1、专题05 导数及其应用 【答案解析版】多项选择题1（2019秋滨州期末）已知定义在上的函数的导函数为，且，则下列判断中正确的是ABCD【分析】结合已知可构造，结合已知可判断的单调性，结合单调性及不等式的性质即可判断【解答】解：令，因为，则，故在，上单调递减，因为，则，结合选项可知，从而有，即，故错误，因为，结合在在，上单调递减可知，从而有，由可得，故错误；，从而有，且，即故正确；，从而有即故正确故选：2（2019秋张店区校级期末）关于函数，下列判断正确的是A是的极大值点B函数有且只有1个零点C存在正实数，使得成立D对任意两个正实数，且，若，则【分析】求函数的导数，结合函数极值的定义进行判断；求
2、函数的导数，结合函数的单调性，结合函数单调性和零点个数进行判断即可；利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值进行判断即可；令，求函数的导数，研究函数的单调性进行证明即可【解答】解：函数的的定义域为，函数的导数，上，函数单调递减，上，函数单调递增，是的极小值点，即错误；，函数在上单调递减，且（1），（2），函数有且只有1个零点，即正确；若，可得令，则，令，则，在上，函数单调递增，上函数单调递减，（1），在上函数单调递减，函数无最小值，不存在正实数，使得恒成立，即不正确；令，则，令，则，在上单调递减，则，令，由，得，则，当时，显然成立，对任意两个正实数，且，若，则，故正确故选
3、：3（2019秋济宁期末）已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图象，则下列说法正确的是A函数的增区间是，B函数的增区间是，C是函数的极小值点D是函数的极小值点【分析】根据题意，由函数的图象分析导函数的符号，进而可得的单调区间以及单调性，据此分析可得答案【解答】解：根据题意，由函数的图象可知：当时，此时为增函数，当时，此时为减函数，当时，此时为减函数，当时，此时为增函数；据此分析选项：函数的增区间是，则正确，错误；是函数的极大值点，是函数的极小值点，则正确，错误；故选：4（2019秋漳州期末）定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，则下列结论正确的是A函数在区间单调递增B函数在区间单调递减
4、C函数在处取得极大值D函数在处取得极小值【分析】结合函数的导数与单调性的关系及极值取得的条件对选项分别进行检验即可判断【解答】解：结合导数与函数单调性的关系可知，当时，则函数单调递减，当时，此时函数单调递增，故当时，函数取得极小值，没有极大值，故选：5（2019秋临沂期末）已知函数的定义域为，则A为奇函数B在，上单调递增C恰有4个极大值点D有且仅有4个极值点【分析】先求出函数定义域，判断函数的定义域关于原点不对称，故可判断；对函数求导，然后结合导数与单调性，极值的关系可对选项进行判断【解答】解：因为的定义域为，所以是非奇非偶函数，又，当，时，则在，上单调递增显然，令，得，分别作出，在区间，上的
5、图象，由图可知，这两个函数的图象在区间，上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故在区间，上的极值点的个数为4，且只有2个极大值点故选：6（2019秋烟台期中）已知函数，若，则下列结论正确的是ABCD当时，【分析】根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可【解答】解：正确；因为令，在上是增函数，当 时，即错误；因为令，时，单调递增，时，单调递减与无法比较大小错误；因为令，时，在单调递减，时，在单调递增，当时，当 时，正确；因为时，单调递增，又正确，故选：7（2019秋润州区校级期末）直线能作为下列函数图象的切线的有ABCD【分析】先求出函数的
6、导函数，然后根据直线能作为下列函数图象的切线，根据导数与切线斜率的关系建立等式，看是否成立即可【解答】解：函数，可得不成立；所以不正确；，可以成立；所以正确；，可以成立；所以正确；，可成立所以正确；故直线能作为函数图象的切线，故选：8如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于函数的判断正确的是A在区间内单调递减B在区间内单调递增C是极小值点D是极大值点【分析】利用导函数的图象，判断导函数的符号，判断函数的单调区间以及函数的极值即可【解答】解：函数在区间内，则函数单调递增；故不正确，函数在区间的导数为，在区间上单调递增，正确；由图象知当时，函数取得极小值，但是函数没有取得极小值，故错误，时，当时
7、，为增函数，此时此时函数为减函数，则函数内有极大值，是极大值点；故正确，故选：9已知函数，其导函数为，下列命题中真命题的为A的单调减区间是B的极小值是C当时，对任意的且，恒有（a）（a）D函数有且只有一个零点【分析】由，知，令，得，分别求出函数的极大值和极小值，知错误，正确；由，且，利用作差法知（a）（a），故正确；【解答】解：，其导函数为令，解得，当时，即，或时，函数单调递增，当时，即时，函数单调递减；故当时，函数有极小值，极小值为（2），当时，函数有极大值，极大值为，故函数只有一个零点，错误，正确；，且，（a）（a），恒有（a）（a），故正确；故选：10已知函数的定义域为，其导函数的图象如
8、图所示，则对于任意，下列结论正确的是A恒成立BCD【分析】由导函数的图象可知，导函数的图象在轴下方，即，故原函数为减函数，并且是，递减的速度是先快后慢由此可得函数的图象，再结合函数图象易得正确答案【解答】解：由导函数的图象可知，导函数的图象在轴下方，即，故原函数为减函数，并且是，递减的速度是先快后慢所以的图象如图所示：恒成立，没有依据，故不正确；表示与异号，即为减函数故正确；左边边的式子意义为，中点对应的函数值，即图中点的纵坐标值，右边式子代表的是函数值得平均值，即图中点的纵坐标值，显然有左边小于右边，故不正确，正确，故选：11若函数，为自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质给
9、出下列函数：不具有性质的为ABCD【分析】利用导数研究函数的单调性，对选项逐一考查就可以得到答案【解答】解：对于，则，则，函数先递减再递增；对于，则，在实数集上恒成立，在定义域上是增函数；对于，则，显然不单调；对于，则，当时，在定义域上先减后增；具有性质的函数的序号为，不具有性质的函数的序号为、故选：12对于函数，下列说法正确的有A在处取得极大值B有两个不同的零点C（2）（3）D若在上恒成立，则【分析】求函数的导数，结合函数单调性，极值，函数零点的性质分别进行判断即可【解答】解：函数的导数，令得，则当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，则当时，函数取得极大值，极大值为（e），故正确，当，则的
10、图象如图：由得得，即函数只有一个零点，故错误，由图象知（2）（4），（3）（4），故（2）（3）成立，故正确，若在上恒成立，则，设，则，当时，当时，即当时，函数取得极大值同时也是最大值（1），成立，故正确故选：13设点是曲线上的任意一点，点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围包含下列哪些AB，C，D，【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由指数函数的值域，可得斜率的范围，由正切函数的图象和性质，可得倾斜角的范围【解答】解：的导数为，由，可得切线的斜率，由，可得或，则，正确，故选：14已知函数的图象与直线有两个交点，则的取值可以是AB1C2D3【分析】令函数的图象与直线有两个交点，等价于函数有且
11、仅有两个零点对分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出【解答】解：令，当时，函数在上单调递减，不可能有两个零点，不符合题意，舍去当时，令，解得可得函数在时取得最小值，可得函数在取得最大值，的最小值时，函数有且仅有两个零点，即函数的图象与直线有两个交点，的取值可以是1，2，3故选：15（2019秋仓山区校级期末）定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是A是的一个极小值点B和都是的极大值点C的单调递增区间是D的单调递减区间是【分析】有图象可知，根据的符号即可判断的单调性和极值情况【解答】解：当时，单调递减；当时，单调递增，是的极小值，故选项正确；由图可知，当时，的递增
12、区间为，故选项正确；由图可知，当时，的递减区间为，故选项正确；又在和两侧同号，不是的极值点，故选项错误；故选：16（2019秋仓山区校级期末）定义在的函数，已知是它的极大值点，则以下结论正确的是A是的一个极大值点B是的一个极小值点C是的一个极大值点D是的一个极小值点【分析】利用函数的图象变换即可求出结果【解答】解：与图象关于轴对称，是的一个极大值点，故选项正确；与图象关于轴对称，是的一个极小值点，故选项，错误；与图象关于原点对称，是的一个极小值点，故选项正确；故选：17（2019秋金华期末）设的最大值为，则A当时，B当时，C当时，D当时，【分析】结合选项中的不同的，对函数求导，结合导数判断函数
13、在区间上单调性，进而可求函数的最值即，即可判断【解答】解：当时，则可得，在上恒成立，故在上单调递减，所以，故正确；当时，则，易证恒成立，故，从而在上单调递增，故成立；当时，则可得在上单调递减，所以，故在上单调递增，故错误；当时，则，易得在上单调递减，所以，所以在上单调递增，故错误故选：18（2019秋琼山区校级期末）已知函数，的图象与直线分别交于、两点，则A的最小值为B使得曲线在处的切线平行于曲线在处的切线C函数至少存在一个零点D使得曲线在点处的切线也是曲线的切线【分析】求出、两点的坐标，得出关于的函数表达式，利用导数求出的最小值，即可判断出选项的正误；解方程，可判断出选项的正误；利用导数判断
14、函数的单调性，结合极值的符号可判断出选项的正误；设切线与曲线相切于点，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出选项的正误进而得出结论【解答】解：令，得，令，得，则点、，如下图所示：由图象可知，其中，令，则，则函数单调递增，且，当时，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，选项正确；，则，曲线在点处的切线斜率为，曲线在点处的切线斜率为，令，即，即，则满足方程，使得曲线在处的切线平行于曲线在处的切线，选项正确；构造函数，可得，函数在上为增函数，由于，（1），则存在，使得，可得，当时，；当时，函数没有零点，选项错误；设曲线在点处的切线与曲线相切于点，则曲线在点处的切线方程为，即
15、，同理可得曲线在点处的切线方程为，消去得，令，则，函数在上为减函数，（1），则存在，使得，且当时，当时，函数在上为减函数，由零点存 定理知，函数在上有零点，即方程有解使得曲线在点处的切线也是曲线的切线故选：19（2019秋历下区校级月考）已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是ABCD【分析】结合极值存在条件与零点判定定理及二次函数的 性质即可进行判定【解答】解：，在时单调递增，是函数的极值点，且，又，时，根据零点判定定理可知， ，又，结合二次函数的性质可知，故选：20（2019秋市中区校级月考）设定义在上的函数满足，且当时，已知存在，且为函数，为自然对数的底数）的一个零点，则实数的取值可能是ABCD【分析】先构造函数，判断函数的奇偶性，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数零点的性质建立不等式关系进行求解即可【解答】解：令函数，因为，为奇函数，当时，在，上单调递减，在上单调递减存在，得，即，；，为函数的一个零点；当时，函数在时单调递减，由选项知，取，又，要使在时有一个零点，只需使，解得，的取值范围为，故选：
