1、第六章第六章 非线性控制系统分析非线性控制系统分析 61 非线性控制系统的基本概念非线性控制系统的基本概念64 用用描述函数法描述函数法分析非线性系统分析非线性系统63 描述函数法描述函数法主要内容主要内容 1 非线性系统的基本概念非线性系统的基本概念 2 典型非线性环节及其对系统的影响典型非线性环节及其对系统的影响 3 描述函数的基本概念及应用前提描述函数的基本概念及应用前提 4 典型非线性特性的描述函数典型非线性特性的描述函数 5.用描述函数分析非线性系统的稳定性用描述函数分析非线性系统的稳定性 和自激振荡和自激振荡重重 点点 与与 难难 点点 1非线性系统的性质特点非线性系统的性质特点
2、2用描述函数分析非线性系统的稳定性用描述函数分析非线性系统的稳定性 3.基于描述函数法计算系统自振参数基于描述函数法计算系统自振参数 4.非线性系统的简化非线性系统的简化系统自振参数的计算系统自振参数的计算重重 点点 前述均为线性系统。严格说来，任何一前述均为线性系统。严格说来，任何一 个实际个实际控制系统，其元部件都或多或少的带有非线性，理想控制系统，其元部件都或多或少的带有非线性，理想的线性系统实际上不存在。当能够采用小偏差法将非的线性系统实际上不存在。当能够采用小偏差法将非线性系统线性化时，称为非本质性非线性，可以应用线性系统线性化时，称为非本质性非线性，可以应用线性理论；但还有一些元部
3、件的特性不能采用小偏差线性理论；但还有一些元部件的特性不能采用小偏差法进行线性化，则称为本质性非线性，如饱和特性、法进行线性化，则称为本质性非线性，如饱和特性、继电特性等等。这时不能采用线性理论进行研究，所继电特性等等。这时不能采用线性理论进行研究，所以只运用线性理论在工程上是不够的，还需研究分析以只运用线性理论在工程上是不够的，还需研究分析非线性理论。非线性理论。本章引言本章引言k本章引言（续）本章引言（续）k例如：例如：对于线性系统对于线性系统，时，当2211xaxax；2211yayay但对于非线性系统，但对于非线性系统，例如饱和例如饱和 特性：特性：单独作用时，单独作用时，11kxy；
4、22kxy，若21cxxx，则By而不等于而不等于 21kxkxcxcx21，设；)(kcBy非线性系统不非线性系统不能用迭加原理，而且在稳定能用迭加原理，而且在稳定 性、运动形式等方面具有独特的特点。性、运动形式等方面具有独特的特点。一、非线性系统的特征：一、非线性系统的特征：线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构和参线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构和参 数，与初始状态无关，与输入信号无关。而非线数，与初始状态无关，与输入信号无关。而非线 性系统的稳定性不仅取决于结构参数，而且与输性系统的稳定性不仅取决于结构参数，而且与输 入信号以及初始状态都有关。对于同一结构参数入信号以及初始状态都
5、有关。对于同一结构参数 的非线性系统，初始状态位于某一较小数值的区的非线性系统，初始状态位于某一较小数值的区 域内时系统稳定，但是在较大初始值时系统可能域内时系统稳定，但是在较大初始值时系统可能 不稳定，有时也可能相反。故对于非线性系统，不稳定，有时也可能相反。故对于非线性系统，不应笼统地讲系统是否稳定，需要研究的是非线不应笼统地讲系统是否稳定，需要研究的是非线xdtdx如：）即(xx此为线性系统。此为线性系统。时，0若设当0t ，0 xx，0 xx，即dtxdx，ln则有ctxtcteceex因为因为t t=0=0时时,0 xcx，所以0texx取0 x 可见无论可见无论何值系统均稳定。何值
6、系统均稳定。xt01x02x03x04x00，)1(再如：xxdtdx，0)1(即xxdtdxx项的系数是项的系数是，)1(x与变量与变量x有关，此为非有关，此为非线性系统。线性系统。，ln1)(因为有cubuaabuaudutdtcxxxxdx1ln)1(，1tcexx时，0若设t，0 xx。)1(故dtxxdx，1则tcxex，1)1(即tcextcex11，0因为当t，110cx，1故00 xxc因此因此tttttexxexeexxxexxx000000001111时：1当0 x，0)1(即0 x特征根特征根，010 xs在左半在左半s平面上，则系统稳定。平面上，则系统稳定。时：1当0
7、x，0)1(即0 x，010 xs特征根特征根，1x上式解得上式解得其暂态过程为其暂态过程为一常数。一常数。时，1当0 x，0)1(即0 x，010 xs可知特征根可知特征根在右半在右半s平面上，平面上，则系统不则系统不稳定。稳定。由上式解得，由上式解得，时，1ln当00 xxttexx 1即00时，1或00texx，x此时只有此时只有10 x才会有此结果才会有此结果。，1即00 xx）1只有0 x(t必须大于必须大于0 0，)1(.xxx，0令x解得系统解得系统两个平衡状态两个平衡状态0因此x，1和0 xx平衡平衡状态是稳定的，状态是稳定的，它对应于它对应于而而平衡平衡状态是不稳定状态是不稳
8、定的，稍加扰动的，稍加扰动不是收敛就是发散，不可能再不是收敛就是发散，不可能再回到这个平衡状态。回到这个平衡状态。运动形式：运动形式：线性系统的运动形式与线性系统的运动形式与输入信号的大小及初始条件输入信号的大小及初始条件无关，若某一系统在某一初无关，若某一系统在某一初始条件下的暂态响应为衰减始条件下的暂态响应为衰减振荡形式，则在任何的信号振荡形式，则在任何的信号及初始条件下该系统的暂态及初始条件下该系统的暂态响应均为衰减振荡形式；而响应均为衰减振荡形式；而非线性系统可能会出现某一非线性系统可能会出现某一初始条件下的响应为单调衰初始条件下的响应为单调衰减；而另一初始条件下则为衰减振荡。减；而另
9、一初始条件下则为衰减振荡。三三自激振荡：自激振荡：在没有外界周期性输入信号作用时，线在没有外界周期性输入信号作用时，线性系统只有性系统只有 =0时产生周期性运动，此时系时产生周期性运动，此时系统为临界稳定。事实上，此种状态不会持久，统为临界稳定。事实上，此种状态不会持久，稍有干扰（即使非常细小）即刻终止，转为稍有干扰（即使非常细小）即刻终止，转为发散或收敛。发散或收敛。而对于非线性系统，在没有外界作用时，而对于非线性系统，在没有外界作用时，系统完全有可能产生频率和振幅一定的稳定的系统完全有可能产生频率和振幅一定的稳定的周期运动，既可实现又可保持，称为自振荡，周期运动，既可实现又可保持，称为自振
10、荡，其最终稳定状态有时是等幅的自振荡，其幅值其最终稳定状态有时是等幅的自振荡，其幅值和频率由其本身的特性所决定，这是非线性系和频率由其本身的特性所决定，这是非线性系统一个重要的特有的特性。统一个重要的特有的特性。人们对自振荡非常感兴趣，正常时不需要，人们对自振荡非常感兴趣，正常时不需要，设法消除，但有些情况下人为的引入自振荡，设法消除，但有些情况下人为的引入自振荡，使系统具有较好的动、静态特性。对其研究有使系统具有较好的动、静态特性。对其研究有很大的实际意义。很大的实际意义。四四频率响应：频率响应：稳定线性系统的频率响应，即正弦信号作用稳定线性系统的频率响应，即正弦信号作用下的稳态输出是与输入
11、同频率的正弦信号，其下的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，其幅值和相位均为输入正弦信号频率幅值和相位均为输入正弦信号频率 的函数。的函数。而非线性系统的频率响应除了含有与输入同频而非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率的正弦信号分量（基频分量）外，还含有关率的正弦信号分量（基频分量）外，还含有关于频率于频率 的高次谐波分量，使输出波形发生的高次谐波分量，使输出波形发生非线性畸变。若系统含有多值非线性环节，输非线性畸变。若系统含有多值非线性环节，输出的各次谐波分量的幅值还可能发生跃变。出的各次谐波分量的幅值还可能发生跃变。非线性系统还具有很多与线性系统不同非线性系统还具有很多与线性系统不同的特
12、异现象，这些现象无法用线性系统理的特异现象，这些现象无法用线性系统理论来解释，因而有必要研究它们，以便抑论来解释，因而有必要研究它们，以便抑制或消除非线性因素的不利影响。在某些制或消除非线性因素的不利影响。在某些情况下，还可以人为地加入某些非线性环情况下，还可以人为地加入某些非线性环节，使系统获得较线性系统更为优异的性节，使系统获得较线性系统更为优异的性能。能。五五运动状态运动状态 1、恒值稳定的平衡状态、恒值稳定的平衡状态 2、恒值自振荡状态、恒值自振荡状态 3、不稳定状态、不稳定状态 4、更重复的其他运动状态、更重复的其他运动状态 5、多值响应，跳跃谐振荡等、多值响应，跳跃谐振荡等6-2
13、典型非线性环节及其对系统的影响典型非线性环节及其对系统的影响 与前述典型环节类似，进行统一归类；非线性系与前述典型环节类似，进行统一归类；非线性系 统的非线性特性各式各样，但归为两类：统的非线性特性各式各样，但归为两类：1）单值非线性特性：输入与输出有单一的对应关）单值非线性特性：输入与输出有单一的对应关 系；系；2）非单值非线性特性：对应同一个输入值，输出的）非单值非线性特性：对应同一个输入值，输出的 取值非唯一。取值非唯一。按非线性环节的物理性能及非线性特性的形状可按非线性环节的物理性能及非线性特性的形状可 分为饱和、死区、间隙、继电及变放大系数特性分为饱和、死区、间隙、继电及变放大系数特
14、性 等。等。一死区（不灵敏区）特性：一死区（不灵敏区）特性：ycxcxkcxcxkcx),(),(,0 xoykxcc2）执行机构：接受到信号后不能马上动作，只有）执行机构：接受到信号后不能马上动作，只有 当输入信号大到一定数值后才动作，如电动机。当输入信号大到一定数值后才动作，如电动机。2、特点：使系统产生稳态误差（测量元件尤为明、特点：使系统产生稳态误差（测量元件尤为明 显），执行机构的死区可能造成运动系统的低显），执行机构的死区可能造成运动系统的低 速不均匀，甚至使随动系统不能准确跟踪目标。速不均匀，甚至使随动系统不能准确跟踪目标。RC-比较比较执行执行放大放大11ck22ck33ck此
15、时折算到比较元件的端总的死区为：此时折算到比较元件的端总的死区为：213121kkckccc可见：最前面的元件的死区影响最大，且若加大前可见：最前面的元件的死区影响最大，且若加大前。后面的死区 k前面的前面的二饱和特性：二饱和特性：ycxkccxkccxkx,1、实际中具有饱和特征的元件：、实际中具有饱和特征的元件：1）放大器：只能在一定的范围内保持输出量与输入）放大器：只能在一定的范围内保持输出量与输入 量之间的线性关系，超出则输出限幅。量之间的线性关系，超出则输出限幅。2）铁磁元件：铁芯线圈，电机，变压器等。）铁磁元件：铁芯线圈，电机，变压器等。2、特点：特点：使系统在大信号作用下的等效增
16、益使系统在大信号作用下的等效增益，深，深 度饱和情况下甚至使系统丧失闭环控制作用。度饱和情况下甚至使系统丧失闭环控制作用。di三间隙（回环）特性三间隙（回环）特性：maxdI四、继电特性：四、继电特性：1、吸和动作电流大于、吸和动作电流大于 释放动作电流，使释放动作电流，使 其特性中包含了死其特性中包含了死 区、回环及饱和特区、回环及饱和特 性。性。令返回系数令返回系数 12动作电流返回电流iim 若返回系数若返回系数m=1，则无回环，其特性称为具有，则无回环，其特性称为具有死区的单值继电特性，如图死区的单值继电特性，如图a所示。若返回系数所示。若返回系数m=-1即继电器的正向返回电流等于反向
17、动作电流即继电器的正向返回电流等于反向动作电流时，其特性称为具有回环的继电特性，如图时，其特性称为具有回环的继电特性，如图b所示。所示。abc 若若 i=0，即继电器的动作电流及返回电流均为，即继电器的动作电流及返回电流均为零值切换，则称这种特性为理想继电特性，如图零值切换，则称这种特性为理想继电特性，如图c所示。所示。abc2、检测电平时的射极耦合触发器或运放组成的电平、检测电平时的射极耦合触发器或运放组成的电平检测器等比较电路也具有继电特性：如逻辑无环检测器等比较电路也具有继电特性：如逻辑无环流调速系统。流调速系统。五、变放大系数特性：五、变放大系数特性：ycxxkcxxk,21特点：特点
18、：大误差大误差e（t）时具有大的时具有大的k系统系统响应迅速，响应迅速，小误差小误差e(t)时具有小的时具有小的k系统响应系统响应平稳，平稳，减少甚至消除超调量减少甚至消除超调量 ,若系统中混入高若系统中混入高频小振幅噪声信号时，频小振幅噪声信号时，可抑制掉。可抑制掉。%六、带死区的饱和特性：六、带死区的饱和特性：Bcncncc0Bxy1、测量元件：其最大测量、测量元件：其最大测量 范围与最小测量范围都范围与最小测量范围都 为有限幅时。为有限幅时。2、枢控直流电动机的转速、枢控直流电动机的转速n：au达到一定值时，才有达到一定值时，才有n，时，当Nauunomnn不再增加不再增加.注意：尽管各
19、种复杂非线性特性可以看作是各种注意：尽管各种复杂非线性特性可以看作是各种 典型非线性特性的组合，但决不能将各个典型非典型非线性特性的组合，但决不能将各个典型非 线性环节的响应相加作为复杂非线性系统的响应，线性环节的响应相加作为复杂非线性系统的响应，因为他们不能用迭加原理。非线性的存在使系统因为他们不能用迭加原理。非线性的存在使系统 变的复杂，没有统一的方法用来处理所有的非线变的复杂，没有统一的方法用来处理所有的非线 性系统，实用中采用线性化处理，能用小偏差法性系统，实用中采用线性化处理，能用小偏差法 的在第二章已讲述，其他可用谐波线性化方法的在第二章已讲述，其他可用谐波线性化方法 描述函数法近
20、似研究非线性系统。描述函数法近似研究非线性系统。6-3 描述函数法描述函数法一基本概念：一基本概念：该方法是研究非线性系统自振荡的有效方法。非线该方法是研究非线性系统自振荡的有效方法。非线 性系统不能直接使用频率法，但某些非线性环节可性系统不能直接使用频率法，但某些非线性环节可 对正弦信号的响应进行谐波分解，满足一定条件时，对正弦信号的响应进行谐波分解，满足一定条件时，非线性特性对系统的影响可用基波来描述。非线性特性对系统的影响可用基波来描述。描述函数法描述函数法基于谐波分解的线性化近似方法，基于谐波分解的线性化近似方法，也叫谐波平衡法。也叫谐波平衡法。非线-xyc 设非线性系统满足以下两个条
21、件：设非线性系统满足以下两个条件：1)非线性环节的输入信号作正弦信号变化时，输出非线性环节的输入信号作正弦信号变化时，输出 同频率的非正弦周期信号，而且平均值为零，不同频率的非正弦周期信号，而且平均值为零，不 产生直流项。这就要求非线性元件的输入和输出产生直流项。这就要求非线性元件的输入和输出 特性是斜对称的（即具有奇对称性，典型非线性特性是斜对称的（即具有奇对称性，典型非线性 均满足奇对称性）；均满足奇对称性）；2)系统的线性部分具有较好的低通滤波特性（一般系统的线性部分具有较好的低通滤波特性（一般 控制系统能满足，且阶次控制系统能满足，且阶次低通特性好）；低通特性好）；则当非线性元件输入正
22、弦信号时，其输出中的高次则当非线性元件输入正弦信号时，其输出中的高次谐波分量（本来就比基波分量小）经线性部分后将谐波分量（本来就比基波分量小）经线性部分后将大大大大。因此，可以用非线性元件的输出信号的一。因此，可以用非线性元件的输出信号的一次谐波分量来代替非线性元件在正弦信号下的实际次谐波分量来代替非线性元件在正弦信号下的实际输出（高次经线性部分已输出（高次经线性部分已，可忽略）。这就是，可忽略）。这就是描述函数法的概念。描述函数法的概念。2描述函数的概念及定义：描述函数的概念及定义：，sin设tAx y(t)为非正弦周期信号，傅立叶展开为非正弦周期信号，傅立叶展开有：有：)sincos(2)
23、(10tnBtnAAtynnn)sin(210nnntnYAnnnnnnnnYBttdntyBYAttdntyAcos且),(sin)(1sin且),(cos)(1nnnnnnBABAY122tan且若非线性特性是中心对称的即若非线性特性是中心对称的即 y(t)奇对称，奇对称，0则0AtBtAtysincos)(故111tYtYsincoscossin111)()sin(11tytY描述函数的概念及定义（续）描述函数的概念及定义（续）AjABeAYNj1111即111121211tan且BABAY在此，在此，N 非线性元件的描述函数，常用非线性元件的描述函数，常用N(A)表示；表示；A 正弦输
24、入信号的幅值；正弦输入信号的幅值；与正弦输入信号的复数比与正弦输入信号的复数比.描述函数的概念及定义（续）描述函数的概念及定义（续）无关：与；)(11jeAYAN表示。),(用AN。有关和与)(因为11YAN若非线性元件中不含有储能元件，则若非线性元件中不含有储能元件，则N只是只是A的函数，的函数，若非线性元件中含有储能元件，则若非线性元件中含有储能元件，则N是是A和和的函数：的函数：此方法称为谐波线性化法，此方法称为谐波线性化法，N（A）又称为非线性环节又称为非线性环节的等效的等效幅相特性幅相特性描述函数的概念及定义（续）描述函数的概念及定义（续）3描述函数的物理意义：描述函数的物理意义：举
25、例说明：举例说明：34121xxy时，sin)(当tAtxy(t)为非正弦周期函数为非正弦周期函数，tBtAtysincos)(则111非线性特性为单值奇对称，非线性特性为单值奇对称，为奇函数)(1ty，0，011A1212123412340 xy。ttdxxBsin)4121(1则3201ttdtAtAsin)sin41sin21(23303004321632sin4sin22AAttdAttdAtBtysin)(11tAAsin)1632(3tAAsin)16321(22116321)(则AABAN（只与（只与A A有关）。有关）。)()()(又1txANty描述函数的物理意义（续）描述函
26、数的物理意义（续）也就完全确定了。也就完全确定了。，sin2)(如ttx，2即A，25.1)(则AN；)(25.1)(1txty 相当于用相当于用斜率为斜率为1.25的直的直线代替了元件的非线性特征线代替了元件的非线性特征 ，sin4)(ttx，5.3)(则AN。)(5.3)(1txty，4即A描述函数的物理意义（续）描述函数的物理意义（续）)(与)(显然1tytx时，2A之间成为之间成为线性关系，即当线性关系，即当1212123412340 xy。同理，同理，A4时，用斜率为时，用斜率为3.5的直线代替；即进行了的直线代替；即进行了线线性化处理。性化处理。)(与)(则1txty的线性关系也随
27、之改变。的线性关系也随之改变。描述函数的物理意义（续）描述函数的物理意义（续）1212123412340 xy。并且说明：并且说明：当当A改变时，改变时，N（A）随之改变，）随之改变，用描述函数表示非线性特性时，相当于用斜率随输用描述函数表示非线性特性时，相当于用斜率随输 入振幅入振幅A而变的一簇直线代替了元件本来的非线性特而变的一簇直线代替了元件本来的非线性特性，因此，可以把非线性元件看作是一个放大器，性，因此，可以把非线性元件看作是一个放大器，其增益是一个复数，该复数的模值和幅角是幅值其增益是一个复数，该复数的模值和幅角是幅值A 的函数。的函数。用描述函数表示非线性元件后，就可以用线性理论
28、用描述函数表示非线性元件后，就可以用线性理论 中的频率法来研究非线性系统的基本特性，关键是中的频率法来研究非线性系统的基本特性，关键是 N（A）的计算。）的计算。描述函数的物理意义（续）描述函数的物理意义（续）二典型非线性特性的描述函数二典型非线性特性的描述函数 ttdtyAcos)(111 1、饱和限幅：、饱和限幅：（见下页图）（见下页图）y(t)为奇函数为奇函数01sin)(2ttdtyBsin)(sin)(sin)(20tdttyttdtyttdtyaaaa时或当cAAc)(,sin)(,)0(,sin)(atkAaakcatkAty01A 图图6-14 饱和特性及其输入输出波形饱和特性
29、及其输入输出波形tdtkABa021sin2aaattdkAtdtkc2sinsinkAaAcacos2Aca1sin211)(1sin2AcAcAckABABAAjABAN111)(故有)(1sin221AcAcAck （条件：（条件：Ac）Ac时，时，当当Ac)；)21(sin1Aca因为间隙特性是多值函数，它在正弦信号因为间隙特性是多值函数，它在正弦信号 作用下的作用下的y(t)，且0但0A都需要计算，都需要计算，11、所以BA既不是奇函数也不是偶函数。既不是奇函数也不是偶函数。图图6-16 间隙特性及其输入输出波形间隙特性及其输入输出波形Aca1sin224)(14ABcjAcABN(
30、A)(Ac)11、BA4.4.继电特性：为非单值奇对称，继电特性：为非单值奇对称，都需要计算。都需要计算。表表6-1列出了一些典型非线性特性的描述函数，列出了一些典型非线性特性的描述函数，以供查用。以供查用。图图6-17 具有回环的继电特性及其输入输出波形具有回环的继电特性及其输入输出波形64 用描述函数法分析非线性系统用描述函数法分析非线性系统 一个非线性环节的描述函数只是表示了该环节在一个非线性环节的描述函数只是表示了该环节在正弦输入下环节输出的一次谐波分量与输入的关系，正弦输入下环节输出的一次谐波分量与输入的关系，显然它不能象线性元件的频率特性那样全面的反映非显然它不能象线性元件的频率特
31、性那样全面的反映非线性环节的性质。但在实际中，问题不是孤立的研究线性环节的性质。但在实际中，问题不是孤立的研究一个非线性环节，而是研究一个非线性系统的运动，一个非线性环节，而是研究一个非线性系统的运动，特别是常常研究系统的振荡问题，故可以用描述函数特别是常常研究系统的振荡问题，故可以用描述函数去近似的表示非线性环节的特性。去近似的表示非线性环节的特性。-Ry)(AN)(sGcx)(1x0)()(tntrtAxsin)sin(，则111tYy)(，)(且11ANAYAN)(sin)(111jGtYjGx，)(如果1AjGY，)(1jG，)()(即AjGAAN。或或1)()(jGAN，且且 )()
32、(jGAN；则则xtAtAx sin)sin(11)()(即jGAN -称为称为负倒描述函数负倒描述函数，它相当于，它相当于线性系统中的（线性系统中的（-，j0)点，线性系统中闭环特性方点，线性系统中闭环特性方程为程为 ，非线性系统中闭环特征方程为，非线性系统中闭环特征方程为 ，将，将 曲线与曲线与 曲线画曲线画在同一复平面上，在同一复平面上，两曲线的交点即满足上式。两曲线的交点即满足上式。)(1)(ANjG0)(1jGk0)()(1ANjG)(jG)(1AN)(jG)(1AN二、奈奎斯特稳定判据在非线性系统中的应用二、奈奎斯特稳定判据在非线性系统中的应用 1若曲线若曲线 不包围曲线不包围曲线
33、 ，则系统稳，则系统稳 定，如下页图（定，如下页图（a）所示；）所示；2若曲线若曲线 包围了曲线包围了曲线 ，则系统不，则系统不 稳定，如下页图（稳定，如下页图（b）所示；）所示；)(1AN)(jG)(jG)(1AN)(jG)(1AN)(jG)(1AN)(1AN)(jG使系统保持自振荡，也就是系统的周期运动是否是使系统保持自振荡，也就是系统的周期运动是否是稳定的，研究这个问题对实际应用很有意义。稳定的，研究这个问题对实际应用很有意义。tAxasinAAAa)(AAN与)(例如：jG)(1ANaAa时，当acaAAAAA)(jG时，当adaAAAAA)(jG时，发散；当ebAAAAbAb时，收敛
34、；当fbAAAAv)(jG)(jG域，当交点处的域，当交点处的 曲线沿着曲线沿着A的方向是由不的方向是由不稳定区进入稳定区，则该交点为稳定的周期运动，稳定区进入稳定区，则该交点为稳定的周期运动，反之则不是。若为稳定的自振荡点，可确定其反之则不是。若为稳定的自振荡点，可确定其 振幅振幅和频率。和频率。)(1AN=15k0A0ck-2-110-2)12.0)(11.0(ssskcyx，1c2)(kANAc1sin)(12AcAc)(cA2k4)(ANA1sin)1(112AA)1(Aj021)(1AN1A时，1当A，2)(AN)(1即AN点，)0，21(在j，随着A为)(1AN的负实轴段。，21)
35、(jG)2.01)(1.01(15jjj)0004.005.01()02.01(3.015422j，1求得a,0)(点，令在jGIam，50求得中，)(Re再代入jG点为稳定的自振点且a，1)(1此时AN，1)1(11)1(sin4)(21AAAAN用试凑法求得用试凑法求得，5.2A，5.2即0A07.7500若要稳定且不振荡，可使若要稳定且不振荡，可使k。当当k一半时，一半时，)0，21(j时交点为时交点为5.7即k无交点，5.7若k。5.7ck不振荡不振荡，例例2 一继电控制系统结构图如图所示。继电器参数一继电控制系统结构图如图所示。继电器参数h=1，M=3，试分析系统是否产生自振荡。若产
36、，试分析系统是否产生自振荡。若产生自振荡，求出振幅和振荡频率。若要使系统不生自振荡，求出振幅和振荡频率。若要使系统不产生自振荡，应如何调整继电器参数？产生自振荡，应如何调整继电器参数？解：解：带死区的继电特性的描述函数为带死区的继电特性的描述函数为2)(14)(AhAMAN)(hA2)(14)(1AhMAAN （)(1AN当当Ah 时，时，)(1AN当当A 时，时，可见，可见，在负实轴上在负实轴上有极值点。有极值点。)(1AN0)(1令ANdAd求得极值点为求得极值点为 hA2由由h=1，M=3可得可得52.06)(12AAN)j1)(5.0j1(j2)j(G又)25.025.11()5.01
37、(j23422得0)j(Im令Gs/rad2中得)j(Re代入Gs/rad2将67.05.11)j(ReG5.11)1(112)(14令22AAAhMA求得两个振幅值求得两个振幅值 A1=1.11，A2=2.3。显然，系统会产显然，系统会产生一个稳定的自振生一个稳定的自振荡，其振幅为荡，其振幅为A=2.3，频率为，频率为 s/rad2 为使系统不产生为使系统不产生自振荡，可令自振荡，可令5.11)(12hAAN 由此求得继电器参数比由此求得继电器参数比M/h2.36。如调整。如调整M 和和h 比例为比例为 M=2h，则系统不产生自振荡。，则系统不产生自振荡。形，并非纯正弦波。形，并非纯正弦波。
38、描述函数法只是一种近似描述函数法只是一种近似的研究方法，同时在采用描述函数法时又是采用的研究方法，同时在采用描述函数法时又是采用的图解法，因此必然存在着精确度问题，的图解法，因此必然存在着精确度问题，)(1与)(ANjG几乎垂直相交且几乎垂直相交且)(jG谐波衰减的越小时，分谐波衰减的越小时，分析结果准确。当析结果准确。当 对高次对高次)(1与)(ANjG在交点几乎相切在交点几乎相切时，其准确度时，其准确度)(jG取决于（取决于（）对高次谐波衰减的）对高次谐波衰减的程度。程度。四方框图的简化四方框图的简化：-NH1G2Gc、一个非线性环节，线性部分可直接简化：、一个非线性环节，线性部分可直接简
39、化：-NG先加再求先加再求N（A）或先分别求或先分别求N（A）再加：再加：-+1N2NGc-GNc3.两个非线性环节串联两个非线性环节串联：可采用图解法简化。以下图所示死区特性和带死可采用图解法简化。以下图所示死区特性和带死区的继电特性串联简化为例。区的继电特性串联简化为例。通常，先将两个非线性环节按图通常，先将两个非线性环节按图6-30(a)、(b)形形式放置，再按输出端非线性特性的变化端点式放置，再按输出端非线性特性的变化端点2 和和 a2确定输入确定输入x 的对应点的对应点 和和a，获得等效非线性，获得等效非线性图图6-30 非线性特性串联简化的图解方法非线性特性串联简化的图解方法特性如
40、图特性如图6-30(c)所示，最后确定等效非线性特所示，最后确定等效非线性特性的参数。由性的参数。由 2=K1（1）得）得121K由由 a2=K1（a1）得）得112Kaa0)(可知)(时，由当1xyxyx亦可知)(时，由当1xyax)()(222aKxy位于线性区，)(时，当1xyxay(x)亦呈线性，设斜率为亦呈线性，设斜率为 K，即有，即有)()()(212xKxKxy特殊地，当特殊地，当 x=a 时，时，x1=a2，由于，由于)(121aKx122所以Kaa因此因此，K=K1K2 两个非线性环节的串联，等效特性还取两个非线性环节的串联，等效特性还取决于其前后次序。调换次序则等效非线性决
41、于其前后次序。调换次序则等效非线性特性亦不同。描述函数需按等效非线性环特性亦不同。描述函数需按等效非线性环节的特性计算。多个非线性特性串联，可节的特性计算。多个非线性特性串联，可按上述两个非线性环节串联简化方法，依按上述两个非线性环节串联简化方法，依由前向后顺序逐一加以简化。由前向后顺序逐一加以简化。指出指出4.线性部分包围非线性部分：（令）线性部分包围非线性部分：（令）0r-N1G2Gc-Nc21GG 5非线性局部反馈包围线性部分：非线性局部反馈包围线性部分：-1G2GcN-1G2GNc-2121GGGcN本章小结本章小结（1）非线性系统在稳定性、运动形式、自激振荡）非线性系统在稳定性、运动
42、形式、自激振荡和频率响应等方面与线性系统都有着本质的区别。和频率响应等方面与线性系统都有着本质的区别。（2）经典控制理论中研究非线性系统的两种常用）经典控制理论中研究非线性系统的两种常用的方法是描述函数法和相平面法。的方法是描述函数法和相平面法。（3）描述函数法是线性系统频率分析法在非线性）描述函数法是线性系统频率分析法在非线性系统中的推广，是非线性系统稳定性的近似判别法，系统中的推广，是非线性系统稳定性的近似判别法，它要求系统具有良好的低通特性并且非线性较弱。它要求系统具有良好的低通特性并且非线性较弱。在上述前提条件不能很好满足时，描述函数法可能在上述前提条件不能很好满足时，描述函数法可能得出错误的结论，尤其是系统的稳定裕度较小得出错误的结论，尤其是系统的稳定裕度较小时。与相平面法相比，描述函数法的最大优点是能时。与相平面法相比，描述函数法的最大优点是能够用于高阶系统。够用于高阶系统。（4）描述函数法的关键是求出非线性环节的描述）描述函数法的关键是求出非线性环节的描述函数，而求描述函数的工作量和技巧主要在非正弦函数，而求描述函数的工作量和技巧主要在非正弦周期函数的积分。描述函数也可以由实验近似获得。周期函数的积分。描述函数也可以由实验近似获得。本章小结（续）本章小结（续）
