1、江西财经大学 统计学院 学过数列极限概念后，自然会产生两个3 数列极限存在的条件 一、单调有界定理 下面就极限存在性问题,介绍两个重要定理.二、柯西收敛准则理论中占有非常重要的地位.极限?其中,判断数列是否收敛,这在极限即极限的存在性问题;二是如何计算数列的问题：一是怎么知道一个数列是收敛的?江西财经大学 统计学院一、单调有界定理定理定理 2.7 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.证证 该命题的几何意义是十分明显的该命题的几何意义是十分明显的.na不妨设不妨设单调增，有上界单调增，有上界.由确界定理，存在由确界定理，存在sup.na 由上确界的定义，对于任意的由上确界的定义，对于任意的
2、,0 使使存在存在0,na0.na0(),nnN故当时故当时 ()x0na)(0nnan 江西财经大学 统计学院例例1 设设12,222,nnaa 求求lim.nna1122nnnnaaaa1,nnaa 则有则有2210.22,;naaaa显然因故设显然因故设解解0,nnaa这就证明了这就证明了lim.nna 110,22nnnnaaaa 江西财经大学 统计学院222,1.AAAA ，并解出，并解出na由此得到由此得到有上界有上界 2,lim.nnaA 故极限存在故极限存在lim2.nna 12222.nnaa 1,22,a 显然显然2,na 设则设则由极限的不等式性由极限的不等式性,知道知道
3、 ,所以所以0A.递递增增所所以以na下面再来证明此数列有上界下面再来证明此数列有上界.于是由于是由1limlim2,nnnnaa 可得可得江西财经大学 统计学院例例2 下面的叙述错在哪儿？下面的叙述错在哪儿？.2211nnnaa因为显然有因为显然有0,.nnaa 所以递增所以递增lim,nnaA 设设2,1,2,nnan“设设则则20,AAAlim 20.nn 即即”从而得出从而得出e.介介绍绍另另一一个个重重要要的的无无理理数数 以以前前知知道道圆圆周周率率是是一一个个重重要要的的无无理理数数,现现在在来来江西财经大学 统计学院 1(1)nnen考考察察数数列列的的收收敛敛性性,下下面面的
4、的证证法法利利用用二二项项式式展展开开,得得1121(1)(1)(1),(1)!nnnnn是最基本的是最基本的,而教材上的证法技巧性较强而教材上的证法技巧性较强.21(1)1(1)1 112!nnn nn nennnnn1111121(1)(1)(1)1!2!3!nnn江西财经大学 统计学院112(1)(1)(1).(1)!111nnnnn由此得由此得11nne的的前前项项小小,而而的的最最后后一一项项大大于于零零.因因此此1,nnneee把把和和的的展展开开式式作作比比较较就就可可发发现现的的展展开开11111121(1)(1)(1)1!2!13!11nennn1121(1)(1)(1)!1
5、11nnnnn11nne式式有有项项,其其中中的的每每一一项项都都比比的的展展开开式式中中江西财经大学 统计学院1,1,2,.nneene n从从而而是是单单调调增增数数列列,且且11111.(2)1!2!3!nen21111113,222nne 由由此此.lim.nnnee这这就就证证明明了了又又是是有有界界数数列列 于于是是存存在在e,记记此此极极限限为为即即1elim(1).nnn江西财经大学 统计学院*例例311111,1,2,1!2!3!nsnn设设21111113,222nns 证证ns显显然然是是单单调调增增数数列列,且且由由例例2 2中中的的(2)(2)式式,lim,nns因因
6、此此存存在在且且由由极极限限的的保保不不等等式式性性elimlim.nnnnes111111!2!3!nenlime.nns证明证明:江西财经大学 统计学院1121(1)(1)(1),!mmnnn,n因因此此 在在上上式式中中两两边边令令得得,nm又又对对任任意意1111121(1)(1)(1)1!2!3!nennn1121(1)(1)(1)!nnnnn1111121(1)(1)(1)1!2!3!nnn江西财经大学 统计学院.1111elim11!2!3!nmnesm,m 当当时时 由由极极限限的的保保不不等等式式性性,elim.mms从从而而1111elimlim(1).1!2!3!nnns
7、n1111elim(1),1!2!3!nn由由公公式式可可以以较较快快e.地地算算出出 的的近近似似值值江西财经大学 统计学院由由于于1110,(1)!(2)!()!n mnssnnnm,m 令令得得到到10e,1,2,.!nsnn n1010,e2.7182818,ns取取其其误误差差71010e10.10 10!s江西财经大学 统计学院例例4.:sup,SSaS设设是是有有界界数数集集 证证明明 若若则则存存,lim.nnnxSxa在在严严格格单单调调增增数数列列使使得得证证0,aSxS 因因是是的的上上界界,故故对对使使得得.,xaaSxa 又又因因故故从从而而有有.axa 111,xS
8、 现现取取则则使使得得11.axa 2121min,2axxS 再再取取则则使使得得江西财经大学 统计学院12,axa 1,nx一一般般地地 按按上上述述步步骤骤得得到到之之后后,取取11min,nnaxn,nxS则则存存在在使使得得,nnaxa 2211().xaaaxx 且且有有11().nnnnxaaaxx 且且有有,nxS于于是是得得到到它它是是严严格格单单调调的的,满满足足江西财经大学 统计学院,nnaxa lim.nnxa这这就就证证明明了了1,1,2,.nnxann因因此此,江西财经大学 统计学院二、柯西收敛准则定理定理 2.8 数列数列na收敛的充要条件是收敛的充要条件是:0,
9、Nn mN 对对于于任任意意正正数数，存存在在，当当时时 有有.nmaa 柯西准则的充要条件可用另一种形式表达为：柯西准则的充要条件可用另一种形式表达为：满足上述条件的数列称为满足上述条件的数列称为柯西列柯西列.|.nnpaa 0,0,NnN 当时，当时，对任意对任意+N,p 均有均有江西财经大学 统计学院时时,有有|,2naA|.2maA.22nmnmaaaAaA lim.0,nnaA 设由极限定义，设由极限定义，证证此这里仅给出必要性的证明此这里仅给出必要性的证明.由此推得由此推得 柯西柯西(Cauchy,A.L.17891857,法法国国),(,)n mNn mN当或当或0,N由于该定理
10、充分性的证明需要进一步的知识，因由于该定理充分性的证明需要进一步的知识，因 江西财经大学 统计学院00111122nmxxNNNNNN212121 0.由柯西收敛准则的否定陈述由柯西收敛准则的否定陈述,可知可知 nx发散发散.发散发散.111,1,2,.3nxnn设设证明证明nx例例5 5证证 取取，210 000,2,NnN mN使得使得江西财经大学 统计学院1sin(1)sin22nmmnmnxx 12sin1sin2sin,1,2,.222nnnxn设设例例6.nx收敛收敛求证求证log0,log2N 证证,nmN当时 有当时 有11122mn 11111(1)222mn m121(1)
11、22mn m 12m.nx收收敛敛江西财经大学 统计学院例例71:,1,2,nnnaarn设设数数列列满满足足条条件件(0,1).nra其其中中求求证证 收收敛敛.1121nmnnnnmmaaaaaaaa证证,nm若若则则11.11nmnnnmrrrrrrrrlim0,0,1nnrN nNr 由由于于于于是是.1nrr 江西财经大学 统计学院,mnN若若就就有有.1nnmraar na由由柯柯西西准准则则,收收敛敛.江西财经大学 统计学院论上特别有用论上特别有用,大家将会逐渐体会到它的重要性大家将会逐渐体会到它的重要性.2.试给出试给出 an 不是柯西列的正面陈述不是柯西列的正面陈述.1.对于数列是否收敛的各种判别法加以总结对于数列是否收敛的各种判别法加以总结.复习思考题注注 柯西收敛准则的意义在于柯西收敛准则的意义在于:可以根据数列通可以根据数列通 项本身的特征来判断该数列是否收敛项本身的特征来判断该数列是否收敛,而不必依而不必依 赖于极限定义中的那个极限值赖于极限定义中的那个极限值 A.这一特点在理这一特点在理
