1、西安电子科技大学西安电子科技大学1。本章要求本章要求一、随机过程的基本概念一、随机过程的基本概念二、平稳随机过程二、平稳随机过程三、高斯随机过程三、高斯随机过程四、随机过程通过线性系统四、随机过程通过线性系统五、窄带随机过程五、窄带随机过程六、正弦波加窄带高斯过程六、正弦波加窄带高斯过程七七.白噪声和带限白噪声白噪声和带限白噪声西安电子科技大学西安电子科技大学2。随机过程的基本概念和数字特征（均值、方差、随机过程的基本概念和数字特征（均值、方差、相关函数）；相关函数）；平稳、高斯、窄带、正弦波加窄带高斯过程的平稳、高斯、窄带、正弦波加窄带高斯过程的统计特性统计特性随机过程通过线性系统随机过程通
2、过线性系统高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声西安电子科技大学西安电子科技大学3。一、随机过程的基本概念一、随机过程的基本概念1 1随机过程的定义随机过程的定义:无穷多个样本函数的集合构成一个随机过程，无穷多个样本函数的集合构成一个随机过程，记为记为(t t)。其属性：其属性：(t t)是一个时间函数；是一个时间函数；在某一观察时刻在某一观察时刻t t1 1 上，全体样本在上，全体样本在t t1 1 时刻时刻 的取值的取值(t t1 1)是一个随机变量。是一个随机变量。西安电子科技大学西安电子科技大学4。2 2分布函数和概率密度分布函数和概率密度 设设 表示一个随机过程，在任意给定的时
3、刻表示一个随机过程，在任意给定的时刻t t1 1 T，t t1 1其取值，其取值，是一个一维随机变量，是一个一维随机变量，则则 小于或等于某一数值小于或等于某一数值 x x1 1 的概率的概率 叫做随机过程叫做随机过程 的一维分布函数。的一维分布函数。l如果存在如果存在 则称则称 为为 的一维概率密度，维数的一维概率密度，维数n n越越大，对随机过程统计特性的描述就越充分。大，对随机过程统计特性的描述就越充分。西安电子科技大学西安电子科技大学)(),(11111xtPtxF),(),(1111111txfxtxF),(111txf)(t)(t)(t)(1t)(1t5。3 3.数字特征数字特征
4、均值（数学期望）均值（数学期望）它表示随机过程的它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心。个样本函数曲线的摆动中心。方差方差 它表示随机过程在时刻它表示随机过程在时刻t对于均值对于均值a(t)的偏离程度。的偏离程度。当当a(t)=0时，方差时，方差 。西安电子科技大学西安电子科技大学)(),()(1tadxtxxftE )()()()()()(2222ttatEtatEtD )()(22tEt6。（3）相关函数）相关函数 描述随机过程在两个不同时刻的随机变量之间描述随机过程在两个不同时刻的随机变量之间的 关 联 程 度 时，常 用 相 关 函 数的 关 联 程 度 时，常 用 相 关 函 数
5、 或或 协方差函数协方差函数 来表示：来表示：若若 。若若 令令 则则 可表示为可表示为 这说明，相关函数是起始时刻这说明，相关函数是起始时刻t1 和和 的函数。的函数。西安电子科技大学西安电子科技大学),(21ttR),(21ttB2121212212121),;,()()(),(dxdxttxxfxxttEttR )()()()(),(221121tattatEttB)()(),(2121tatattR则或,0)(0)(21tata),(),(2121ttRttB,12tt,12tt),(21ttR),(11ttR7。二、平稳随机过程二、平稳随机过程 1.平稳性平稳性 （1）狭义平稳：对任
6、意的）狭义平稳：对任意的n和和h，随机过程，随机过程 的的n维概率密度函数满足维概率密度函数满足西安电子科技大学西安电子科技大学)(t),;,(),;,(21212121hththtxxxftttxxxfnnnnnn 8。则称则称 是平稳随机过程。含义：随机过程是平稳随机过程。含义：随机过程 的统计特性不随时间的推移而变化，即当取样的统计特性不随时间的推移而变化，即当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数不变。且有有限维分布函数不变。且有 一维分布则与时间一维分布则与时间t t无关：无关：二维分布只与二维分布只与有关有关：西安电子科技
7、大学西安电子科技大学)(t)(t)(),(11111xftxf);,(),;,(21221212xxfttxxf 9。（2 2）广义平稳：若随机过程）广义平稳：若随机过程 的数学期望与的数学期望与时间无关，而其相关函数仅与时间间隔时间无关，而其相关函数仅与时间间隔有关，有关，即即 则称则称 广义平稳。广义平稳。注意注意：狭义平稳一定是广义平稳的，反之不：狭义平稳一定是广义平稳的，反之不一定成立。一定成立。西安电子科技大学西安电子科技大学)(t)(),()(11RttRata)(t10。西安电子科技大学西安电子科技大学 2.各态历经性（遍历性）各态历经性（遍历性）设设 是平稳随机过程是平稳随机过
8、程 的任意一个实现，它的的任意一个实现，它的时间均值和时间相关函数分别为时间均值和时间相关函数分别为 如果平稳过程如果平稳过程 依概率依概率1使下式成立使下式成立 )(tx2/2/2/2/)()(1lim)()()()(1lim)(TTTTTTdttxtxTtxtxRdttxTtxa)(t)()(RRaa11。则称平稳过程则称平稳过程 具有各态历经性。具有各态历经性。“各态历经各态历经”的的含义：随机过程中的任一实现（样本函数）都经历含义：随机过程中的任一实现（样本函数）都经历了随机过程的所有可能状态。因此，欲求过程的数了随机过程的所有可能状态。因此，欲求过程的数字特征，无需作无限多次的观察，
9、只需做一次观察，字特征，无需作无限多次的观察，只需做一次观察，用用 时间平均值时间平均值 代替代替 统计平均值统计平均值 即可，从而使计算即可，从而使计算大为简化。大为简化。注意注意：各态历经的随机过程必定是平稳过程，反之：各态历经的随机过程必定是平稳过程，反之不一定成立。不一定成立。西安电子科技大学西安电子科技大学)(t12。3.相关函数的性质相关函数的性质 设设 为实平稳过程，则它的自相关函数为实平稳过程，则它的自相关函数 具有如下主要性质：具有如下主要性质：（1）平均功率（2）直流功率（3）当均值为当均值为0时，有时，有 （4）的偶函数 （5）西安电子科技大学西安电子科技大学)(t)()
10、()(ttERStER)()0(2)()(2tER()()0(2方差）交流功率 RR2)0(R)()(RR)()0()(的上界RRR)(t)(t13。4.频谱特性频谱特性 随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。可以证明：平稳过程的功率谱密度的。可以证明：平稳过程的功率谱密度 和自和自相关函数相关函数 是一对傅里叶变换关系：即是一对傅里叶变换关系：即 简记简记 时域时域 频域频域 当当 时，有时，有 平均功率平均功率西安电子科技大学西安电子科技大学)(P)(RdePRdeRPjj)(21)()()()()(PR0dffPdPR)()(21)0(1
11、4。功率谱密度功率谱密度 性质：性质：（1），非负性，非负性 （2），偶函数，偶函数 归纳：归纳：满足满足 平稳平稳 性质性质西安电子科技大学西安电子科技大学)(P0)(P)()(PP)(t各态经历：时间平均各态经历：时间平均 统计平均统计平均)()(PR时域时域 频频 域域)(R15。三、高斯随机过程三、高斯随机过程 1 1 定义：定义：若随机过程若随机过程 的任意的任意n n维（维（n=1,2,.n=1,2,.）分布都）分布都服从正态，则称它为高斯过程。服从正态，则称它为高斯过程。2 2 重要性质：重要性质：（1 1）若高斯过程是广义平稳的，则也是狭义平稳）若高斯过程是广义平稳的，则也是狭
12、义平稳的；的；西安电子科技大学西安电子科技大学)(t16。（2 2）若高斯过程中的随机变量之间互不相）若高斯过程中的随机变量之间互不相 关，则它们也是统计独立的；关，则它们也是统计独立的；（3 3）若干个高斯过程的代数和的过程仍是高）若干个高斯过程的代数和的过程仍是高 斯型；斯型；（4 4）高斯过程经过线性变换（或线性系统）高斯过程经过线性变换（或线性系统）后的过程仍是高斯型后的过程仍是高斯型。西安电子科技大学西安电子科技大学17。3.一维概率密度和正态分布函数一维概率密度和正态分布函数 高斯过程在任一时刻上的取值是一个高斯随机高斯过程在任一时刻上的取值是一个高斯随机变量，其一维概率密度函数可
13、表示为变量，其一维概率密度函数可表示为 式中式中 a、分别为期望，方差。分别为期望，方差。西安电子科技大学西安电子科技大学222)(exp21)(axxf218。曲线如图曲线如图：21西安电子科技大学西安电子科技大学图图2-1 正态分布的概率密度正态分布的概率密度19。的特性如下：的特性如下：（1）对称于）对称于 的直线的直线 （2）图图1 和和 （3）a表示分布中心，表示分布中心，表示集中程度，表示集中程度，图图 形形 将随着将随着 的减小而变高和变窄。当的减小而变高和变窄。当 时，称时，称 为标准正态分布的密度函数。为标准正态分布的密度函数。西安电子科技大学西安电子科技大学)(xfax 1
14、)(dxxfaadxxfdxxf21)()()(xf1,0a)(xf20。正态分布函数正态分布函数 引入：误差函数引入：误差函数 它是自变量的递增函数：它是自变量的递增函数：，且且西安电子科技大学西安电子科技大学dzazxPxFx222)(exp21)()(dtexerfxt022)(0)0(erf1)(erf)()(xerfxerf21。互补误差函数互补误差函数 它是自变量的递减函数：它是自变量的递减函数：，且且 西安电子科技大学西安电子科技大学dtexerfxerfcxt22)(1)(1)0(erfc0)(erfc)(2)(xerfcxerfc22。作变量代换，令作变量代换，令 ，有，有
15、则分布函数则分布函数F(x)可用误差函数表示，它简明的可用误差函数表示，它简明的 特性有助于今后分析通信系统的抗噪声性能。特性有助于今后分析通信系统的抗噪声性能。西安电子科技大学西安电子科技大学2/)(aztdtdz223。四、随机过程通过线性系统四、随机过程通过线性系统 设线性系统的冲击响应为设线性系统的冲击响应为 输入随机过程为输入随机过程为 ，则输出随机过程，则输出随机过程 若输入有界且系统是物理可实现的，则若输入有界且系统是物理可实现的，则 或或 西安电子科技大学西安电子科技大学)()(Hth)(tidththttii)()()()()(0dthtti)()()(000)()()(dt
16、hti24。利用以上关系可以证明：利用以上关系可以证明：（1）若输入若输入 平稳，则输出平稳，则输出 也平稳，且也平稳，且 有有西安电子科技大学西安电子科技大学)(ti)(0t)(E)0()(EOtHti25。（2 2）（3 3）若输入若输入 高斯过程，则输出高斯过程，则输出 也是高斯过程。即高斯过程经线性也是高斯过程。即高斯过程经线性 后的过程仍为高斯型。后的过程仍为高斯型。西安电子科技大学西安电子科技大学)()()(i20PHP)(ti)(0t26。五、窄带随机过程五、窄带随机过程其频谱和样本如图其频谱和样本如图 （a）西安电子科技大学西安电子科技大学27。图图2-2 2-2 窄带过程的频
17、谱和波形示意窄带过程的频谱和波形示意西安电子科技大学西安电子科技大学28。窄带过程窄带过程 可表示为可表示为 等价式等价式 西安电子科技大学西安电子科技大学0ccfff窄带)(t0)(,)(cos)()(tatttatctttttcsccsin)(cos)()(29。其中其中 同相分量同相分量 正交分量正交分量 结论结论1：一个均值为零，方差为：一个均值为零，方差为 的平稳高斯的平稳高斯窄带过程窄带过程，它的同相分量，它的同相分量 正交分量正交分量 同样是平稳高斯过程，而且均值都为零，方差同样是平稳高斯过程，而且均值都为零，方差也相同。也相同。西安电子科技大学西安电子科技大学)(cos)()(
18、ttatc)(sin)()(ttats2)(tc)(ts30。即：即：且且 （互不相关或统计独立）（互不相关或统计独立）西安电子科技大学西安电子科技大学0)()()(tEtEtEsc222sc0)0(SCR31。结论结论2：一个均值为零，方差为：一个均值为零，方差为 的平稳高斯的平稳高斯窄带过程窄带过程，其，其 包络包络 瑞利分布：瑞利分布：相位相位 均匀分布：均匀分布：且且 （统计独立）（统计独立）西安电子科技大学西安电子科技大学2)0(,2exp)(222aaaaf)20(,21)(f)(ta)(t)()(),(fafaf32。六、正弦波加窄带高斯过程六、正弦波加窄带高斯过程 信号在传输过
19、程中总会受到噪声的影响，信号在传输过程中总会受到噪声的影响，接收信号往往是信号与噪声的合成波。正弦波接收信号往往是信号与噪声的合成波。正弦波加窄带高斯噪声是通信系统中常见的一种情况。加窄带高斯噪声是通信系统中常见的一种情况。设合成信号为设合成信号为西安电子科技大学西安电子科技大学)()cos()(tntAtrc33。式中式中 ，为窄带高斯为窄带高斯噪声，其均值为零；正弦波的振幅噪声，其均值为零；正弦波的振幅A和频率和频率 均为常数，均为常数，在在 上均匀分布，则上均匀分布，则西安电子科技大西安电子科技大学学ttnttntncsccsin)(cos)()(c)(cos)(sin)(cos)(si
20、n)(sincos)(cos)(tttzttzttzttnAttnAtrccScccscc34。式中式中 合成信号合成信号 的包络和相位分别为的包络和相位分别为 西安电子科技大学西安电子科技大学)(sin)()(cos)(tnAtztnAtzsscc)(tr)20(,)()()(0,)()()(122tztztgtztztztzcssc35。可以证明：包络可以证明：包络 服从广义瑞利分布，也称莱斯服从广义瑞利分布，也称莱斯分布。其概率密度函数为分布。其概率密度函数为 式中，式中，是零阶修正贝塞尔函数，当是零阶修正贝塞尔函数，当 时，时，是单调上升函数，且有是单调上升函数，且有 。如果。如果A=
21、0,则上式变为瑞利分布。则上式变为瑞利分布。西安电子科技大西安电子科技大学学)(tz0)(21exp)(202222zAzIAzzzf)(0 xI0 x)(0 xI1)0(0I36。七七.白噪声和带限白噪声白噪声和带限白噪声 1.白噪声白噪声 定义：在整个频域内，功率谱密度是一个常数。定义：在整个频域内，功率谱密度是一个常数。式中式中 为一常数，单位是（瓦为一常数，单位是（瓦/赫）。赫）。自相关函数自相关函数西安电子科技大学西安电子科技大学)/(2)(0HzWnP0n)(2)(0nR37。图图2-3 白噪声的谱密度和自相关函数白噪声的谱密度和自相关函数西安电子科技大学西安电子科技大学38。讨论
22、讨论：白噪声只有在白噪声只有在 （同一时刻）时才（同一时刻）时才相关，而在任意两个时刻上的随机变量都是不相关，而在任意两个时刻上的随机变量都是不相关的。相关的。若白噪声又是高斯分布的，则称之为高斯白噪若白噪声又是高斯分布的，则称之为高斯白噪声。高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值声。高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。的。西安电子科技大学西安电子科技大学039。2带限白噪声带限白噪声 【例【例2-1】白噪声通过理想低通滤波器白噪声通过理想低通滤波器 设理想矩形的低通滤波器的传输特性为设理想矩形的低通滤波器的传输
23、特性为 则输出噪声的功率谱密度为则输出噪声的功率谱密度为西安电子科技大学西安电子科技大学其他0)(20HtfjffeKfHHiffnKfPHfP,2)()()(0202040。可见，输出噪声的功率谱密度在可见，输出噪声的功率谱密度在 内内是均匀的，在此范围外则为零，如图是均匀的，在此范围外则为零，如图2-4（a）所示，通常把这样的噪声称为带限白噪声。所示，通常把这样的噪声称为带限白噪声。自相关函数为自相关函数为西安电子科技大学西安电子科技大学HffHHHfffnKR22sin)(02041。图图2-4 带限白噪声的功率谱和自相关函数带限白噪声的功率谱和自相关函数西安电子科技大学西安电子科技大学200K2n（a）（b）42。如图如图2-4（b）所示，带限白噪声只有在）所示，带限白噪声只有在 上得到的随机变量才上得到的随机变量才 不相关。这一结论告诉我们，如果对带不相关。这一结论告诉我们，如果对带 限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样 值是互不相关的随机变量。值是互不相关的随机变量。),3,2,1(2/kfkH西安电子科技大学西安电子科技大学43。
