1、第9讲平面向量及其应用 1. 掌握平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量数量积等基本概念、运算及其简单应用复习时应强化向量的数量积运算，向量的平行、垂直及求有关向量的夹角问题要引起足够重视2. 在复习中要注意数学思想方法的渗透，如数形结合思想、转化与化归思想等会用向量解决某些简单的几何问题1. 在ABCD中，a，b，3，M为BC的中点，则_(用a、b表示)答案：ab解析：(ab)ab.2. 设a、b是两个不共线向量，2apb，ab，a2b，若A、B、D三点共线，则实数p_答案：1解析： 2ab，又A、B、D三点共线， 存在实数，使.即 p1.3. 已知e1、e2是夹角为的两个单位向量
2、，ae12e2，bke1e2，若ab0，则实数k_. 答案：解析： ab0， (e12e2)(ke1e2)0，即kk0，即k.4. 设(1，2)，(a，1)，(b，0)，a0，b0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是_答案：8解析：据已知， (a1，1)，(b1，2)， 2(a1)(b1)0， 2ab1， 4428，当且仅当，即a，b时取等号， 的最小值是8.题型一 向量与三角函数的结合例1 已知向量a，b(2，cos2x)(1) 若x，试判断a与b能否平行？(2) 若x，求函数f(x)ab的最小值解：(1) 若a与b平行，则有cos2x2，因为x，sinx0，所以得cos2x2
3、，这与|cos2x|1相矛盾，故a与b不能平行(2) f(x)ab2sinx.因为x，所以sinx. 于是2sinx22，当2sinx，即sinx，x时取等号，故函数f(x)的最小值等于2.已知向量m(sinx，1)，向量n，函数f(x)(mn)m.(1) 求f(x)的最小正周期T；(2) 若不等式f(x)t0在x上有解，求实数t的取值范围解：(1) f(x)(mn)msin2x1sinxcosx1sin2xsin2xcos2x2sin2. 2， T.(2) x， 2x， sin1. f(x)3， 方程f(x)t0在x上有解， t3， 实数t的取值范围.题型二 向量的平行与垂直例2 已知向量a
4、(sinx，cosx)，b(cosx，cosx)，且b0，定义函数f(x)2ab1.(1) 求函数f(x)的单调递增区间；(2) 若ab，求tanx的值；(3) 若ab，求x的最小正值解：(1) f(x)2ab12(sin xcos xcos2x)1sin 2xcos 2x2sin.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ. f(x)的单调递增区间为，kZ.(2) 由ab，得sin xcos xcos2x0， b0， cos x0. tan x0， tan x.(3) 若ab，则ab0. sin xcos xcos2x0. b0， cos x0. tan x10，即tan x. xk，kZ. 当k
5、0时，x有最小正值.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a(1，2)，又点A(8，0)，B(n，t)，C(ksin ，t).(1) 若a，且|，求向量；(2) 若向量与向量a共线，当k4，且tsin取最大值4时，求.解：(1) 由题设知(n8，t)， a， 8n2t0. |， 564(n8)2t25t2，得t8.当t8时，n24；t8时，n8， (24，8)或(8，8)(2) 由题设知(ksin8，t)， 与a共线， t2ksin16，tsin(2ksin16)sin2k. k4， 10， 当sin时，tsin取得最大值.由4，得k8，此时，(4，8) (8，0)(4，8)32. 题型三
6、 向量与三角形的结合例3 在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且A、B、C成等差数列(1) 若，b，求ac的值；(2) 求2sinAsinC的取值范围解：(1) A、B、C成等差数列， B. ， accosB， ac，即ac3. b，b2a2c22accosB， a2c2ac3，即(ac)23ac3. (ac)212， ac2.(2) 2sinAsinC2sinsinC2sinCcosC. 0C， cosC. 2sinAsinC的取值范围是. 已知ABC的三个内角A、B、C对应的边长分别为a、b、c，向量m(sinB，1cosB)与向量n(2，0)的夹角的余弦值为.(1) 求角B的
7、大小；(2) 设ABC外接圆半径为1，求ac的范围解：(1) m2sin，n2(1，0)， mn4sincos，|m|2sin，|n|2， coscos.由cos，0得，即B.(2) B， AC. sinAsinCsinAsinsinAsincosAcossinAsinAcosAsin.又0A， A， 0，y0)，根据基本不等式2，得xy3.1. (2013山东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知(1，t)，(2，2)，若ABO90，则实数t_答案：5解析：(3，2t)，ABO90，则0，即62(2t)0，解得t5.2. (2014江西卷)已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos，向量a3e12
8、e2与b3e1e2的夹角为，则cos_答案：解析：因为a2942329，b2912318，ab929118，所以cos.3. (2013江苏卷)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1、2为实数)，则12_答案：解析：，1，2，12.4. 在OAB中，(2cos，2sin)，(5cos，5sin)若5，则SOAB_答案：解析：在OAB中，OA2，OB5，cos， SOAB25sin120.5. (2013陕西卷)已知向量a，b(sinx，cos2x)，xR，设函数f(x)ab.(1) 求f(x)的最小正周期(2) 求f(x)在上的最大值和最小值解：(1) f(x
9、)abcosxsinxcos2xsin2xcos2xsin.最小正周期T.所以f(x)sin最小正周期为.(2) 当x时，2x，由标准函数ysinx在上的图象知，f(x)sin(2x).所以，f(x)在上的最大值和最小值分别为1，.6. (2013江苏卷)已知a(cos，sin)，b(cos，sin)，0.(1) 若|ab|，求证：ab；(2) 设c(0，1)，若abc，求、的值(1) 证明： |ab|， |ab|22，即(ab)2a22abb22. a2|a|2cos2sin21，b2|b|2cos2sin21， 22ab2， ab0， ab.(2) 解： ab(coscos，sinsin)
10、(0，1)， 即两边分别平方再相加得：122sin， sin， sin. 0CAAB，则、的大小关系为_答案：解析： 0AOBAOCBOC，ycosx在(0，)上单调递减， cosAOBcosAOCcosBOC, .2. 在ABC中，A、B、C所对边分别为a、b、c，且1.(1) 求A；(2) 若m(0，1)，n，试求|mn|的最小值解： (1) 11，即， ， cosA. 0A， A.(2) mn(cosB，2cos21)(cosB，cosC)， |mn|2cos2Bcos2Ccos2Bcos21sin. A， BC， B.从而2B， 当sin1，即B时，|mn|2取得最小值，所以|mn|m
11、in.3. 已知向量m(sinA，cosA)，n(1，2)，且mn0.(1) 求tanA的值；(2) 求函数f(x)cos2xtanAsinx(xR)的值域解： (1) mnsinA2cosA0tanA2.(2) f(x)cos2x2sinx2. xR, sinx1，1，当sinx时，f(x)取最大值；当sinx1时，f(x)取最小值3，所以函数f(x)的值域为.点评： 平面向量与三角函数结合是高考中的一个热点，本题主要考查平面向量数量积的坐标运算4. 已知向量a(sin，cos2sin)，b(1，2)(1) 若ab，求tan的值；(2) 若|a|b|，0，求的值解： (1) 因为ab，所以2sincos2sin，于是4sincos，故tan.(2) 由|a|b|知sin2(cos2sin)25，所以12sin24sin25，从而2sin22(1cos2)4，即sin2cos21，于是sin.又由0知，2，所以2或2，因此或.
