1、1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理,能正确区分“类”和“步”,并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.2.通过实例总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理规律,能根据具体问题的特征,选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题.3.过程与方法:引导学生形成“自主学习”“合作学习”等良好的学习方式,培养学生的归纳概括能力.先看下面的问题先看下面的问题:从我们班上推选出两名同学担任班长从我们班上推选出两名同学担任班长,有多少种不有多少种不同的选法同的选法?把我们的同学排成一排把我们的同学排成一排,共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法?要解决这些问题要解决这些问题,就要用
2、到分类加法计数原理与分步就要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理乘法计数原理.这节课这节课,我们从具体例子出发来进一步学我们从具体例子出发来进一步学习、理解这两个原理习、理解这两个原理.m m1 1+m+m2 2+m+mn n问题1问题2m m1 1m m2 2m mn n分类加法计数原理做一件事情,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=种不同的方法.分步乘法计数原理做一件事情,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,做第n步有mn种不同的方法,
3、那么完成这件事有N=种不同的方法.问题3“分类分类”相互独立相互独立相对独立相对独立各个步骤各个步骤理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点相同点:都是完成一件事的不同方法种数的问题;不同点:分类加法计数原理针对的是 问题,完成一件事要分为若干类,各类的方法 ,各类中的各种方法也 ,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事,是独立完成;而分步乘法计数原理针对的是 问题,完成一件事要分为若干步,各个步骤相互依存,完成任何其中的一步都不能完成该件事,只有当 都完成后,才算完成这件事.“分步分步”问题问题4 4完成一件事,分类加法计数原理、分步乘法计数原理的选择分类加法计数原理的各类方法是
4、 的,用任何一种方法可以完成这件事,而分步乘法计数原理的各个步骤是 的,必须完成每个步骤,才能完成这件事.根据具体问题的特征,正确认识分类和分步的特征,才能正确选择分类 计数原理或 乘法计数原理来解决问题.相互依存相互依存相互独立相互独立加法加法分步分步1B B2C C集合P=x,1,Q=y,1,2,其中x,y1,2,3,9,且PQ.把满足上述条件的一对有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是().A.9 B.14C.15D.21【解析】当【解析】当x=2时时,xy,点的个数为点的个数为17=7(个个);当当x2时时,x=y,点的个数为点的个数为71=7(个个),则共有则共有1
5、4个点个点,故选故选B.3位同学参加某种形式的竞赛,竞赛规则规定:每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答,选甲题答对得20分,答错得-20分;选乙题答对得10分,答错得-10分.若3位同学的总分为0,则这3位同学不同得分情况的种数是().A.3 B.4 C.6 D.831515【解析】由题意总分为【解析】由题意总分为0分二类分二类:第一类得分为第一类得分为20,-10,-10;第二类为第二类为-20,10,10.每类有三种情况每类有三种情况,总共有总共有6种情况种情况.如图,某电子元件是由3个电阻组成的回路,其中有4个焊点A、B、C、D,若某个焊点脱落,整个电路就不通,现在发现电路不通了,那
6、么焊点脱落的可能情况共有种.【解析】当线路不通时【解析】当线路不通时,焊点脱落的可能情况共有焊点脱落的可能情况共有2222-1=15种种.4某校学生会由高一年级5人,高二年级6人,高三年级4人组成.选其中1人为学生会主席,有多少种不同的选法?【解析】若当选学生会主席的为高一学生【解析】若当选学生会主席的为高一学生,则有则有5种选种选法法;若当选学生会主席的为高二学生若当选学生会主席的为高二学生,则有则有6种选法种选法;若当选若当选学生会主席的为高三学生学生会主席的为高三学生,则有则有4种选法种选法.根据加法原理根据加法原理,不同不同的选法种数为的选法种数为N=5+6+4=15.分步乘法计数原理
7、的应用分步乘法计数原理的应用把3封信投到4个信箱,所有可能的投法共有多少种?【解析】第【解析】第1封信投到信箱中有封信投到信箱中有4种投法种投法;第第2封信封信投到信箱中也有投到信箱中也有4种投法种投法;第第3封信投到信箱中也有封信投到信箱中也有4种种投法投法.只要把这只要把这3封信投完封信投完,就做完了这件事情就做完了这件事情,由分步乘由分步乘法计数原理可得共有法计数原理可得共有43种方法种方法.超市有四个门,某人到超市购物,从其一个门进,从另一门出,则不同的进出方式有多少种?【解析】从四个门选取两个门作为进门和出门【解析】从四个门选取两个门作为进门和出门,有有43=12种方式种方式.用加法
8、原理和乘法原理分析电路中的问题用加法原理和乘法原理分析电路中的问题如图,电路中共有7个电阻与一个电灯A,若灯A不亮,分析因电阻断路的可能性共有多少种情况.【解析】每个电阻都有断路与通路两种状态【解析】每个电阻都有断路与通路两种状态,图中从上到下的三图中从上到下的三条支线路条支线路,分别记为支线分别记为支线a、b、c,支线支线a电阻断路时有电阻断路时有R1,R2,R1和和R2断路断路3种情况种情况;支线支线b电阻断路时有电阻断路时有R3,R4,R3和和R4断路断路3种情况种情况;支线支线c电阻断路的有电阻断路的有R5,R6,R7,R5和和R6,R5和和R7,R6和和R7,R5、R6和和R7断路断
9、路7种情况种情况,因为灯因为灯A不亮不亮,所以所以a、b、c三条支线都出现了电阻断路三条支线都出现了电阻断路,因此灯因此灯A不亮的情况共有不亮的情况共有337=63种情况种情况.如图,电路中共有5个电阻与一个电灯A,若灯A不亮,分析因电阻断路的可能性共有多少种情况.【解析】当【解析】当R5断路时断路时,灯灯A不亮不亮,此时此时R1,R2,R3,R4分别有分别有2种种情形情形,利用乘法原理利用乘法原理,即有即有2222=16种情况种情况;当当R5通路时通路时,R1,R2至少一个断路至少一个断路,有有3种情形种情形,同时同时R3,R4至少一个断路至少一个断路,有有3种情形种情形,利用分步乘法原理利
10、用分步乘法原理,即有即有33=9种情况种情况.根据分类加法计数原理可得根据分类加法计数原理可得,灯灯A不亮时共有不亮时共有16+9=25种情种情况况.分类加法计数原理和分步乘法计数原理综合问题分类加法计数原理和分步乘法计数原理综合问题把由0,1,2,3,4组成无重复数字的所有五位数从小到大进行排列,23140排在第几个?【解析】第一类【解析】第一类:万位数为万位数为1的五位数的个数为的五位数的个数为4321=24;第二类第二类:万位数为万位数为2、千位数是、千位数是0或或1的五位数的个数为的五位数的个数为2321=12;第三类第三类:万位数为万位数为2、千位数是、千位数是3、百位数是、百位数是
11、0的五位数的个数为的五位数的个数为21=2;第四类第四类:万位数为万位数为2、千位数是、千位数是3、百位数是、百位数是1的五位数分别为的五位数分别为23104和和23140,所以比所以比23140小的数共有小的数共有24+12+2+1=39个个,故从小到大进行排故从小到大进行排列列,23140排在第排在第40个个.有一项活动,需在3名老师、8名男生和5名女生中选人参加.(1)若只需1人参加,有多少种不同选法?(2)若需老师、男生、女生各一人参加,有多少种不同的选法?(3)若需一名老师和一名学生参加,有多少种不同的选法?【解析】【解析】(1)分三类分三类:取老师有取老师有3种选法种选法;取男生有
12、取男生有8种选法种选法;取取女生有女生有5种选法种选法,故共有故共有3+8+5=16种选法种选法.(2)(2)分三步分三步:第一步选老师第一步选老师,第二步选男生第二步选男生,第三步选女生第三步选女生,故共有故共有385=120种选法种选法.(3)(3)分两步分两步:第一步选老师第一步选老师,第二步选学生第二步选学生.对第二步对第二步,又分为两又分为两类类:第一类选男生第一类选男生,第二类选女生第二类选女生,故共有故共有3(8+5)=39种选法种选法.B1.如图,一环形花坛分成A,B,C,D四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为().A.
13、96 B.84C.60 D.48【解析】可依次种【解析】可依次种A、B、C、D四块四块,当当C与与A种同一种花时种同一种花时,有有4313=36种种法种种法;当当C与与A所种花不同时所种花不同时,有有4322=48种种法种种法,根据分类加法计数原理可得根据分类加法计数原理可得,不同的种法不同的种法种数为种数为36+48=84,故选故选B.2.从1到10的正整数中,任意抽取两个相加所得的和为奇数的不同情形的种数是().A.10B.15C.20D.25【解析】当且仅当偶数加上奇数后和为奇数【解析】当且仅当偶数加上奇数后和为奇数,从而不同情形从而不同情形有有55=25种种,故选故选D.D3.一个乒乓
14、球队里有男队员5名,女队员4名,从中选出男、女队员各一名组成混合双打,共有种不同的选法.【解析】【解析】“完成这件事完成这件事”需选出男、女队员各一名需选出男、女队员各一名,可分两步可分两步进行进行:第一步选一名男队员第一步选一名男队员,有有5种选法种选法;第二步选一名女队员第二步选一名女队员,有有4种选法种选法,共有共有54=20种选法种选法.204.甲、乙、丙三个人踢球,互相传递,由甲开始踢出,则经过4次传递后,足球被踢回甲的踢球传递方式有多少种?【解析】第一类【解析】第一类:第第2次传递后球在甲的脚下次传递后球在甲的脚下,此时第此时第1次传次传递有递有2种方式种方式,第第3次传递有次传递有2种方式种方式,根据乘法原理根据乘法原理,足球足球4次传次传递踢回甲的方式有递踢回甲的方式有22=4种种.第二类第二类:第第2次传递后球不在甲的脚下次传递后球不在甲的脚下,此时只有两种传递方此时只有两种传递方式式,即即“甲甲-乙乙-丙丙-乙乙-甲甲”和和“甲甲-丙丙-乙乙-丙丙-甲甲”.根据加法原理根据加法原理,足球足球4次传递踢回甲的方式有次传递踢回甲的方式有4+2=6种种.
