1、2.4.1 卷积1h(t)e(t)r(t)?h(t)?e(t)r(t)h(t)e(t)?r(t)1定义与物理意义定义与物理意义历史：历史：1919世纪，欧拉，泊松，杜阿美尔世纪，欧拉，泊松，杜阿美尔卷积与反卷积互逆卷积与反卷积互逆i)卷积卷积ii)反卷积反卷积1：系统辨识系统辨识iii)反卷积反卷积2：信号检测信号检测定义：定义：12()()f tf t12()()()df tfft 1212()()()()()()f tf tftf tf tft或或设有两个设有两个 函数函数 ，积分，积分12()()f tf t称为称为 的的卷积积分卷积积分，简称，简称卷积卷积，记为，记为()()()df
2、tft ()()r tH f t()()dHft ()()dfHt ()()dfh t 这就是系统的这就是系统的零状态响应。零状态响应。zs()()()rtf th t若把它作用于冲激响应为若把它作用于冲激响应为h(t)的的LTI系统，则响应为系统，则响应为物理意义：物理意义：将信号分解成冲激信号之和，借助系统的将信号分解成冲激信号之和，借助系统的冲激响应冲激响应h(t)，求出系统对任意激励信号的求出系统对任意激励信号的零状态响应零状态响应，即：，即：()f t卷积的计算卷积的计算可直接利用函数的解析表达式代入卷积积分定义式计算。可直接利用函数的解析表达式代入卷积积分定义式计算。用图解法直观，
3、用图形分段求出定积分限尤为方便准确用图解法直观，用图形分段求出定积分限尤为方便准确 12()()()df tfft 11()()f tf 2222()()()()ftffft反反折折12()()fft12().()dfft 积分变量改为积分变量改为时延3.相乘相乘4.乘积的积分乘积的积分2.1.对对延时延时t，(-t)=t-积分结果为积分结果为t t 的函数的函数1、借助于阶跃函数、借助于阶跃函数 u(t)确定积分限确定积分限2、利用图解说明确定积分限、利用图解说明确定积分限其中，积分限的确定是非常关键。其中，积分限的确定是非常关键。卷积图解过程卷积图解过程Ot()tf1111 Ot()tf2
4、323O()2f23O()tf223O()1f111 3 tt)3()(2)(),()(221 tututtftGtf例例：3t0tt 卷积图解过程卷积图解过程t-3)(2 tf)(1 f-1 ,未移动未移动)(2 tf3 tt()tf2当当 从从 到到 变化时，对应的变化时，对应的 从左向右移动。从左向右移动。t)(2 tfO 231 13 tt()tf20t 2()f 0t 22()()fft右右移移,0t 22()()fft左左移移,O()1f111 t-13 tt()tf2两波形没有公共处，二者乘积为两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为，即积分为00)()(21 tff0)()()
5、(21 tftftf1t卷积图解过程卷积图解过程-1 t 1O()1f111 3 tt()tf2 d)()()(211 tfftft向右移向右移)(2 tf 时两波形有公共部分，积分开始不为时两波形有公共部分，积分开始不为0 0，积，积分下限分下限-1-1，上限，上限t t。11t41242 tt()d211 tt2124tt卷积图解过程卷积图解过程1 t 23 tt()tf2即即 1 t 2()tttf d21)(11O()1f111 113tt卷积图解过程卷积图解过程2 t 43 tt()tf2即即 2 t 4两波形没有公共处，二者乘积为两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为，即积分为0
6、0)()(21 tff0)()()(21 tftftf卷积结果卷积结果Ot()tf1111 Ot()tf2323)(tftO2421 12211142412()224420tttttf tttt 其它卷积图解过程卷积图解过程一般规律：一般规律：卷积结果所占的时宽两卷积函数所占的时宽之和卷积结果所占的时宽两卷积函数所占的时宽之和卷积结果区间的确定卷积结果区间的确定卷积结果非零区间的确定卷积结果非零区间的确定()tf1()tf2A,BA,BC,DC,DA+C,B+DA+C,B+D()12()*()r tf tf t-1()tf2()zsrt1()tf1034+1 11()()(1)()()(2)2
7、2e tu tu th tt u tu t ()zsrt例：例：求：()e ttt1201021()h t1卷积图解过程卷积图解过程解：解：图解法图解法()e12()h010211i)t021()hii)()()hh02t 1()h ttiii)()()hh t卷积图解过程卷积图解过程()e121iv)相乘相乘；v)求积分求积分当 时1/2t ()0zsrt 当 时1/21t()21211()24416tzsttrttd()h t2t t()h t2t t()h t2t t()h t2t t()h t2t t当 时13/2t()112133()2416zstrttd当 时3/23t()2121
8、3()2424zstttrttd 当 时3t()0zsrt 卷积图解过程卷积图解过程221021114416233314162333424203tttttttttt ()zsrt 卷积图解过程卷积图解过程 由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，卷积的积分限会有所变化，不是一定从卷积的积分限会有所变化，不是一定从-到到+。卷积。卷积积分中积分限的确定是非常关键的。积分中积分限的确定是非常关键的。上述的例子通过图解确定卷积积分的积分限。也上述的例子通过图解确定卷积积分的积分限。也可借助于阶跃函数可借助于阶跃函数 u(t)确定积分限。确定积分限。1列
9、写列写KVL方程方程()()()tetRittiL dd2 2冲激响应为冲激响应为)(e)(tutht d)(e)2()(e)(21tuuut d)()2(ed)()(ee22 tuuetuutt3.()()()di teh t 的零状态响应。的零状态响应。，求，求已知已知)()2()(e)(2titututet 4.定积分限（定积分限（关键关键）():01u 特点 宗量时存在非零值，20022ttt()2(deedee)(2202 tututitttt )2(ee2)(ee2)1(22 tututttt 00 t)()(tuu()d)()2(eed)()(ee22 tuutuutitt)()2(tuu 00tt 波形2(1)2(ee),02()2 ee,20 ttttti tt 分段表示：其它Ot()th1Ot()ti2Ot()te12 )2()(e2 tutut)(etut 常见函数的卷积常见函数的卷积常见函数的卷积：常见函数的卷积：()()()()()()()()()()1()()(),atatatatbtatbttx tx tu tu tt u teu teu tteu teu teu teeu t abba 利用利用常见函数的卷积公式常见函数的卷积公式与与卷积的性质卷积的性质相结合，可以方便相结合，可以方便地求较复杂信号的卷积运算地求较复杂信号的卷积运算
