1、一、带电粒子在无边界匀强磁场中运动1专项训练1如图所示，xOy平面处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外点处有一粒子源，可向各个方向发射速率不同、电荷量为q、质量为m的带负电粒子不考虑粒子的重力（1）若粒子1经过第一、二、三象限后，恰好沿x轴正向通过点Q（0，-L），求其速率v1；（2）若撤去第一象限的磁场，在其中加沿y轴正向的匀强电场，粒子2经过第一、二、三象限后，也以速率v1沿x轴正向通过点Q，求匀强电场的电场强度E以及粒子2的发射速率v2；（3）若在xOy平面内加沿y轴正向的匀强电场Eo，粒子3以速率v3沿y轴正向发射，求在运动过程中其最小速率v.某同学查阅资料后，得到一种
2、处理相关问题的思路：带电粒子在正交的匀强磁场和匀强电场中运动，若所受洛伦兹力与电场力不平衡而做复杂的曲线运动时，可将带电粒子的初速度进行分解，将带电粒子的运动等效为沿某一方向的匀速直线运动和沿某一时针方向的匀速圆周运动的合运动 请尝试用该思路求解【答案】（1）（2）（3）【解析】【详解】（1）粒子1在一、二、三做匀速圆周运动，则由几何憨可知：得到：（2）粒子2在第一象限中类斜劈运动，有：，在第二、三象限中原圆周运动，由几何关系：，得到又，得到：（3）如图所示，将分解成水平向右和和斜向的，则，即而所以，运动过程中粒子的最小速率为即：2“太空粒子探测器”是由加速、偏转和收集三部分组成，其原理可简化
3、如下：如图1所示，辐射状的加速电场区域边界为两个同心平行半圆弧面，圆心为O，外圆弧面AB的电势为，内圆弧面CD的电势为，足够长的收集板MN平行边界ACDB，ACDB与MN板的距离为L假设太空中漂浮着质量为m，电量为q的带正电粒子，它们能均匀地吸附到AB圆弧面上，并被加速电场从静止开始加速，不计粒子间的相互作用和其它星球对粒子的影响，不考虑过边界ACDB的粒子再次返回（1）求粒子到达O点时速度的大小；（2）如图2所示，在PQ（与ACDB重合且足够长）和收集板MN之间区域加一个匀强磁场，方向垂直纸面向内，则发现均匀吸附到AB圆弧面的粒子经O点进入磁场后最多有能打到MN板上，求所加磁感应强度的大小；
4、（3）如图3所示，在PQ（与ACDB重合且足够长）和收集板MN之间区域加一个垂直MN的匀强电场，电场强度的方向如图所示，大小，若从AB圆弧面收集到的某粒子经O点进入电场后到达收集板MN离O点最远，求该粒子到达O点的速度的方向和它在PQ与MN间运动的时间【答案】（1）；（2）；（3） ；【解析】【分析】【详解】试题分析：解：（1）带电粒子在电场中加速时，电场力做功，得：(2）从AB圆弧面收集到的粒子有能打到MN板上，则上端刚好能打到MN上的粒子与MN相切，则入射的方向与OA之间的夹角是，在磁场中运动的轨迹如图甲，轨迹圆心角根据几何关系，粒子圆周运动的半径：由洛伦兹力提供向心力得：联合解得：（3）
5、如图粒子在电场中运动的轨迹与MN相切时，切点到O点的距离最远，这是一个类平抛运动的逆过程建立如图坐标.若速度与x轴方向的夹角为角3如图，光滑水平桌面上有一个矩形区域abcd，bc长度为2L，cd长度为1.5L，e、f分别为ad、bc的中点efcd区域存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B；质量为m、电荷量为+q的绝缘小球A静止在磁场中f点abfe区域存在沿bf方向的匀强电场，电场强度为；质量为km的不带电绝缘小球P，以大小为的初速度沿bf方向运动P与A发生弹性碰撞，A的电量保持不变，P、A均可视为质点（1）若A从ed边离开磁场，求k的最大值；（2）若A从ed边中点离开磁场，求k的可能值和A在磁
6、场中运动的最长时间【答案】（1）1（2）或 ；A球在磁场中运动的最长时间【解析】【详解】（1）令P初速度，设P、A碰后的速度分别为vP和vA， 由动量守恒定律： 由机械能守恒定律： 可得：，可知k值越大，vA越大；设A在磁场中运动轨迹半径为R， 由牛顿第二定律： 可得：，可知vA越大，R越大；即，k值越大，R越大；如图1，当A的轨迹与cd相切时，R为最大值，可得：，求得k的最大值为 （2）令z点为ed边的中点，分类讨论如下：（I）A球在磁场中偏转一次从z点就离开磁场，如图2有 解得： 可得： （II）由图可知A球能从z点离开磁场要满足，则A球在磁场中还可能经历一次半圆运动后回到电场，再被电场加
7、速后又进入磁场，最终从z点离开令电场强度；如图3和如图4，由几何关系有： 解得：或 可得：或 当时，由于 当时，由于 此类情形取符合题意要求，即综合（I）、（II）可得A球能从z点离开的k的可能值为： 或A球在磁场中运动周期为 当k=时，如图4，A球在磁场中运动的最长时间4如图所示，xOy平面内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B=0. 1T，在原点O有一粒子源，它可以在xOy平面内向各个方向发射出质量kg电荷量C、速度m/s的带正电的粒子。一感光薄板平行于x轴放置，其中心的坐标为（0，a），且满足a0. 不考虑粒子的重力以及粒子之间的相互作用。（1）若薄板足够长，且a=0. 2m，求感光
8、板下表面被粒子击中的长度；（2）若薄板长l=0. 32m，为使感光板下表面全部被粒子击中，求a的最大值；【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹完全提供向心力，粒子速度大小一定，方向不定，采用旋转圆的方式确定临界点；(2)作出粒子恰能击中板的最左端与最右端时粒子的轨迹，求出a的最大值。【详解】(1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹完全提供向心力：解得：沿轴正方向发射的粒子击中薄板的最左端D点，可知：而击中薄板最右端E点的粒子恰好运动了半个圆周，由几何关系可得：解得：则感光板下表面被粒子击中的长度：(2)粒子恰能击中薄板的最左端点，由几何关系可
9、知：解得：若粒子恰能击中薄板的最右端点，根据几何知识可知：解得：综上所述，为了使感光板下表面全部被粒子击中：【点睛】典型的旋转打板模型，粒子的速度一定，说明运动的轨迹是一个定圆，方向不同，可以采用旋转圆的方式画出临界点，进而求解。5如图所示，边长为L的正三角形ABC区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，D为AB边的中点，一个质量为m、电荷量为q的带正电的粒子平行BC边射入磁场，粒子的速度大小为v0，结果刚好垂直BC边射出磁场，不计粒子的重力，求：（1）匀强磁场的磁感应强度大小；（2）若要使粒子在磁场中的运动轨迹刚好与BC相切，粒子的速度大小为多少?粒子在磁场中运动的时间为多少?（3）增大粒子的速度
10、，试分析粒子能不能从C点射出磁场。若不能，请说明理由；若能，请计算粒子从C点射出磁场时的偏向角。【答案】（1），（2），（3）能，【解析】【详解】（1）运动轨迹如图所示：根据几何知识可知，粒子做圆周运动的半径为根据洛伦兹力提供向心力有：所以匀强磁场的磁感应强度大小为；（2）要使粒子在磁场中的运动轨迹刚好与BC相切，其轨迹如图所示：根据几何知识可知，其运动的半径为所以粒子运动是速度为根据几何知识可知，粒子在磁场中运动的轨迹所对的圆心角为，所以粒子在磁场中运动的时间为（3）根据数学知识知，粒子能到达C点，粒子到达C的轨迹如图所示：结合知识可知，DOC=60，所以粒子从C点射出磁场时的偏向角为60。
11、6地磁场可以减少宇宙射线中带电粒子对地球上生物体的危害为研究地磁场，某研究小组模拟了一个地磁场如图所示，模拟地球半径为R,地球赤道平面附近的地磁场简化为赤道上方厚度为2R、磁感应强度大小为B、方向垂直于赤道平面的匀强磁场磁场边缘A处有一粒子源，可在赤道平面内以不同速度向各个方向射入某种带正电粒子研究发现，当粒子速度为2v时，沿半径方向射入磁场的粒子恰不能到达模拟地球不计粒子重力及大气对粒子运动的影响，且不考虑相对论效应（1）求粒子的比荷；（2）若该种粒子的速度为v，则这种粒子到达模拟地球的最短时间是多少？（3）试求速度为2v的粒子到达地球粒子数与进入地磁场粒子总数比值（结果用反三角函数表示例：
12、，则，为弧度）【答案】（1）（2）（3）【解析】试题分析：（1）其轨迹如图1所示（和地球相切）设该粒子轨迹半径为r，则根据几何关系：解得又由得，（2）速度为v的粒子进入磁场有：由得，若要时间最短，则粒子在磁场中运动的弧长最短，故从A斜向上射入，在A交点E到达地球的弦长最短时间最短，故，得：，（3）沿径向方向射入的粒子会和地球相切而出，和AO方向成角向上方射入磁场的粒子也恰从地球上沿相切射出，在此角范围内的粒子能到达地球，其余进入磁场粒子不能到达地球作A点该速度垂直和过切点与O点连线延长线交于F点，则F点为圆心，如图3AF=4R，AO=OF=3R，得故，考点：考查了带电粒子在有界磁场中的运动【名
13、师点睛】带电粒子在匀强磁场中运动时，洛伦兹力充当向心力，从而得出半径公式，周期公式，运动时间公式，知道粒子在磁场中运动半径和速度有关，运动周期和速度无关，画轨迹，定圆心，找半径，结合几何知识分析解题，7如图在光滑绝缘平面上有一直角三角形区域，上放置一个绝缘材料制成的固定挡板，其长度，现有一个质量为，带电量为可视为质点的小球从点，以初速度沿方向运动，小球与挡板的碰撞均为弹性碰撞（打到点时也记一次碰撞），且不计一切摩擦和碰撞时间，若在区域施加一个垂直水平面向里的匀强磁场，则：（1）要使小球能到达点，求磁感应强度的最小值；（2）要使小球能到达点，求小球与边碰撞次数和磁感应强度大小应满足的条件（3）若
14、在区域施加一个沿到方向的匀强电场，则：要使小球能到达点，求电场强度的最小值；要使小球能到达点，求小球与边碰撞次数和电场强度大小应满足的条件。【答案】（1）；（2），其中；（3）；【解析】【详解】（1）根据几何关系可知粒子能够运动到点的最大半径为根据解得：（2）粒子与板发生次碰撞所对应的轨道半径为：根据解得：，其中（3）在区间加竖直向上的电场时，且带电粒子做一次类平抛运动到点时电场强度最小，水平方向上：竖直方向上：解得：将电场力沿平行和垂直分解 沿方向的运动是初速度为，加速度为的匀加速直线运动得到所以得即8质量为m电荷量为+q的带电粒子（不考虑重力）从半圆形区域边界A点沿直径方向正对圆心两次以相
15、同速度v水平射入。第一次射入时，空间中只有竖直向下的匀强电场，第二次只有垂直于纸面向外的匀强磁场（磁场和电场区域都无限大且未画出）。发现带电粒子两次都击中半圆形边界上同一点B。（1）证明两次粒子打到B点速度方向不同；（2）判断两次粒子打到B点的时间长短，并加以证明。【答案】（1）因为，所以两次粒子打到B点速度方向不同；（2）第一次粒子做平抛运动，沿直径方向的速度不变；第二次粒子做匀速圆周运动，沿直径方向的速度逐渐变小，而两次都击中半圆形边界上同一点B，两次沿直径方向的位移相等，所以第二次用时较长，证明见详解。【解析】【详解】（1）设半圆形区域的半径为r，B点与圆心连线和半圆形直径方向的夹角为，
16、第一次射入时，带正电的粒子做类平抛运动，水平方向r+r=vt竖直方向的速度vy=t=第一次射出B点速度与直径方向的夹角=第二次射入时，粒子做匀速圆周运动，径向射入，径向射出，射出B点速度与直径方向的夹角为，做匀速圆周运动的半径R=第二次射出B点速度与直径方向的夹角=因为，所以两次粒子打到B点速度方向不同。（2）第一次粒子做平抛运动，沿直径方向的速度不变；第二次粒子做匀速圆周运动，沿直径方向的速度逐渐变小，而两次都击中半圆形边界上同一点B，两次沿直径方向的位移相等，所以第二次用时较长。第一次在水平方向r+r=vt1第一次粒子在电场中运动的时间t1=第二次粒子在磁场中运动的半径R=qB=第二次粒子
17、在磁场中运动的t2=T=因为，所以t2t1。9如图所示是研究光电效应现象的实验电路，、为两正对的圆形金属板，两板间距为，板的半径为，且当板正中受一频率为的细束紫外线照射时，照射部位发射沿不同方向运动的光电子，形成光电流，从而引起电流表的指针偏转已知普朗克常量h、电子电荷量e、电子质量m（1）若闭合开关S，调节滑片P逐渐增大极板间电压，可以发现电流逐渐减小当电压表示数为时，电流恰好为零求：金属板N的极限频率；将图示电源的正负极互换，同时逐渐增大极板间电压，发现光电流逐渐增大，当电压达到之后，电流便趋于饱和求此电压（2）开关S断开，在MN间加垂直于纸面的匀强磁场，逐渐增大磁感应强度，也能使电流为零
18、，求磁感应强度B至少为多大时，电流为零【答案】（1）（2）【解析】【分析】【详解】（1）据题意，由光电效应方程得到：据电场力做负功，刚好等于动能变化，有：极限频率为：当电源正负极互换后，在电场力作用下，电子飞到极板M上，且电压越大，飞到该极板上的光电子数量越多，当所有光电子飞到该极板时，电流达到饱和，此时飞得最远的光电子可以近似看出类平抛运动，则有：（2）当在MN间加有匀强磁场，在磁场力作用下，光电子做匀速圆周运动，当运动半径最大的光电子的半径等于d/2，则光电子到达不了极板M，那么就可以使电流为0，则有：10如图所示，左侧正方形区域ABCD有竖直方向的匀强电场和垂直纸面方向的磁场，右侧正方形
19、区域CEFG有电场，一质量为m，带电量为+q的小球，从距A点正上方高为L的O点静止释放进入左侧正方形区域后做匀速圆周运动，从C点水平进入右侧正方形区域CEFG已知正方形区域的边长均为L，重力加速度为g，求：（1）左侧正方形区域的电场强度E1和磁场的磁感应强度B；（2）若在右侧正方形区域内加竖直向下的匀强电场，能使小球恰好从F点飞出，求该电场场强E2的大小；（3）若在右侧正方形区域内加水平向左的匀强电场，场强大小为（k为正整数），试求小球飞出该区域的位置到G点的距离【答案】（1），方向竖直向上；，方向垂直纸面向外（2）（3）L【解析】【详解】（1）小球做匀速圆周运动 解得：，方向竖直向上由几何关
20、系，又解得：，方向垂直纸面向外（2）在CEFG区域，小球做类平抛运动，水平方向：，解得竖直方向：，解得又，解得（3）水平方向：，解得竖直方向小球做自由落体运动.当水平方向减速至零时，用时由，解得，当k=1时，x=L，小球水平方向恰好到达FG边，此时竖直位移=L，小球恰好从F点飞出，此时距G点L当k=2，3，4时，xL，竖直位移=L，小球从CG边飞出，此时距G点11如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系，y轴沿竖直方向在x = L到x =2L之间存在竖直向上的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，一个比荷（）为k的带电微粒从坐标原点以一定初速度沿+x方向抛出，进入电场和磁场后恰好在竖直平面内做匀速
21、圆周运动，离开电场和磁场后，带电微粒恰好沿+x方向通过x轴上x =3L的位置，已知匀强磁场的磁感应强度为B，重力加速度为g求：（1）电场强度的大小； （2）带电微粒的初速度；（3）带电微粒做圆周运动的圆心坐标【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】【详解】（1）由于粒子在复合场中做匀速圆周运动，则：mg=qE，又 解得 （2）由几何关系：2Rcos=L，粒子做圆周运动的向心力等于洛伦兹力： ；由 在进入复合场之前做平抛运动： 解得 （3）由 其中 ，则带电微粒做圆周运动的圆心坐标：； 12简谐运动是一种理想化的运动模型，是机械振动中最简单、最基本的振动。简谐运动的物体受到回复力的作用，回复力
22、F的大小与物体偏离平衡位置的位移x成正比，回复力的方向与物体偏离平衡位置的位移方向想反，即：F=-kx，其中k为振动系数，其值由振动系统决定。用长为L的细线将质量为m的小球悬挂起来，就构成了一个单摆，如图甲所示。（1）证明：在偏角很小的情况下，单摆做简谐运动。（2）已知月球上的自由落体加速度为地球上的1/4，若将地球上周期是2s的单摆拿到月球上，求它在月球上做50次全振动的时间。（3）若使周期是2s的单摆小球带上正电，并将单摆分别置于竖直向下的匀强电场和水平方向的匀强磁场中，如图乙和图丙所示。使带电小球均做小角度的简谐运动，在电场和磁场中小球振动的周期还是2s吗？请分别分析说明。【答案】（1）
23、证明过程见解析；（2）200s（3）加电场时单摆的周期小于2s；加磁场时单摆周期不变.【解析】【详解】（1）单摆受力分析如图所示，单摆的回复力大小为 F回=G1=mgsin当很小时，sin，等于角对应的弧长与半径的比值，即sin得 F回=mg当很小时，弧长PO近似等于弦长，与摆球偏离平衡位置的位移x大小相等，考虑到回复力和位移相反，则得回复力与位移的关系为 ，其中，即有 F回=-kx所以在摆角很小的情况下，单摆的往复运动是简谐运动（2）月球表面的重力加速度为，将秒摆拿到月球上去，周期为： 它在月球上做50次全振动时间为：t=50T=504s=200s.（3）图乙中，摆球受到重力G、电场力F电和
24、摆线拉力T，与重力场中的单摆类比，等效的“重力”G=G+F电，代入单摆周期公式得：，可知单摆的周期变小； 图丙中，摆球受到重力G、洛伦兹力F洛和摆线拉力T，与重力场中的单摆类比，单摆周期与重力场中相同，即单摆的周期仍为2s。13如图所示，质量m=15g、长度L=2m的木板D静置于水平地面上，木板D与地面间的动摩擦因数=0.1，地面右端的固定挡板C与木板D等高。在挡板C右侧竖直虚线PQ、MN之间的区域内存在方向竖直向上的匀强电场，在两个半径分别为R1=1m和R2=3m的半圆围成的环带状区域内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，两半园的圆心O到固定挡板C顶点的距离OC=2m，现有一质量m=15g、带电
25、荷量q=+6103C的物块A(可视为质点)以v0=4m/s的初速度滑上木板D，二者之间的动摩擦因数2=0.3，当物块A运动到木板D右端时二者刚好共遠，且木板D刚好与挡板C碰撞，物块A从挡扳C上方飞入PQNM区域，并能够在磁场区域内做匀速圆周运动，重力加速度g取10m/s2。(1)当物块A刚滑上木板D时，求物块A和木板D的加速度大小.(2)求电场强度的大小.(3)为保证小物块A只能从环带状区域的上、下两个开口端飞出，求磁感应强度大小的取值范围。【答案】(1)3m/s2，1m/s2；(2)25V/m；(3)【解析】【详解】（1）当物体刚滑上木板D时，对物体A受力分析有： 解得： a2=3 m/s2
26、对木板D受力分析有： 解得： a1=1m/s2（2）物块A进入区域PQNM后，能在磁场区域内做匀速圆周运动，则有： 解得：E=25 V/m；（3）物块A与木板D共速时有： 解得： v=1 m/s粒子做匀速圆周运动有： 要使物块A只从环带状区域的上、下两个开口端飞出磁场，物块A在磁场中运动的轨迹半径R应满足: 解得：。14如图所示，坐标系xoy位于光滑绝缘水平面内，其中第二象限内存在一个与坐标平面平行方向如图的匀强电场一质量为M，电量为的小球a从A点由静止释放沿AO方向运动到达O点时速度为v，AO长度为若小球a恰能与静止在O点质量为的不带电小球b发生弹性碰撞，相碰时电荷量平分，同时瞬间撤去电场并
27、在整个空间加一垂直于坐标平面向下的匀强磁场忽略两小球间的静电力及小球运动所产生磁场的影响求：(1)匀强电场的电场强度大小E；(2)，b两球碰后的速度；(3)若从a，b两球相碰到两球与O点第一次共线所用时间为t，则匀强磁场的磁感应强度的大小为多少？【答案】(1)；(2)和； (3)【解析】【分析】小球a在电场中做匀加速运动，根据牛顿第二定律和运动学速度位移公式结合可求得匀强电场的电场强度大小E；、b两球发生弹性碰撞，遵守动量守恒和机械能守恒，由动量守恒定律和机械能守恒定律求两球碰后的速度；、b两球碰后在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律和运动学公式求得两球运动周期，画出
28、轨迹，分析时间t与两球周期的关系，求解匀强磁场的磁感应强度的大小【详解】(1)设a球在电场中运动的加速度为a，由牛顿第二定律和运动学公式可得： 解得：设a、b两球碰后的速度分别为和，取碰撞前a球的速度方向为正方向，由动量守恒定律和机械能能守恒定律得：解得：，由于碰后两球都带正电在磁场中向同一方向偏转做圆周运动，如图由，得：则得：，如图所示a、b两球与O点第一次共线时有：解得：【点睛】本题中带电小球先加速后做圆周运动类型，关键是画出轨迹图，结合几何关系分析时间与周期的关系15如图，空间区域、有匀强电场和匀强磁场，MN、PQ为理想边界，区域高度为d，区域的高度足够大匀强电场方向竖直向上；、区域的磁
29、感应强度大小均为B，方向分别垂直纸面向里和向外一个质量为m，电量为q的带电小球从磁场上方的O点由静止开始下落，进入场区后，恰能做匀速圆周运动已知重力加速度为g（1）试判断小球的电性并求出电场强度E的大小；（2）若带电小球能进入区域，则h应满足什么条件？（3）若带电小球运动一定时间后恰能回到O点，求它释放时距MN的高度h【答案】正电，；【解析】【分析】(1)根据小球所受电场力的方向与场强方向的关系判断小球电性，根据电场力与重力的关系求出电场强度大小(2)由机械能守恒定律求出小球进入磁场时的速度，小球在磁场中做匀速圆周运动，作出小球的运动轨迹，由几何知识求出轨道半径，应用牛顿第二定律分析答题(3)
30、由机械能守恒定律、牛顿第二定律与几何知识求出h【详解】（1）带电小球进入复合场后，恰能做匀速圆周运动，合力为洛伦兹力，重力与电场力平衡，重力竖直向下，电场力竖直向上，即小球带正电由解得：（2）假设下落高度为时，带电小球在区域作圆周运动的圆弧与PQ相切时，运动轨迹如答图所示由几何知识可知，小球的轨道半径：带电小球在进入磁场前做自由落体运动，由机械能守恒定律得：带电小球在磁场中作匀速圆周运动，设半径为R，由牛顿第二定律得：解得：，则当时，即带电小球能进入区域；（3）由于带电小球在、两个区域运动过程中q、v、B、m的大小不变，故三段圆周运动的半径相同，以三个圆心为顶点的三角形为等边三角形，边长为2R，内角为，如答图所示由几何关系知：联立解得得：；【点睛】本题考查了带电小球在磁场中的运动，分析清楚小球的运动过程，作出小球的运动轨迹、应用机械能守恒定律、牛顿第二定律、功的计算公式即可正确解题；分析清楚运动过程、作出小球运动轨迹是正确解题的关键
