1、一、映射一、映射 如果按照某种对应法则如果按照某种对应法则 f,对于集合对于集合 A 中的任何一个元素中的任何一个元素,在在集合集合 B 中都有唯一的元素和它对应中都有唯一的元素和它对应,那么这种对应叫做那么这种对应叫做集合集合A 到集合到集合 B 的映射的映射,记作记作 f:AB.二、一一映射二、一一映射 如果如果 f:AB 是集合是集合 A 到集合到集合 B 的映射的映射,对于集合对于集合 A 中的不中的不同元素同元素,在集合在集合 B 中有不同的象中有不同的象,且且 B 中的每一个元素都有原中的每一个元素都有原象象,那么这种映射叫做那么这种映射叫做一一映射一一映射.若若 aA,bB,且且
2、 a 和和 b 对应对应,则称则称 b 是是 a 的的象象,a 是是 b 的的原象原象.三、函数三、函数 设设 A,B 是两个非空数集是两个非空数集,如果按照某种对应法则如果按照某种对应法则 f,对于集合对于集合 A 中的任何一个数中的任何一个数 x,在集合在集合 B 中都有唯一确定的数和它对应中都有唯一确定的数和它对应,那么称那么称 f:AB 为为集合集合 A 到到 B 的一个函数的一个函数.x 叫做自变量叫做自变量,x 取值的集合取值的集合 A 叫做函数的叫做函数的定义域定义域;与与 x 的值对应的的值对应的 y 的值叫做的值叫做函数值函数值,函数值的集合叫做函数函数值的集合叫做函数的的值
3、域值域.解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,函数的定义域包含三种形式函数的定义域包含三种形式:表示函数的对应法则有表示函数的对应法则有解析法解析法、列表法列表法与与图象图象法法,其中解析法是最基本、最重要的方法其中解析法是最基本、最重要的方法,中学数学学习的函中学数学学习的函数数基本基本上都能用解析法表示上都能用解析法表示.四、函数的三要素四、函数的三要素1.对应法则对应法则 若一个函数的定义域分成了若干个子区间若一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的而每个子区间的解析式不同解析式不同,这种函数叫做这种函数叫做分段函数分段函数.若一
4、个函数的自变量又是另一个变量的函数若一个函数的自变量又是另一个变量的函数:y=f(u),u=g(x),即即 y=fg(x),这种函数叫做这种函数叫做复合函数复合函数.对应法则、定义域、值域是函数的三要素对应法则、定义域、值域是函数的三要素,其中起决定作用其中起决定作用的是对应法则和定义域的是对应法则和定义域.2.定义域定义域 定义型定义型:指使函数的解析式有意义的自变量指使函数的解析式有意义的自变量 x 取值的集合取值的集合(如如:分式函数的分母不为零分式函数的分母不为零,偶次根式函数的被开方数为非负偶次根式函数的被开方数为非负数数,对数函数的真数为正数对数函数的真数为正数,等等等等);限制型
5、限制型:指命题的条件或人为对自变量指命题的条件或人为对自变量 x 的限制的限制,这是函这是函数学习中的重点数学习中的重点,往往也是难点往往也是难点,有时这种限制比较隐蔽有时这种限制比较隐蔽,容容易出错易出错;实际型实际型:解决函数的综合问题与应用问题时解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考察应认真考察自变量自变量 x 的实际意义的实际意义.3.值域值域配方法配方法;判别式法判别式法;不等式法不等式法;函数法函数法;换元法；换元法；数形结合；数形结合；反求法；反求法；导数法；等导数法；等中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域:注注:运用初等方法
6、求函数的值域经常要对函数的解析式进行运用初等方法求函数的值域经常要对函数的解析式进行变换变换,但必须保证变换的等价性但必须保证变换的等价性.否则可能引起所求值域的扩否则可能引起所求值域的扩大或缩小大或缩小.另外另外,求函数的值域必须认真考察函数的定义域求函数的值域必须认真考察函数的定义域,如如果定义域是闭区间果定义域是闭区间,则先求得函数的最大值则先求得函数的最大值,最小值最小值,得函数的得函数的值域值域.1.求下列函数的定义域求下列函数的定义域:典型例题典型例题 2.已知函数已知函数 f(x)的定义域为的定义域为-,求函数求函数 y=f(x2-x-)的的定义域定义域.121212 3.已知函
7、数已知函数 f(x)的定义域是的定义域是 a,b,且且 a+b0,求下列函数的定求下列函数的定义域义域:(1)f(x2);(2)g(x)=f(x)-f(-x);(3)h(x)=f(x+m)+f(x-m)(m0).4.当当 k 为何值时为何值时,函数函数 y=lg(kx2+4kx+3)的定义域为的定义域为 R?又当又当 k 为何值时为何值时,值域为值域为 R?(,1)(1,)(,2321232-5,-)(-,)(,5 2 3 23 22 值域为值域为 R 时时,定义域又如何定义域又如何?(1)y=+(3-2x)0;2x-x2lg(2x-1)(2)y=25-x2 +lgcosx.,0 1,1-52
8、1+5 2 在给定条件下求函数的解析式在给定条件下求函数的解析式 f(x),是高中数学中经常涉是高中数学中经常涉及的内容及的内容,形式多样形式多样,没有一定的程序可循没有一定的程序可循,综合性强综合性强,解起解起来有相当的难度来有相当的难度,但是只要认真仔细去探索但是只要认真仔细去探索,还是有一些常用还是有一些常用之法之法.下面谈谈求函数解析式下面谈谈求函数解析式 f(x)的方法的方法.一、配凑法一、配凑法例例1 已知已知 f()=+,求求 f(x).xx+1x2x2+1x1f(x)=x2-x+1(x1).解解:f()=+xx+1x2x2+1x1=1+x21x1=(+1)2-(+1)+1 x1
9、x1并且并且 1,xx+1=()2-()+1 xx+1xx+1评注评注:若在给出的函数关系式中若在给出的函数关系式中 与与 的关系的关系不明显时不明显时,要通过恒等变形寻找二者的关系要通过恒等变形寻找二者的关系.+x2x2+1x1xx+1二、换元法二、换元法 所以所以 f(x)=2lnx-3(x0).评注评注:通过换元通过换元,用用“新元新元”代替原表达式中的代替原表达式中的“旧元旧元”,从而求得从而求得 f(x).又如又如:已知已知 f(cosx-1)=cos2x.求求 f(x).例例2 已知已知 f(ex)=2x-3,求求 f(x).解解:设设 t=ex,则则 x=lnt 且且 t0,有有
10、:f(t)=2lnt-3(t0).f(x)=2x2+4x+1(-2x0)三三、解方程组法解方程组法例例3 已知已知 f(x)+f()=1+x(x0,1),求求 f(x).xx-1解解:记题中式子为记题中式子为式式,用用 代替代替中的中的 x,整理得整理得:xx-1f()+f()=,xx-11-x1x2x-1再用再用 代替代替中的中的 x,整理得整理得:1-x1f()+f(x)=,1-x11-x2-x解由解由,组成的方程组组成的方程组,得得:2x(x-1)x3-x2-1f(x)=.评注评注:把把 f(x),f(),f()都看作都看作“未知数未知数”,把已知条把已知条件化为方程组的形式解得件化为方
11、程组的形式解得 f(x).又如又如:已知已知 af(x)+bf()=cx,其其中中,|a|b|,求求 f(x).xx-1 1-x 1 1xf(x)=(ax-).a2-b2cbx四四、递推求和法递推求和法 例例4 已知已知 f(n)-f(n-1)=an,n 为不小于为不小于 2 的自然数的自然数,a0 且且f(2)=8,求求 f(n)的解析式的解析式.解解:由已知由已知,f(3)-f(2)=a3,f(4)-f(3)=a4,f(n)-f(n-1)=an,将这将这(n-2)个式子相加个式子相加,得得:评注评注:这是运用数列中递推公式的思想这是运用数列中递推公式的思想.f(n)-f(2)=a3+a4+
12、an=n-2 (a=1 时时);a3(1-an-2)(1-a)-1 (a1 时时).f(n)=n+6 (a=1 时时);8+(a3-an+1)(1-a)-1 (a1 时时).f(2)=8,五五、待定系数法待定系数法例例5 设设 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1,求求 f(x).解解:由原式可知由原式可知 fg(x)中的中的 g(x)一个是一个是 2x,另一个是另一个是 3x+1,都是一次式都是一次式.而右端是二次式，故而右端是二次式，故 f(x)是一个二次式是一个二次式,则可设则可设:f(x)=ax2+bx+c,从而有从而有:f(2x)+f(3x+1)=13ax2+(6a+5b)
13、x+(a+b+2c).比较系数得比较系数得:a=1,b=0,c=-1.从而有从而有:f(x)=x2-1.评注评注:先分析出先分析出 f(x)的基本形式的基本形式,再用待定系数法再用待定系数法,求出各求出各系数系数.又由已知又由已知 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1,13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)与与 13x2+6x-1 表示同一个式子表示同一个式子,即即 13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)13x2+6x-1.例例6 已知已知 fff(x)=27x+13,且且 f(x)是一次式是一次式,求求 f(x).解解:由已知可设由已知可设 f(x)=ax+b,则则
14、:六六、迭代法迭代法ff(x)=a2x+ab+b.fff(x)=a3x+a2b+ab+b.由题意知由题意知:a3x+a2b+ab+b27x+13.比较系数得比较系数得:a=3,b=1.故故 f(x)=3x+1.评注评注:本题的解法除了用迭代法本题的解法除了用迭代法,还用了待定系数法还用了待定系数法.七七、数学归纳法数学归纳法例例7 已知已知 f(n+1)=2+f(n)(nN+),且且 f(1)=a,求求 f(n).12解解:f(1)=a f(2)=2+a 12=4-21+2-1a,故猜想故猜想:f(n)=4-23-n+21-na,用数学归纳法证明如下用数学归纳法证明如下:f(5)=2+f(4)
15、12f(3)=2+f(2)=3+a 1214=4-20+2-2a,f(4)=2+f(3)=+a 127218=4-2-1+2-3a,=4-2-2+2-4a,=4-22+20a,证明从略证明从略.故故 f(n)=4-23-n+21-na.评注评注:先用不完全归纳法摸索出规律先用不完全归纳法摸索出规律,再用数学归纳法证再用数学归纳法证明明,适用于自然数集上的函数适用于自然数集上的函数.一、配方法一、配方法 形如形如 y=af 2(x)+bf(x)+c(a0)的函数常用配方法求函数的值的函数常用配方法求函数的值域域,要注意要注意 f(x)的取值范围的取值范围.例例1(1)求函数求函数 y=x2+2x
16、+3 在下面给定闭区间上在下面给定闭区间上的值域的值域:二、换元法二、换元法 通过代数换元法或者三角函数换元法通过代数换元法或者三角函数换元法,把无理函数、指数把无理函数、指数函数、对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的函数、对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方法方法(关注新元范围关注新元范围).例例2 求下列函数的值域求下列函数的值域:(1)y=x-x-1;(2)y=x+2-x2;(3)y=sinx+cosx+sinxcosx+1.-4,-3;-4,1;-2,1;0,1.6,11;2,11;2,6;3,6.34 ,+)(2)求函数求函数 y=sin2x+4cosx+1 的
17、值域的值域.-3,5.0,+2 32-2,2三、反求法三、反求法四、分离常数法四、分离常数法利用已知函数的值域求给定函数的值域利用已知函数的值域求给定函数的值域.例例3 求下列函数的值域求下列函数的值域:2x+1 2x(1)y=;sinx-3(2)y=;sinx+2 主要适用于具有分式形式的函数解析式主要适用于具有分式形式的函数解析式,通过变形通过变形,将函将函数化成数化成 y=a+的形式的形式.b g(x)例例4 求下列函数的值域求下列函数的值域:2x+1 2x(1)y=;sinx-3(2)y=.sinx+2(0,1)32-,-14(0,1)32-,-14五、判别式法五、判别式法例例5 求函
18、数求函数 y=的值域的值域.x2+x+1 x2-x 主要适用于形如主要适用于形如 y=(a,d不同时为零不同时为零)的函数的函数(最最好是满足分母恒不为零好是满足分母恒不为零).ax2+bx+c dx2+ex+f 六、均值不等式法六、均值不等式法(1)y=;x2+1 2x例例6 求下列函数的值域求下列函数的值域:(2)y=(x1).x-1 x2-2x+5-1,1 4,+)能转化为能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函的函数常用判别式法求函数的值域数的值域.利用基本不等式求出函数的最值进而确定函数的值域利用基本不等式求出函数的最值进而确定函数的值域.要要注意满足
19、条件注意满足条件“一正、二定、三等一正、二定、三等”.1-,1+2 332 33七、利用函数的单调性七、利用函数的单调性八、数形结合法八、数形结合法 主要适用于主要适用于 (1)y=ax+b+cx+d (ac0)形式的函数形式的函数;(2)利用利用基本不等式不能求得基本不等式不能求得 y=x+(k0)的最值的最值(等号不成立等号不成立)时时.k x 例例7 求下列函数的值域求下列函数的值域:(1)y=1-2x-x;(2)y=x+(0 x1);4 x 12-,+)5,+)当函数的解析式明显具备某种几何意义当函数的解析式明显具备某种几何意义,像两点间的距离像两点间的距离公式、直线斜率等时可考虑用数
20、形结合法公式、直线斜率等时可考虑用数形结合法.例例8 求下列函数的值域求下列函数的值域:(1)y=|x-1|+|x+4|;sinx-3(2)y=;2+cosx(3)y=2x2-6x+9 +2x2-10 x+17;(4)若若 x2+y2=1,求求 x+y 的取值范围的取值范围;(5)若若 x+y=1,求求 x2+y2 的取值范围的取值范围.5,+)12 ,+)(0,3 (3)y=x+3 -x.-2-,-2+2 332 332 5,+)-2,2 九、导数法九、导数法 对于可导函数对于可导函数,可利用导数的性质求出函数的最值可利用导数的性质求出函数的最值,进而进而求得函数的值域求得函数的值域.例例9
21、 求下列函数在给定区间上的值域求下列函数在给定区间上的值域:(2)y=x5-5x4+5x3+2,x-1,2.(1)y=x+,x 1,4;4 x 4,5-9,3 1.求下列函数的值域求下列函数的值域:值域课堂练习题值域课堂练习题(1)y=;x-23x+1(2)y=2x+4 1-x;(3)y=x+1-x2;(1)(-,3)(3,+)(2)(-,4(4)3,+)(4)y=|x+1|+(x-2)2;(3)-1,2(5)y=;2-cosx sinx(6)y=;x2+x+1 2x2-x-2(7)y=(0 恒成立恒成立.=64-4mn0.mx2+8x+n x2+1 令令 y=,则则 1y9.mx2+8x+n x2+1 问题转化为问题转化为 xR 时时,y=的值域为的值域为 1,9.变形得变形得(m-y)x2+8x+(n-y)=0,当当 my 时时,xR,=64-4(m-y)(n-y)0.整理得整理得 y2-(m+n)y+mn-160.依题意依题意 m+n1+9,mn-16=19,解得解得 m=5,n=5.当当 m=y 时时,方程即为方程即为 8x+n-m=0,这时这时 m=n=5 满足条件满足条件.故所求故所求 m 与与 n 的值均为的值均为 5.
