1、2020-2021市三中补习班第三次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出集合，再利用集合的交集运算求解即可.【详解】由，得.故选：A.2. 在等比数列中，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的通项公式即可计算.【详解】解：设等比数列公比为，则，解得：，则.故选：B.3. 函数定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先根据题意得到，再解不等式组即可.【详解】由题知：.所以函数的定义域为.故选：A4. 若，则（ ）A. B. C.
2、D. 【答案】A【解析】【分析】由指数函数和对数函数的性质进行比较即可.【详解】，由对数函数的性质可得，故.故选：A【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的性质比较大小，属于基础题.5. 已知，满足约束条件，则的最小值为（ ）A. -6B. -7C. -8D. -9【答案】D【解析】【分析】画出约束条件所表示的平面区域，根据图形确定目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由目标函数可化为，当直线过点时，在轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，又由，解得：，所以的最小值为.故选：D.【点睛】方法点睛：根据线性规划求解目标函数的最值问题的常见形式：（1）截
3、距型：形如 .求这类目标函数的最值常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如，转化为可行域内的点到定点的距离的平方，结合点到直线的距离公式求解；（3）斜率型：形如，转化为可行域内点与定点的连线的斜率，结合直线的斜率公式，进行求解6. 已知，则“”是“为函数的周期”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】当时，可得函数的最小正周期为；当为函数的周期时，不一定等于，即可判断.【详解】当时，函数的最小正周期为；当时，函数的最小正周期为，也是函数的周期.故“”是“为函数的一个周期”的充
4、分不必要条件.故选：A.7. 在九章算术中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.若垣厚33尺，则两鼠几日可相逢（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】由题意知：大鼠每天打洞的尺寸是首项为，公比为的等比数列，小鼠每天打洞的尺寸是首项为，公比为的等比数列，设两鼠天可相逢，求两数列的前项和加起来大于或等于33的最小的正整数即可.【详解】设两鼠天可相逢，由题意知：大鼠每天打洞的尺寸是首项为，公比为的等
5、比数列，大鼠天打洞尺寸为，小鼠每天打洞的尺寸是首项为，公比为的等比数列，小鼠天打洞尺寸为，两鼠天打洞尺寸之和为：，令，经验证：时，不成立；时，成立；所以两鼠6日可相逢，故选：B【点睛】方法点睛：数列实际应用中常见的模型：（1）等差模型：如果增加或减少的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；（2）等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比；（3）递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第项与第项的递推关系，还是前项和与前和之间的递推关系.8. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的
6、体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】【详解】由三视图可得，该几何体为放倒是三棱柱，底面积，高，因此棱柱的体积，故答案为A9. 函数y=sin2x的图象可能是A. B. C D. 【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令， 因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断
7、图象的循环往复10. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）A. 8B. 10C. 9D. 6【答案】C【解析】【分析】利用将化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.【详解】由得，因为，所以，当且仅当且，即时，等号成立.所以的最小值为.故选：C【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，
8、这也是最容易发生错误的地方.11. 若曲线在点处的切线过点，则函数的单调递减区间为（ ）A. B. ，(-1，0)C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据切线的斜率解得，再利用可解得结果.【详解】因为，所以，所以切线的斜率，又曲线在点处的切线过点，所以，所以，解得，所以,由得且，所以函数的单调递减区间为，.故选：D【点睛】易错点点睛：函数的单调区间不能用符号“”连接，要用逗号隔开.12. 已知函数满足，若函数与图象的交点为，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ）A. 1010B. -2020C. 2020D. 4040【答案】C【解析】【分析】根据已知条件得出函数及的图象都关于对称，这样它们
9、的交点也关于对称，2000个交点两两配对，坐标之和易求【详解】函数满足，即为可得的图像关于点对称.函数，即的图象关于点对称，即若点为交点，则点也为交点；同理若点为交点，则点也为交点；则交点的所有横坐标和纵坐标之和为.故选：C【点睛】本题考查函数图象的对称性，掌握对称性质是解题关键函数：（1）若满足，则函数图象关于点对称；（2）若满足，则函数图象关于直线对称二填空题（本大题共4小题，共20分）13. 已知向量，若，则_.【答案】【解析】【分析】由得，再根据，即可求得.【详解】解：，又，即，即，解得：.故答案为：.14. 在前项和为的等差数列中，若，则_.【答案】【解析】【分析】根据等差数列的性质
10、以及前项和公式即可求解.【详解】解：，即，即，则.故答案为：.15. 若等边的边长为1，平面内一点M满足，则_.【答案】【解析】【分析】用表示出后求数量积【详解】由已知，故答案为：16. 如图，在三棱锥中，平面，则三棱锥外接球的体积为_.【答案】【解析】【分析】将三棱锥放在长方体中，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，球的直径为长方体的体对角线的长求解.【详解】如图所示：将三棱锥放在长方体中，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，球的直径是PB，球的半径，属于三棱锥的外接球的体积为.故答案为：【点睛】本题主要考查几何体的外接球的体积，还考查了空间想象和转化求解问题的能力，属于基础题.三解答题（本
11、大题共6小题，共70.0分）17. 已知函数.（1）当时，求函数在点(e，f(e)处的切线方程（2）若在上是单调增函数，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义可求得结果；（2）转化为，即在上恒成立，再构造函数求出最大值即可得解.【详解】（1）当时，定义域为，所以函数在点(e，f(e)处的切线的斜率为，又，所以函数在点(e，f(e)处的切线方程为，即.（2）因为在上是单调增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，因为在上为单调递减函数，所以当时，取得最大值0，所以.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：若在上恒成立，则；若在上
12、恒成立，则；若在上有解，则；若在上有解，则；18. 如图，在三棱柱中，底面，点，分别为与的中点.（1）证明：平面.（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）4【解析】【分析】（1）连接，根据三角形中位线的性质可得，然后根据线面平行的判定定理可得结论成立（2）根据等积法，将所求转化为三棱锥的体积求解【详解】（1）证明：如图，连接，在三棱柱中，为的中点，为的中点，所以，又平面，平面，所以平面（2）解：因为，所以平面，又，为的中点，所以点到平面的距离为又的面积为，所以【点睛】本题考查空间中线面关系的证明和三棱锥体积的求法，是立体几何中的常规题型，求三棱锥的体积时常用的方法是等积法，即将所求锥体
13、的体积转化为容易求解的同体积的三棱锥的体积求解19. 如图所示，在平面四边形ABCD中，AD1，CD2，AC.（1）求cosCAD的值；（2）若cosBAD，sinCBA，求BC的长【答案】(1) (2)【解析】试题分析：(1)利用题意结合余弦定理可得；(2)利用题意结合正弦定理可得：.试题解析：（I）在中，由余弦定理得 (II)设 在中，由正弦定理， 故点睛：在解决三角形问题中，面积公式S absin C bcsin A acsin B最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.20. 设数列的前项和分别为，且，（1）求数列的通项公式；（2）令，求的前项和.【答案】（1
14、），（2）【解析】【分析】（1）利用可求得；利用可得，可得数列是首项为，公比为的等比数列，从而可得；（2）根据错位相减法可求得结果.【详解】（1）由得，当时，当时，也适合，故.由得，得，当时，得，又，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.综上所述：，.（2），所以，所以，所以，所以，所以.【点睛】关键点点睛：第（2）问掌握错位相减法求和的几个步骤是解题关键.21. 已知函数ae2x+(a2) exx.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论
15、，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.试题解析：（1）的定义域为，（）若，则，所以在单调递减.（）若，则由得.当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增.（2）（）若，由（1）知，至多有一个零点.（）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.当时，由于，故只有一个零点；当时，由于，即，故没有零点；当时，即.又，故在有一个零点.设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.综上，的取值范围为.点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方
16、程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.22. 已知a，且.（1）求的最小值；（2）若存在a，使得不等式成立，求实数x的取值范围.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由得，将化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果；（2）转化为可求得结果.【详解】（1）因为，所以，所以，因为，所以，当且仅当时，等号成立.所以的最小值为.（2）若存a，使得不等式成立，则，由（1）知，所以，即，所以或.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：若在上恒成立，则；若在上恒成立，则；若在上有解，则；若在上有解，则；
