内有定义，如果函数的改变量与自变量的改变量的比值当的极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000的表达方式有四种等价处的导数，也叫微商，在点函数称为处可导，而上述极限就在点存在
4、，则称00)()(xxfxxf二、导数的定义二、导数的定义calculus微积分 第三章导数与微分7000|;|)(;|);(0 xxxxxxdxdydxxdfyxfxxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000即calculus微积分 第三章导数与微分83,(2)yxf已知求例.0(2)(2)(2)limxfxffx 解330(2)2limxxx 230126lim12xxxxx calculus微积分 第三章导数与微分93,()yxfx已知求例.0()()()limxf xxf xfxx 解330()limxxxxx 2230233lim3xxxx xxxx calculus微
5、积分 第三章导数与微分102()3fxx3()f xxdomfdomf calculus微积分 第三章导数与微分11()(,)(,)2f xa bxa bx如果函数在区间内的每一点处都可导，即对内的每一点，都对应着一个确定定义：的导数值xxfxxfxfx)()(lim)(0上的导函数，简称导数在区间数上可导，上述极限为函在区间则称),()(),()(baxfbaxfcalculus微积分 第三章导数与微分12三、导数的几何意义三、导数的几何意义0,0()M x y切线曲线在点处方程为：000()()yyfxxx0001()()yyxxfx 000()()(,)fxyfxMxy是曲线在点处的切线
6、斜率0,0()M x y法线曲线在点处方程为：calculus微积分 第三章导数与微分13四、单边（侧）导数四、单边（侧）导数00000()()0()()030yf xxxxxxyf xxf xxxx 设函数在点 处的某左邻域，（）内有定义，如果函数的改变量与自变量的改变量（）定义：的比值当的极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000）（记为处的左导数在点称为函数就处左可导，而上述极限在点存在，则称000,)()(xfxxfxxfcalculus微积分 第三章导数与微分14xxfxxfxfx)()(lim0000）（即：处的右导数同样，也可以定义点0 xxxfxxfxfx)()(li
7、m0000）（等处的左右导数存在并相在点函数是：处可导的充分必要条件在点函数00)()(xxfxxfcalculus微积分 第三章导数与微分15六、用定义求导数举例六、用定义求导数举例00000000)()(lim)()()(lim)(0 xxxfxfxfxxxxxfxxfxfxxx则上式简化为中设在导数定义式同样单边导数定义式也可简化为：000000)()(lim)()()(lim)(00 xxxfxfxfxxxfxfxfxxxxcalculus微积分 第三章导数与微分16例例1.求函数求函数Cy(常数常数)的导数的导数.x)x(f)xx(flimx 0)x(f 解解00 xCClimx 0
8、 C常数的导数等于零常数的导数等于零例例2.求函数求函数)(Nnxyn的导数的导数.解解()fx0()()limxf xxf xx 0()limnnxxxxx 12201(1)lim()2!nnnnnxn nxnxxxxxxx 1nnx1 nnnx)x(calculus微积分 第三章导数与微分17()lnxxaaa因此，指数函数的导数()xxee特别地，)10(aaayx且例例3.求指数函数求指数函数的导数的导数.()fx0()()limxf xxf xx 0limxxxxaax 0(1)limxxxaax ln0(1)limlnlnxxaxaeaxa lnxaa解解calculus微积分 第
9、三章导数与微分18例例4.设设()log (0,1),afxxaa求求()fx解解0()()limhf xhf xh()fx0log()loglimaahxhxh01limlog1ahhhx10limlog1xh xahhx1logaex1lnxa1(log)lnaxxa 1(ln)xx 特别地特别地,calculus微积分 第三章导数与微分19例例5.设设()sin,fxx求求()fx解解0()()limxf xxf xx()fx0sin()sin()limxxxxx 02sin2limcos2xxxxx cosx(sin)cosxx 正弦函数的导数等于余弦函数正弦函数的导数等于余弦函数.类
10、似得类似得,(cos)sinxx余弦函数的导数等于负的正弦函数余弦函数的导数等于负的正弦函数.calculus微积分 第三章导数与微分2000000000()()lim()()()()limhhf xahf xbhchf xahf xf xbhf xch因此：解解例例6.chbhxfahxfAxf，xxxfh)()(lim,)()(00000求极限且处可导在设函数0000()()()limhf xhf xfxAh由于calculus微积分 第三章导数与微分2100000()()()()limhf xahf xf xbhf xabcahcbh00()()abfxfxcc()A abccalcul
11、us微积分 第三章导数与微分22注：分段函数分段点的导数必须用定义求注：分段函数分段点的导数必须用定义求()0(0)0f xxf所以在处可导，且例例7.设函数设函数).0(,0,00,1sin)(2fxxxxxf求解解因为0sinlim0)0()(lim1200 xxxfxfxxxcalculus微积分 第三章导数与微分230()(0)(0)lim0 xf xffx20limxxxx例例8.解解处是否可导在试讨论函数00),1ln(0,)(2xxxxxxxf处的左右导数在点必须先求所以处两侧的表达式不同因为在点0)(0 xxf，xcalculus微积分 第三章导数与微分240()(0)(0)l
12、im0 xf xffx0ln(1)limxxx1()0(0)1f xxf所以在处可导，且0lim11xx calculus微积分 第三章导数与微分25例例.求函数求函数|)(xxf在在0 x处的导数处的导数.解解|x|)x(f 00 x,xx,x000 x)(f)x(flimx)(f0 xxlimx00 1 000 x)(f)x(flimx)(f0 xxlimx00 1)(f0 )(f0 所以所以,函数函数|)(xxf在在0 x处不可导处不可导.思考思考000()()()?fxfxfx什么情况下必须用左右导数，来确定calculus微积分 第三章导数与微分26五、可导性与连续性的关系五、可导性
13、与连续性的关系若函数若函数()yf x在在0 x处可导处可导,则必连续则必连续.事实上事实上,因因()yf x在在0 x处可导处可导,即即00()limxyfxx 0limxy 0limxyxx 00limlimxxyxx 0定理定理2.1所以所以,函数函数()yfx在在0 x处连续处连续.calculus微积分 第三章导数与微分27例例.求函数求函数|)(xxf在在0 x处的导数处的导数.解解|x|)x(f 00 x,xx,x000 x)(f)x(flimx)(f0 xxlimx00 1 000 x)(f)x(flimx)(f0 xxlimx00 1)(f0 )(f0 所以所以,函数函数|)
14、(xxf在在0 x处不可导处不可导.0问题：连续是否一定可导？calculus微积分 第三章导数与微分281,0()1,0 xxf xxx例：1-1calculus微积分 第三章导数与微分29xy020()0 xxf xxx例 已知.()0(0)f xxf在处连续，但不存在13()f xx例 已知.()0(0)f xxf在处连续，但不存在calculus微积分 第三章导数与微分30函数在其可导的点处一定连续函数在其可导的点处一定连续函数在其不连续的点处一定不可导函数在其不连续的点处一定不可导函数在其连续的点处不一定可导函数在其连续的点处不一定可导结论结论calculus微积分 第三章导数与微分
15、3100220lim()limxxxxf xxx000lim()lim()xxxxf xaxbaxb200()f xx方法一：方法一：.,)(0002baxxxxbaxxxxxf求处可导在设函数例例9.解解而处也必连续在点所以处可导因为在点，xxxf，xx00)(calculus微积分 第三章导数与微分320220000()lim2xxxxfxxxx000()()limxxaxbaxbaxx000()()2fxfxax由，得2002axbx 综上可得，200 xaxb所以200,(),xxxf xaxb xx02000()()limxxaxbxfxxxcalculus微积分 第三章导数与微分3
16、3方法二：方法二：000()(),()f xxxfxfx因为在点处可导，所以都存在且相等0220000()lim2xxxxfxxxx02000()()limxxaxbxfxxx而存在020lim()0 xxaxbx由极限性质知，一定有200bxax推得：calculus微积分 第三章导数与微分340220000()limxxaxxaxxfxxx从而000()limxxa xxaxx2002,ax bx 故.00,00,1sin)(处可导在函数为何值时当xxxxxxf，kk例例10.calculus微积分 第三章导数与微分351sinx是有界变量1011(0)limsin0()0kxkfxxf
17、xx当时，存在即在处可导1011(0)limsin()0kxkfxf xxx当时，不存在，在处不可导解解xxxxfkxxkx1sinlim0sinlim)0(1010calculus微积分 第三章导数与微分363.2 求导基本公式与求导运算法求导基本公式与求导运算法则则)()()()()()(1xvxuxvxuxvxu和或差也可导，且都可导，则它们的和：如果函数法则)()()()()()()()(2xvxuxvxuxvxuxvxu乘积也可导，且都可导，则它们的和：如果函数法则一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则calculus微积分 第三章导数与微分37vuvuvu)(证证:设,)()()
18、(xvxuxf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)()(xu)(hxv推论推论:)()1uC)()2wvuuC wvuwvuwvu机动 目录 上页 下页 返回 结束(C为常数)calculus微积分 第三章导数与微分38)()()()()()()(0)()()(32xvxvxuxvxuxvxuxvxvxu则它们的商也可导，且都可导，且和：如果函数法则()(),()u xfxv x证 明：设根 据 导 数 定 义0()()()limxf xxf xf
19、xx 01()()lim()()xu xxu xx v xxv x calculus微积分 第三章导数与微分3901()()()()lim()()xu xx v xu x v xxxv xx v x 01 ()()()()()()lim()()xu xxu x v xu x v xxv xxv xx v x 0()()lim()()xuvv xu xxxv xx v x 2()()()uv xu x vvx证毕证毕.calculus微积分 第三章导数与微分4021()1()()vu xv xvx特别地，当时，有calculus微积分 第三章导数与微分41的导数求多项式nnnnaxaxaxay1
20、1101110)()()()(nnnnaxaxaxa1110)()()(xaxaxannn12110)1(nnnaxnanxa例例1.1110)(nnnnaxaxaxay解解calculus微积分 第三章导数与微分42解解:xsin41(21)1sin,)1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23(xx)1xy1cos4)1sin43(1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.calculus微积分 第三章导数与微分43xxxylncos3求y解解y)lncos(3
21、xxxxxxlncos)(3xxxln)(cos3)(lncos3xxxxxxlncos32xxxln)sin(3xxx1cos3xxxlncos32xxxlnsin3xx cos2例例3.calculus微积分 第三章导数与微分440 xnxyn为正整数，的导数，其中求函数1)(nnxxynnnnxnxxx212)(1nnx例例4.解解calculus微积分 第三章导数与微分45的导数求函数xytan)cossin()(tanxxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sinxxx222cossincosx2sec解解例例5.calculus微积分 第三章导数与微分46常用公式：常用
22、公式：2(cot)cscxx(sec)sec tanxxx(csc)csc cotxxx calculus微积分 第三章导数与微分47二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则(),0,1()()()xyyf xyyf xfxy法则四：设函数（）可导，且存在直接反函数（）则其直接反函数也可导，且()(),(),()(),()()()yf xxf xyf xyyf xxxy xxyyxyyy 证明：令则因 ，从而复习反函数复习反函数calculus微积分 第三章导数与微分48()000,yxy 又因为，因此时，必有所以0()()()limxf xxf xfxx 01limxxy 01lim()()
23、yyyyy 1()y1()()fxy因此calculus微积分 第三章导数与微分49的导数求反正弦函数xyarcsin因此的反函数为),22(sinarcsinyyxxyyyxcos1)(sin1)(arcsin2211sin11xy211arccosxx）同理（解解例例5.calculus微积分 第三章导数与微分50的导数求反正切函数xyarctan因此的反函数为),22(tanarctanyyxxyyyx2sec1)(tan1)(arctan2211tan11xy211cotxxarc）同理（解解例例6.calculus微积分 第三章导数与微分51三、基本导数的公式三、基本导数的公式)(0
24、)(1为常数、CC12()()aaxaxa、为任意实数的情形将在复合函数导数中介绍xxxxeeaaaaa)()1,0(ln)(3特别地、xxaaaxxa1)(ln)1,0(ln1)(log4特别地、calculus微积分 第三章导数与微分52xxcos)(sin5、xxsin)(cos6、xx2sec)(tan7、xx2csc)(cot8、xxxtansec)(sec9、xxxcotcsc)(csc10、calculus微积分 第三章导数与微分53211)(arcsin11xx、211)(arccos12xx、211)(arctan13xx、211)cot(14xxarc、xx21)(15、2
25、1)1(16xx、calculus微积分 第三章导数与微分542cosyx 由导数的几何意义知由导数的几何意义知,所求切线的斜率为所求切线的斜率为:0 xyk202(0)yx所求切线方程为所求切线方程为:即即2yx所求法线方程为所求法线方程为:10(0)2yx 即即12yx 解解例例7.)0,0(交点坐标为方程轴交点处的切线与法线与求曲线yxysin2calculus微积分 第三章导数与微分55xysinxycossin2yx(sin2)yx?(sin2)cos2yxx22(sin2)(2sin cos)2(sin)cos2sin(cos)2cossin2cos2yxxxxxxxxxxGues
26、s(sin2)cos2(2)2cos2yxxxx()()()fxfxx四、复合函数求导法则四、复合函数求导法则calculus微积分 第三章导数与微分56sin2sin2yxyu uxdydy dudxdu dxcos22cos2dydy duuxdxdu dxyyuxux236dydudydudxdx()()()fxfxxcalculus微积分 第三章导数与微分5732()()()()()()()()()()3()()dyf xfx f x f xdxf x fx f xf x fx f xfx fx()()()fxfxxcalculus微积分 第三章导数与微分58法则法则5(连锁法则连锁法
27、则)可导，且其导数为在点可导，则复合函数在点可导，而在点如果xxfyxuufyxxu)()()()()()()(xxfxfdxdududydxdy或Outfunctioninnerfunctionyuxcalculus微积分 第三章导数与微分59证证)(ufy 在点在点)(xu可导可导，由由知)(lim0ufuyu由极限与无穷小关系知由极限与无穷小关系知),(ufuy0lim0u于是于是yuuuf)(calculus微积分 第三章导数与微分60 xyxuxuuf)(xyx0limxuufx0lim)(xux0limdxdy即即dxdududyxuf)()(calculus微积分 第三章导数与微
28、分61解解.2sin).1(xy,sinuy 2xu dxdydudydxduucosx22cos2xx例例1 求下列函数的导数2sin)1(xy xytanln)2(calculus微积分 第三章导数与微分62xytanln).2(,lnuy xutandxdydudydxdux2secxxtansec2u1)tan(lnxy)(tantan1xxxx2sectan1xxtansec2更简明更简明的过程的过程()()()fxfxxcalculus微积分 第三章导数与微分63的导数求函数52)21(xydxdududydxdy解解例例2.52)21(xy5uy 221xuxu45442)21(
29、20 xx)21(52xy)21()21(5242xxxx4)21(54242)21(20 xx更简明更简明的过程的过程calculus微积分 第三章导数与微分64的导数为实数求幂函数)(axya因此复合函数的和则它就是将函数表示为.ln,lnxaueyeyuxa)(lnxaey解解例例3.xaxa)ln(lnxaexa1aaxcalculus微积分 第三章导数与微分65例例4.的导数求xyln解解,1,ln,0 xyxyx时当xxxyxyx1)(1,ln,0此时时当xx1ln所以calculus微积分 第三章导数与微分663211Find the derivative of yxx12332
30、42234231()(1)11(1)(1)31(1)(21)3yxxxxdxxxxdxxxx Examplecalculus微积分 第三章导数与微分671()()()()()ln()1log()()()lnnng xg xaremarkdg xn g xg xdxdaaa g xdxdg xg xdxg xacalculus微积分 第三章导数与微分68复合函数的求导法则可以推广到多重复合的情形复合函数的求导法则可以推广到多重复合的情形.)(xfy设设),(ufy),(vu)(xvdudy dxdudxdvdxdy则则)()()()(xxxfxf或或yuvxdudydvducalculus微积分
31、 第三章导数与微分69例例.)cos(lnxey 求dxdy解解)cos(lnxey,lnuy,cosvu.xev u1xexxxeeecossin.tanxxee)sin(vdudy dvdu dxdv dxdycalculus微积分 第三章导数与微分70更简明更简明的过程的过程)cos(lnxey)(cos()cos(1xxee)()sin()cos(1xxxeeexxxeee)sin()cos(1.tanxxeecalculus微积分 第三章导数与微分71例例622arccosxy求dxdy解解dxdy2arccos2arccos2xx22112arccos22xxx.42arccos2
32、2xxcalculus微积分 第三章导数与微分72例例7)ln(22axxy求yy2222)(axxaxx2222222)(1axxaxax221ax 解解2222221axxaxxcalculus微积分 第三章导数与微分73例例8 8.arcsin22222的导数的导数求函数求函数axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0(a22222211222221()xxaaaxxaxacalculus微积分 第三章导数与微分74形如形如，)(xfy 的函数称为的函数称为显函数显函数.0),(yxFxy若若与与的函数关
33、系由方程的函数关系由方程所确定所确定,称这类函数为称这类函数为隐函数隐函数.五、隐函数求导法五、隐函数求导法013 yx31xy2225xy225yx 336xyxycalculus微积分 第三章导数与微分75求导方程两边同时对xxyxyy2233因此解解33yxyyx的导数求隐函数例例9 2233xyyyyx)()(33xyyx2233xyyxyyxcalculus微积分 第三章导数与微分76,0yxyexyy的函数，求是确定已知方程yexyy所以解解例例10yyxye y0求导方程两边同时对xcalculus微积分 第三章导数与微分771|12coslnxxydxdyxxxye处的导数在点
34、求隐函数求导，得：方程两边同时对x22sinln)(xxyxyxyyey0|1xdxdy所以解解例例1101yx时，由原方程可得当001yyx代入上述方程可得，将calculus微积分 第三章导数与微分78六、对数求导法六、对数求导法两类函数)0(.1sinxxyx?y2.)4)(3()2)(1(xxxxy有简便求有简便求?ycalculus微积分 第三章导数与微分79)4)(3()2)(1(xxxxyuuu)ln(21lny对 x 求导21yy两边取对数2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x例例12calculus微积分 第三章导数与微分8021lny对 x 求导21yy)
35、4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41xcalculus微积分 第三章导数与微分813(21)(16.32)(3)xxyx求函数例的导数1lnln(21)ln(32)3ln(3)2yxxx 在函数两边同时取对解数33233122211xxxyyx求导，得等式两边同时对calculus微积分 第三章导数与微分82例例13 求)0(sinxxyx的导数.解解 两边取对数,化为隐函数xxylnsinln两边对 x 求导yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyxcalculus微积分 第三章导数
36、与微分83解法解法2 将函数化为复合函数xxysinxxelnsin)ln(sinlnsinxxeyxx)1sinln(cossinxxxxxx)sinln(cossinxxxxxxcalculus微积分 第三章导数与微分84例例12dydxdxdy，xyxyyx,求的函数是确定方程解解 两边取对数 xyyxlnln对 x 求导xyxyyyxyln1lncalculus微积分 第三章导数与微分8522lnlnyyxyyyxxyx解出，得xxyxyxyydxdylnln22即yxyyxxyxdydxlnln22而calculus微积分 第三章导数与微分86)(tss 速度即sv加速度,ddtsv
37、 tvadd)dd(ddtst即)(sa引例引例：变速直线运动机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.4 高阶导数高阶导数calculus微积分 第三章导数与微分87的二阶导数的导数为称二阶可导，也可导，则称如果导函数的函数，仍然是的导数一个函数)()()()()()(xfxfxfxfxxfxfy)()(2222dxdydxddxfddxydxfy 记作：记作：二阶导数的导数，叫做二阶导数的导数，叫做三阶导数三阶导数，记作：记作：)()(223333dxyddxddxfddxydxfy calculus微积分 第三章导数与微分88三阶导数的导数，叫做三阶导数的导数，叫做四阶导数四阶导数，记作：
38、记作：,)4(y),()4(xf44dxyd44dxfd或或)1(n阶导数的导数，叫做阶导数的导数，叫做n阶导数阶导数，记作：记作：)()(11)()(nnnnnnnndxyddxddxfddxydxfy函数函数)(xfy 有有n阶导数，阶导数，也说函数也说函数)(xfy 为为n阶可导阶可导。二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。calculus微积分 第三章导数与微分89sin1.yxn例求的 阶 导 数sinyx 对一阶一阶求导解，依次有)2sin(cosxxy)sin(sin xxy)23sin(cos xxy)2sin(sin)4(xxy()()(si
39、n)sin()2nnnyxx从而calculus微积分 第三章导数与微分90()()(sin)sin()2nnnyxx从而()sin()2nnxx类似地(coscalculus微积分 第三章导数与微分912.xyan例求的 阶 导 数lnxyaa解 2)(ln aayx3 )(ln aayxnxnaay)(ln)(calculus微积分 第三章导数与微分923.xyxen例求的 阶 导 数(1)xxxyexeex解 )2()1(xeexeyxxx)3()2(xeexeyxxx)()(nxeyxncalculus微积分 第三章导数与微分9312()(1)()Solutiynaoxxa()1!(1
40、)()nnnnyxa Thus()1()()nIf f xfind fxxExa pam le3(1)(2)()yxa 4(1)(2)(3)()yxa calculus微积分 第三章导数与微分94n4.l()yxan求的例阶导数1yxa解 2)(1axy3 )(2axy4)4()(23axynnnaxny)()!1()1(1)(从而calculus微积分 第三章导数与微分95215.32ynxx例求的 阶导数1112yxx 函数可以转化为解)2(!)1(!)1(411)(nnnnxnxny可得：由例calculus微积分 第三章导数与微分96()11nExamplxIf yfind yxexy
41、1211)()1(!)1(2nnnxnycalculus微积分 第三章导数与微分972012()6.nnf xaa xa xa x讨论多项式 例 的高阶导数112()2nnfxaa xna x解 232)1(232)(nnxannxaaxf33 )2)(1(23)(nnxannnaxfnnnanannnxf!123)2)(1()()()(0)()(nkxfk calculus微积分 第三章导数与微分98二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则都有 n 阶导数,则)()(.1nvu)()(nnvu)()(.2nuC)(nuC(C为常数)()(.3nvuvun)(!2)1(nn!)1()1(k
42、knnn vun)2()()(kknvu)(nvu莱布尼兹莱布尼兹(Leibniz)公式公式)(xuu 及)(xvv 设函数vunn)1(推导 目录 上页 下页 返回 结束 calculus微积分 第三章导数与微分99vu 3)(vuvuvu)(vu)(vuvuvuvu 2vu )(vuvu vu 3vu 用数学归纳法可证莱布尼兹公式莱布尼兹公式成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 calculus微积分 第三章导数与微分100例例.,22xexy 求.)20(y解解:设,22xveux则xkkeu2)(2,2xv,2 v0)(kv代入莱布尼兹公式,得)20(yxe22022xxe2192
43、20 x2!219202xe2202)9520(2xxxe2182)20,2,1(k)20,3(k机动 目录 上页 下页 返回 结束 calculus微积分 第三章导数与微分1012sin810.yxx求的例阶导数2()sin,sin(),22,2,nnux vxuxvx vvLeibniz 设则的三阶及三阶以上的导数均为零，故由解公式，)10()10()(uvy21102109sin(5)sin()22sin(4)2xxCxxCxxxxxcos20sin)90(2calculus微积分 第三章导数与微分102221yd yIf yxefinExampdxled,1yyyyDifferenti
44、ating theequationimplicitywith respect to x we getyexe ySolving for y giSolutioveexnsyecalculus微积分 第三章导数与微分1032222231()1()(1)(1)(1)(1)()(2)(1)(1)yyyyyyyyyyyyyyyyyyeyxed ydethusdxdxxeexeexexee yxee exe yxe exexecalculus微积分 第三章导数与微分10422120cos(9.)1|xyd yxyx yyxdx若方程确定的函数例是，求2sin()()(2)0()xxyyxyxyx y 方
45、程两边同时对 求导解0)1(01yyx，得代入到，将（）求导式两边同时再对0)222()(sin()(cos()1(2 2yxxyxyyxyyyxyxyyxyxcalculus微积分 第三章导数与微分1051,0,020 xyyy再 将代 入 到（）式，得 0|0122yxdxyd即calculus微积分 第三章导数与微分106Linear Approximations and Differentials0000000000(),(,()()()()()()()()()f x is a differentiable function thetangentline of f at xf xisy
46、f xfxxxThe approximationf xf xfxxxis called thelinear approximation or tangent lineapproximation of f at xx is near xThelin0000()()()()ear functionL xf xfxxxis called the linearization of f at x0 x00(,()xf x()f x()L xxcalculus微积分 第三章导数与微分1073.3 微分微分calculus微积分 第三章导数与微分1080 xx0 xx引例引例.一块正方形金属薄片受温度的影响
47、一块正方形金属薄片受温度的影响,0 x其边长由其边长由变到变到,0 xx问此薄片的问此薄片的面积改变了多少面积改变了多少?2xS 面积的改变量：面积的改变量：S 2020 x)xx(202)x(xx 一、微分的引进一、微分的引进calculus微积分 第三章导数与微分109二二、微分的定义微分的定义0000()0()()()yf xxxxxyf xyf xxf xA xa x 函数在点 的某邻域内有定义，如果对自变量 在点 出的改变量（），函数相应的改变量可以表示为 S包含两部分02xxx是的线性函数2()0 xxx当时是比高阶无穷小量yxxxf)(0calculus微积分 第三章导数与微分1
48、100000000()()|()|x xx xx xAxxaxyf xxA xyf xxdydf xdyA x 其中，是只与 有关而与无关的常量，是当时的无穷小量，则称函数在点处可微，称为函数在点 处的微分记为或即0000()(|1)()x xyf xxyf xxdyf xx函数在点 处可微的充要条件是函数在点 处可导 且理：，定calculus微积分 第三章导数与微分111证证(必要性必要性)0()yf xxA设在 处可微，根据定义，一定存在数和无穷小量,使得：yA xx yAx从而0limxyAx 两边取极限可得：0()Afx即00()xxdyfxx因 此calculus微积分 第三章导数
49、与微分112(充分性充分性)设函数设函数0 x)(xfy 在点在点处处可导可导,即即xyx0lim).(0 xf xy )x(f0)lim(x00 y xx)x(f 0)x(ox)x(f 0)(0 xf 与与x无关无关,)x(o 是较是较x高阶的无穷小高阶的无穷小.所以函数所以函数0 x)(xfy 在点在点处处可微可微.且且).(0 xfAcalculus微积分 第三章导数与微分113说明说明:0)(0 xf时,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x时yyd很小时,有近似公式xyyd与是等价无穷小,当故当机动
50、目录 上页 下页 返回 结束 calculus微积分 第三章导数与微分11400000()()()()lim0 xyf xxf xdyfxxydyyfxxx (,()x f xxxxydycalculus微积分 第三章导数与微分115(),(),()()()()(),yf xa bxf xa bfx dxf xdydf xdyfx dxdyfxdx如果函数在区间内每一点 处都可微，则称在区间内可微，称为的微分，记为或即 而导数也叫微商注意：注意：1yxy当时，0 xxdydxyxx 0()dyfxdx于是有calculus微积分 第三章导数与微分11632()21()22.05()22.01E
