1、.第二单元第二单元 复杂应力状态复杂应力状态.一、前言一、前言二、应力分析二、应力分析三、应变张量及其不变量三、应变张量及其不变量四、屈服条件、屈服曲面四、屈服条件、屈服曲面五、两种常用的屈服条件五、两种常用的屈服条件七、加载条件七、加载条件八、塑性本构关系八、塑性本构关系六、屈服条件的实验验证六、屈服条件的实验验证.5 5个基本假设个基本假设 一、前言一、前言材料是均匀的、连续的。材料是均匀的、连续的。各向均匀的应力状态各向均匀的应力状态,即静水应力状态不影响塑性即静水应力状态不影响塑性变形而只产生弹性体积的变化。变形而只产生弹性体积的变化。忽略时间因素对材料变形的影响。（不计蠕变和忽略时间
2、因素对材料变形的影响。（不计蠕变和松弛）松弛）稳定材料。稳定材料。均匀应力均匀应力应变实验的结果，可以用于有应力梯度应变实验的结果，可以用于有应力梯度的情况。的情况。.二、应力分析二、应力分析1、应力张量及其不变量、应力张量及其不变量（1 1）一点应力状态的表示方式一点应力状态的表示方式（2 2）斜截面上的应力与应力张量的关系）斜截面上的应力与应力张量的关系（3 3）主应力及应力张量的不变量主应力及应力张量的不变量2、偏应力张量及其不变量、偏应力张量及其不变量（1 1）偏应力张量偏应力张量（2 2）偏应力张量的不变量）偏应力张量的不变量（3 3）引入与）引入与J J2 2 有关的几个定义有关的
3、几个定义.1、应力张量及其不变量、应力张量及其不变量应力状态的概念应力状态的概念：受力：受力物体内物体内某点某点处所取无限处所取无限多截面上的应力情况的多截面上的应力情况的总和，就显示和表明了总和，就显示和表明了该点的应力状态。考虑该点的应力状态。考虑到剪应力互等到剪应力互等,一点的一点的应力状态用六个应力分应力状态用六个应力分量来表示。量来表示。二、应力分析二、应力分析xyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzx.应力张量的概念：应力张量的概念：0阶张量：阶张量：30=11阶张量：阶张量：31=32阶张量：阶张量：32=93阶张量：阶张量：33=27xyzOxyxxzyxyyz
4、zzyzxyxyyzzzyzx数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式的九个数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定义，数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定义，物体物体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式来表示，内一点处的应力状态可用二阶张量的形式来表示，并并称为应力张量，而各应力分量即为应力张量的元素，称为应力张量，而各应力分量即为应力张量的元素，且由剪应力互等定理知，应力张量应是一个对称的二且由剪应力互等定理知，应力张量应是一个对称的二阶张量，简称为阶张量，简称为应力张量应力张量。.（1 1）一点应力状态的表示方式一点应力状态的表示方式一点的应
5、力状态由一个一点的应力状态由一个二阶对称二阶对称的应力张量表示，在的应力张量表示，在直角坐标系中由九个应力分量表示。直角坐标系中由九个应力分量表示。zzzyzxyzyyyxxzxyxxijxyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzxx面的应力：面的应力：xzxyx,y面的应力：面的应力：yzyxy,z面的应力：面的应力：zyzxz,用矩阵形式写成用矩阵形式写成.333231232221131211 zzzyzxyzyyyxxzxyxx zyzzyzyxyxzxyxjiij 工程力学的习惯写法工程力学的习惯写法弹性力学的习惯写法弹性力学的习惯写法采用张量下标记号的应力写法采用张量下
6、标记号的应力写法把坐标轴把坐标轴x、y、z分别用分别用x1、x2、x3表示，或简记为表示，或简记为xj(j=1,2,3)。应力张量为对称应力张量为对称张量，有张量，有6个独个独立分量。立分量。.（2 2）斜截面上的应力与应力张量的关系）斜截面上的应力与应力张量的关系在在x xj j坐标系中，考虑一个法线为坐标系中，考虑一个法线为N N 的斜平面的斜平面。N是是单位向量单位向量，其方向余弦为，其方向余弦为,321lll则这个面上的应力向量则这个面上的应力向量 SN 的三个分量与应力张量的三个分量与应力张量 之之间的关系间的关系ij 1x2x3xONNS 3332321313N3232221212
7、N3132121111NSSSlllllllll 3213332312322211312113N2N1NSSSl ll ll l.i i）重复出现的下标叫做）重复出现的下标叫做求和下标求和下标，相当于，相当于 这称为求和约定这称为求和约定；ii）不重复出现的下标）不重复出现的下标 i 叫做叫做自由下标自由下标，可取，可取 i=1,2,3 31jjijNiSl l 采用张量下标记号采用张量下标记号,可简写成可简写成.（3 3）主应力及应力张量的不变量主应力及应力张量的不变量主应力主应力(Principal stress)若某一斜面上若某一斜面上 ，则该斜面上的正应力，则该斜面上的正应力 称为称为
8、该点一个该点一个主应力主应力 ；0N N 应力主向应力主向主应力主应力 所在的平面所在的平面 称为称为主平面主平面；主应力主应力 所在平面的法线方向所在平面的法线方向 称为称为应力主向应力主向；根据主平面的定义，设根据主平面的定义，设 S SN N 与与 N N 重合。若重合。若 S SN N 的大小的大小为为,则它在各坐标轴上的投影为则它在各坐标轴上的投影为iNilS=.iNiSl l 33N22N11NSSSllljijNiSl l 3332321313N3232221212N3132121111NSSSlllllllll代入代入0)-(jijij l l 0)(0)(0)(3332321
9、31323222121313212111l-llll-llll-.11ii232221 l l l ll ll ll l即即0ijij 0333231232221131211 即即 将这个行列式展开得到将这个行列式展开得到由几何关系可知由几何关系可知由于由于l l1 1、l l2 2、l l3 3不能同时为零。对于包含这三个未知量不能同时为零。对于包含这三个未知量的线性齐次方程，若有非零解，则此方程组的系数行的线性齐次方程，若有非零解，则此方程组的系数行列式应当等于零。列式应当等于零。或或 .0JJJ32213 其中其中 ij3332312322211312113kiikkkii2312232
10、121133332222111113313333322322222112112kk3322111J21)()(JJ .当坐标轴方向改变时当坐标轴方向改变时,应力张量的分量应力张量的分量 均将改变均将改变,但主应力的大小不应随坐标轴的选取而改变。因此但主应力的大小不应随坐标轴的选取而改变。因此,方程方程 的系数的的系数的J J1 1、J J2 2、J J3 3值与值与坐标轴的取向无关，称为坐标轴的取向无关，称为应力张量的三个不变量应力张量的三个不变量。ij 应力张量的不变量应力张量的不变量0JJJ32213 可以证明方程可以证明方程 有三个实根，即三有三个实根，即三个主应力个主应力0JJJ322
11、13 321,当用当用主应力主应力来来表示不变量时表示不变量时321313322123211J)(JJ .应力张量不变量及其应用应力张量不变量及其应用应力张量是二阶实对称张量，有应力张量是二阶实对称张量，有3个独立的主不变量。个独立的主不变量。利用应力张量的利用应力张量的3个主不变量，可以判别应力状态的个主不变量，可以判别应力状态的异同异同。例：判别以下两个应力张量是否表示同一应力状态？例：判别以下两个应力张量是否表示同一应力状态？0000b000a1ij 00002ba2ba02ba2ba2ij.0000b000a1ij 00000b000aJab)()(21Jba0baJij3231223
12、212113333222211kiikkkii2kk1 00002ba2ba02ba2ba2ij两个应力张量表示同两个应力张量表示同一应力状态。一应力状态。判别两个应力状态是否相同，可以通过判别对应的三个判别两个应力状态是否相同，可以通过判别对应的三个主应力不变量是否相同实现。主应力不变量是否相同实现。.静水静水“压力压力”=332211在静水压力作用下，应力在静水压力作用下，应力应变间服从弹性规律，且不应变间服从弹性规律，且不会屈服、不会产生塑性变形，则应力分量分成两部分。会屈服、不会产生塑性变形，则应力分量分成两部分。应力应力不产生塑性变形的部分不产生塑性变形的部分产生塑性变形的部分产生塑
13、性变形的部分平均正应力平均正应力1kk332211mJ3131)(31 2、偏应力张量及其不变量、偏应力张量及其不变量（1 1）偏应力张量偏应力张量.应力张量可作如下分解：应力张量可作如下分解：m33323123m22211312m11mmm333231232221131211000000用张量符号表示：用张量符号表示：ijijmijs mmmijm000000.ij 单位球张量单位球张量 ji0ji1ij当当当当 100010001ij或或ijm 应力球张量使微分单元体三个方向作用相应力球张量使微分单元体三个方向作用相同的正应力，这使单元体发生变形时，只能产同的正应力，这使单元体发生变形时，
14、只能产生导致体积的均匀膨胀或收缩。因而生导致体积的均匀膨胀或收缩。因而只能改变只能改变单元体体积，而不能改变单元体形状。单元体体积，而不能改变单元体形状。其中：其中：mmmijm000000.ijS应力偏张量应力偏张量 m33323123m22211312m11ijS应力偏张量应力偏张量s sijij将将不改变微分单元体的体积不改变微分单元体的体积，仅产生仅产生形状的畸变形状的畸变。它描述的是实际应力状态与平均应力。它描述的是实际应力状态与平均应力状态的偏离程度，所以它对描述问题的塑性变形是状态的偏离程度，所以它对描述问题的塑性变形是十分重要的。十分重要的。.材料进入塑性后，单元体的体积变形是
15、弹性的，只与材料进入塑性后，单元体的体积变形是弹性的，只与应力球张量有关；而与形状改变有关的塑性变形则是应力球张量有关；而与形状改变有关的塑性变形则是由应力偏张量引起的，应力张量的这种分解在塑性力由应力偏张量引起的，应力张量的这种分解在塑性力学中有重要意义。学中有重要意义。z zxy x xy yxz zx zy yz yx xy x xy yxz zx zy yz yx z zm mm mm m-m m-m m-m m=+.（2）偏应力张量的不变量）偏应力张量的不变量偏应力张量偏应力张量的主轴方向与应力主轴方向一致，而主值的主轴方向与应力主轴方向一致，而主值（称为主偏应力）为：（称为主偏应力
16、）为：)3,2,1j(Smjj m33m22m11SSS 或或0JJJ32213 32132322211332212M3213211sssJ)sss(21)ssssss(J03sssJ 应力偏张应力偏张量也有三量也有三个不变量个不变量.其中应力偏张量的第二不变量其中应力偏张量的第二不变量 今后用得最多。今后用得最多。2J 31J)()()(61JSS21)S2S2S2SSS(21J13322123222122132322212ijij2312232122332222112 再介绍它的其他几个表达式：再介绍它的其他几个表达式：在后面章节中我们将看到，在后面章节中我们将看到，在屈服条件中起重要作用
17、。在屈服条件中起重要作用。至于至于 可以注意它有这样的特点：不管可以注意它有这样的特点：不管 的分量多么的分量多么大，只要有一个主偏应力为零，就有大，只要有一个主偏应力为零，就有 。这暗示。这暗示 在屈服条件中不可能起决定作用。在屈服条件中不可能起决定作用。2J 3J 3J 0J3 ijS.（3 3）引入与）引入与J J2 2 有关的几个定义有关的几个定义 2J 213232221221J3 在塑性力学中称为在塑性力学中称为应力强度应力强度或或等效应力，等效应力，它代它代表表复杂应力状态折合成单向应力状态复杂应力状态折合成单向应力状态的当量应力。的当量应力。注意：注意：这里的这里的“强度强度”
18、或或“等效等效”都是在都是在 意义下意义下衡量的。衡量的。2J.等效应力等效应力 随应力状态不同而变化，即随应力状态不同而变化，即)(155.111(minmax 等效应力是衡量材料处于弹性状态或塑性状态的重等效应力是衡量材料处于弹性状态或塑性状态的重要依据，它反映了各主应力的综合作用。要依据，它反映了各主应力的综合作用。简单拉伸时简单拉伸时0321 213232221221J3 因因为为 .等效应力等效应力 的特点的特点）与空间坐标轴的选取无关；与空间坐标轴的选取无关；）各正应力增加或减少同一数值（也就是叠各正应力增加或减少同一数值（也就是叠加一个静水应力状态）时加一个静水应力状态）时 数值
19、不变，即与数值不变，即与应力球张量无关；应力球张量无关；）全反号时全反号时 的数值不变。的数值不变。)3,2,1j(j .ijij2SS21J 可以看出可以看出 代表代表 空间的中的广义距离空间的中的广义距离 ijS 空间空间ijSijSijS.000321 213232221261JT 等效剪应力等效剪应力 T 在塑性力学中称为在塑性力学中称为剪剪应力强度应力强度或或等效等效剪剪应力应力在纯剪时：在纯剪时：T八面体上的剪应力八面体上的剪应力等斜面等斜面.1 2 3 设将坐标轴设将坐标轴 x、y、z 取与应力主方取与应力主方向一致，则等斜面法线的三个方向向一致，则等斜面法线的三个方向余弦为余弦
20、为3/1321 l ll ll lm32123232222118)(31 l ll ll l)(31)()()(F23222123322221128 l ll ll l21323222128288)()()(31F .28J32 m8 1J 2J28J32 .八面体剪应力、等效应力和等效剪应力之间的八面体剪应力、等效应力和等效剪应力之间的换算关系换算关系 282828J2331J3323J323232这些量的引入，使我们有可能把复杂应力状态化作这些量的引入，使我们有可能把复杂应力状态化作“等效等效”（在（在 意义下等效）的单向应力状态，从而意义下等效）的单向应力状态，从而有可能对不同应力状态的
21、有可能对不同应力状态的“强度强度”作出定量的描述和作出定量的描述和比较。比较。2J.例例:设某点的应力张量为设某点的应力张量为 ，试求其主，试求其主应力应力 及主方向，并写出应力偏量，画出应及主方向，并写出应力偏量，画出应力状态分析简图。力状态分析简图。0201020010101030ij321 、解：主应力解：主应力由下式给出由下式给出08000600302010201010103023 解三次方程得到解三次方程得到0)20)(10)(40(因此可求得因此可求得201040332211 8000J600J30J321 .1232221 l ll ll l401 将求得的将求得的代入下式代入下
22、式可求得可求得 相应于相应于1 1的主方向余弦为的主方向余弦为6162 321l ll ll l同理，可求得相应于同理，可求得相应于2的主方向余弦为的主方向余弦为3131 321l ll ll l同理，可求得相应于同理，可求得相应于3的主方向余弦为的主方向余弦为210 321l ll ll l0)(0)(0)(313323213132321221213132121111 l-llll-llll-.又对于应力张量又对于应力张量ijij 10)(31zyxm 应力偏张量应力偏张量 102010201010101020Sm33323123m22211312m11ij用用主应力主应力表示的应力状态分析
23、图如下：表示的应力状态分析图如下：-20-20101040401010101010103030-30-30=+.三、应变张量及其不变量三、应变张量及其不变量1、应变张量、应变张量2、主应变及应变张量的不变量、主应变及应变张量的不变量.三、应变张量及其不变量三、应变张量及其不变量设物体内一点设物体内一点(x，y，z)，这一点的三个位移分量是，这一点的三个位移分量是u，v，w 显然它们是显然它们是x，y，z 的函数。在小变形条的函数。在小变形条件下，应变和位移的关系件下，应变和位移的关系(几何方程几何方程)如下：如下：zuxwywzvxvyuzxyzxy zwyvxuzzyyxx zzzy21zx
24、21yz21yyyx21xz21xy21xx1、应变张量、应变张量（与应力张量一样，为二阶张量）（与应力张量一样，为二阶张量）.zxyzxy zx21zxyz21yzxy21xy zxyzxy zxyzxy ij zzzy21zx21yz21yyyx21xz21xy21xx zzzyzxyzyyyxxzxyxxjiij333231232221131211 .)uu(21)xuxu(21uxu1,22,1122112xy1,11111xx w,v,uu,z,y,xxii记记以以记记以以jij,ixuu 例例如如公式的张量形式：公式的张量形式：).uu(21i,jj,iij .2、主应变及应变张量
25、的不变量、主应变及应变张量的不变量333231232221131211ij323122321211333322221123213322111III 平均正应变平均正应变kk332211m31)(31 类似地，应变张量有三个主应变和三个不变量：类似地，应变张量有三个主应变和三个不变量：.,eijijmij 它与弹性的体积它与弹性的体积改变部分有关改变部分有关只反映变形中形只反映变形中形状改变的那部分状改变的那部分 m33231323m22121312m11ije mmmijm000000.321ij32zx2yz2xy2xxzz2zzyy2yyxx2zx2yz2xy2zz2yy2xx213232
26、221232221ijij23213322111eeeeI)()()(61)e2e2e2eee(21)()()(61)eee(21ee21I0eeeeeeIj je.4 4、引入与、引入与I I2 2 有关的几个定义有关的几个定义 92I322132322212 21321 92213232221在简单拉伸时，如果材料不可压缩，则在简单拉伸时，如果材料不可压缩，则.)()()(32I22132322212 在纯剪时在纯剪时0021231 .四、屈服条件、屈服曲面四、屈服条件、屈服曲面1、屈服条件、屈服条件3 3、屈服曲面、屈服曲线、屈服曲面、屈服曲线4 4、平面上的几何关系平面上的几何关系.四
27、、屈服条件、屈服曲面四、屈服条件、屈服曲面简单应力状态下的屈服极限：简单应力状态下的屈服极限：s 复杂应力状态下，设作用于物体上的外载荷逐步增加，复杂应力状态下，设作用于物体上的外载荷逐步增加，在其变形的初始阶段，每个微元处于弹性阶段。在其变形的初始阶段，每个微元处于弹性阶段。材料初始弹性状态的界限称为材料初始弹性状态的界限称为初始屈服条件初始屈服条件，简称为，简称为屈服条件屈服条件。一般地：一般地：0T,t,ij,ij,ij 受六个应力分量、应变分量、应变速率、时间、温度受六个应力分量、应变分量、应变速率、时间、温度等因素的综合影响。等因素的综合影响。1、屈服条件、屈服条件.0Fij 当不考
28、虑时间效应且接近常温时，在初始屈服前材料当不考虑时间效应且接近常温时，在初始屈服前材料处于弹性状态，应力和应变间有一一对应的关系。处于弹性状态，应力和应变间有一一对应的关系。几何意义几何意义屈服条件屈服条件 在以应力分量为坐标的应力空间在以应力分量为坐标的应力空间中为一曲面。称为中为一曲面。称为屈服曲面屈服曲面。屈服曲面是区分弹性和。屈服曲面是区分弹性和塑性的分界面。塑性的分界面。0Fij 当应力点当应力点 位于曲面之内，即位于曲面之内，即 时，材料时，材料处于弹性阶段。处于弹性阶段。ij 0Fij 当应力点当应力点 位于曲面之上，即位于曲面之上，即 时，材料时，材料开始屈服，进入塑性状态。开
29、始屈服，进入塑性状态。ij 0Fij .静水应力不影响材料的塑性性质。这时，屈服条件静水应力不影响材料的塑性性质。这时，屈服条件只与应力偏量有关：只与应力偏量有关：两点假设两点假设材料是初始各向同性的，即屈服条件与坐标的取向材料是初始各向同性的，即屈服条件与坐标的取向无关。无关。可表示为三个主应力的函数：可表示为三个主应力的函数：0),(f321 0)J,J,J(f321 也可由应力偏张量的不变量表示：也可由应力偏张量的不变量表示：0)J,J(f32 或用应力不变量来表示：或用应力不变量来表示：0)s,s,s(f321.应力空间应力空间一点的应力张量有九个应力分量，以它们为九个坐标一点的应力张
30、量有九个应力分量，以它们为九个坐标轴就得到假想的九维应力空间。轴就得到假想的九维应力空间。考虑到九个应力分量中只有六个是独立的，所以又可考虑到九个应力分量中只有六个是独立的，所以又可构成一个六维应力空间来描述应力状态。构成一个六维应力空间来描述应力状态。主应力空间主应力空间.321,321,主应力空间的性质主应力空间的性质其方程为其方程为 显然，显然，L直线上的点代表直线上的点代表物体中承受静水应力的点物体中承受静水应力的点的状态，这样的应力状态的状态，这样的应力状态将不产生塑性变形。将不产生塑性变形。321 直直线线L1 2 3.其方程为其方程为 由于由于 平面上任一点的平平面上任一点的平均
31、正应力为零，所以均正应力为零，所以 平平面上的点对应于只有应力面上的点对应于只有应力偏张量、不引起体积变形偏张量、不引起体积变形的应力状态的应力状态 0321 直直线线L平面平面 1 2 3 OPOQONOP 直直线线L平面平面 1 2 3 OPNQ.kjiOP321 OQON)kSjSiS()kji(OP321mmm 所以向量所以向量 是在是在 平面上平面上0321SSSOQOQONOP 直直线线L平面平面 1 2 3 OPNQ.直直线线L平平面面 1 2 3 OPNQ直直线线L 3 3、屈服曲面、屈服曲线、屈服曲面、屈服曲线 对应于应力状态的球对应于应力状态的球张量部分，即静水压力部张量部
32、分，即静水压力部分；由于静水应力不影响分；由于静水应力不影响屈服，即屈服与否与屈服，即屈服与否与 无关。无关。OQONOP ONON因此当因此当 P 点达到屈服时，点达到屈服时，线上的任一点也都达到屈线上的任一点也都达到屈服。服。L.123o123()L屈服曲面屈服曲面是一个是一个等截面等截面柱面，其母线平行于柱面，其母线平行于L直线。并直线。并且此柱面垂直于且此柱面垂直于 平面。平面。屈服曲线：屈服曲线：屈服曲面与屈服曲面与平面相交所得的一条平面相交所得的一条封闭曲封闭曲线线，或称屈服轨迹。，或称屈服轨迹。平面平面 屈服曲线屈服曲线屈服曲面屈服曲面.由于材料是初始由于材料是初始各向同性的，屈
33、服各向同性的，屈服条件不因坐标变换条件不因坐标变换而变化，因此屈服而变化，因此屈服曲线关于曲线关于 三轴对称。三轴对称。oAA BB CC AA BB CC 1,321 3 30 20)J,J(f32 屈服曲线的方程屈服曲线的方程屈服曲线的主要性质屈服曲线的主要性质:对于大多数金属材料，初始拉伸和压缩的屈服极限相对于大多数金属材料，初始拉伸和压缩的屈服极限相等，因此等，因此屈服曲线屈服曲线关于关于 三轴的垂线也对称。三轴的垂线也对称。,321 30.分别在主应力空间的三根坐标轴上截取长度为分别在主应力空间的三根坐标轴上截取长度为1 1的的线段。线段。由于等斜面由于等斜面 与与平面平行，所以角平
34、面平行，所以角为为平面与主应力空间的夹角，也即平面与主应力空间的夹角，也即 的夹的夹角。角。4 4、平面上的几何关系平面上的几何关系,3,2,1jcosjj 其中：其中：32cos 轴轴轴与轴与jj 321AAA123O等斜面等斜面1A2A3A22/3111.把把S投影到投影到平面上，可得到其（平面上，可得到其（x,y）坐标为）坐标为：312Oxy0120S在在平面上取平面上取x、y轴，如图。轴，如图。cos21,cos2311SScos,02Scos21,cos2333SS则屈服曲线上任一点则屈服曲线上任一点S 在在平面上的坐标为：平面上的坐标为：)2(61)(2131231ssyx.31t
35、an)231(tan)xy(tan322J2)2(61)(21yxr1313121ss1223122312s2s当采用极坐标表示时：当采用极坐标表示时：三种特殊情况三种特殊情况单向拉伸单向拉伸030,1 纯剪切纯剪切00,0 单向压缩单向压缩030,1 313122 就是就是Lode应力参数应力参数.平面的定义。平面的定义。问题问题什么叫屈服条件？什么叫屈服条件？屈服条件屈服条件 在什么假定下变为在什么假定下变为 。0)(fij 0)J,J(f32 为什么为什么 平面上的屈服曲线有六条对称轴。平面上的屈服曲线有六条对称轴。的几何意义是什么？的几何意义是什么？应力张量状态的三个不变量的表达方式？
36、偏应力张量状态的三个不变量的表达方式？偏应力应力张量状态的三个不变量的表达方式？张量状态的三个不变量的表达方式？偏应变张量状态的三个不变量的表达方式？偏应变张量状态的三个不变量的表达方式？.五、两种常用的屈服条件五、两种常用的屈服条件1、Tresca屈服条件屈服条件(1864年年)2 2、Mises 屈服条件屈服条件3 3、平面上平面上Mises圆同圆同Tresca六边形的几何关系六边形的几何关系.五、两种常用的屈服条件五、两种常用的屈服条件1、Tresca屈服条件屈服条件(1864年年)基于实验观测基于实验观测，Tresca假设材料在某处出现屈服是假设材料在某处出现屈服是由于该点的最大剪应力
37、达到某一极限值由于该点的最大剪应力达到某一极限值k。131maxk2 当已知当已知 Tresca屈服条件可以表示为屈服条件可以表示为123 也就是材料力学的第三强度理论也就是材料力学的第三强度理论由对称性拓展后，得到由对称性拓展后，得到平面上的一个平面上的一个正六边形正六边形。.312321123132312231213如不规定如不规定123 为为中中间间主主应应力力）为为中中间间主主应应力力）为为中中间间主主应应力力）211311323121(k2(k2(k2应应写写为为则则131maxk2 12o123()L3在主应力空间中，它们构在主应力空间中，它们构成一母线平行于成一母线平行于L L直
38、线的正直线的正六边形柱面六边形柱面.1112121k2k2k2 12ssss对于平面应力状态，当对于平面应力状态，当 时，时，03 113132121k2k2k2变为变为即在即在 平面上，平面上，其屈服轨迹呈斜六边形，其屈服轨迹呈斜六边形，这相当于正六边形柱面这相当于正六边形柱面被被 的平面斜的平面斜截所得的曲线。截所得的曲线。03 ),(21 式式.常数常数 k k1 1 一般由实验确定：一般由实验确定：2ks1 ss2 在单向拉伸时：在单向拉伸时：在纯剪切时：在纯剪切时：比较这二者可知，采用比较这二者可知，采用TrecaTreca条件就意味着条件就意味着032s1 131maxk2 02s
39、31 131maxk2 s1k .TrecaTreca屈服条件的适用范围屈服条件的适用范围1 1、在主应力方向和大小顺序都已知时，、在主应力方向和大小顺序都已知时，TrescaTresca屈服条屈服条件求解问题是比较方便的，因为在一定范围内，应力件求解问题是比较方便的，因为在一定范围内，应力分量之间满足线性关系。分量之间满足线性关系。2 2、在主应力方向已知，但其大小顺序未知时，不失一、在主应力方向已知，但其大小顺序未知时，不失一般性，屈服条件可写为：般性，屈服条件可写为：0k4)(k4)(k4)(221322322221 然后可用应力偏张量的不变量的形式写成然后可用应力偏张量的不变量的形式写
40、成0k64Jk96)J(k36)J(27)J(46242222332 3 3、主应力方向未知，很难用表达式描述。、主应力方向未知，很难用表达式描述。TrecaTreca屈服条件一般仅适用于主应力方向已知的情况。屈服条件一般仅适用于主应力方向已知的情况。.TrescaTresca条件的局限：条件的局限：主应力未知时表达式过于复杂；主应力未知时表达式过于复杂；未考虑中间主应力的影响。未考虑中间主应力的影响。1913年年Mises 指出指出:Tresca条件在条件在平面上的截迹是平面上的截迹是一个正六边形一个正六边形,因此不能用一个简单的方程来表示因此不能用一个简单的方程来表示;此此外外,六角形的六
41、角形的六个顶点是由实验得到六个顶点是由实验得到的的,但是连接这六但是连接这六个点的直线却包含了假定个点的直线却包含了假定(认为中间主应力不影响屈认为中间主应力不影响屈服服),),这种假定是否合适这种假定是否合适,需经实验证明。需经实验证明。Mises认为：用一个圆来连接这六个点似乎更合理，认为：用一个圆来连接这六个点似乎更合理，并且可以并且可以避免避免因曲线不光滑而引起的数学上的困难。因曲线不光滑而引起的数学上的困难。Mises条件在应力空间中的轨迹是外接于条件在应力空间中的轨迹是外接于Tresca六角六角柱体的圆柱体。柱体的圆柱体。.Mises屈服条件假定屈服曲线的一般屈服条件假定屈服曲线的
42、一般 表表达式具有如下的最简单形式：达式具有如下的最简单形式：2 2、Mises 屈服条件屈服条件0)J,J(f32 0KJ)J,J(f22232 CJ2 由屈服曲线上的点在由屈服曲线上的点在平面上投影平面上投影可知可知constk2J2r22 因此，在因此，在平面平面MisesMises屈服条件可用一个屈服条件可用一个圆圆来表示。来表示。.常数常数 K K2 2 一般由实验确定：一般由实验确定：2222k31JS 222S2kJ ss3 在单向拉伸时：在单向拉伸时：在纯剪切时：在纯剪切时：比较这二者可知，采用比较这二者可知，采用MisesMises条件应有：条件应有：s231k s2k 03
43、2s1 02s31 .确定常数确定常数 K2 以后，以后，Mises屈服条件可写屈服条件可写成以下常用的形式：成以下常用的形式：2S2132322212 2S2132322216 或或在主应力空间中是一个母在主应力空间中是一个母线平行于线平行于L L直线的圆柱面。直线的圆柱面。12o123()L3.213232221221J3 因因为为 2S2132322212 Mises屈服准则为：屈服准则为：s 即即所以，米塞斯屈服准则也可以表述为：在一定的变所以，米塞斯屈服准则也可以表述为：在一定的变形条件下，当受力物体内一点的等效应力形条件下，当受力物体内一点的等效应力 达到某一达到某一定值时，该点就
44、开始进入塑性状态。定值时，该点就开始进入塑性状态。.在在 平面上，这是一个椭圆。平面上，这是一个椭圆。为主应力空间中的为主应力空间中的Mises圆柱面被圆柱面被平面平面 斜截所得。斜截所得。对于平面应力状态，当对于平面应力状态，当 时，时，有：有：2s222121 1 2 s s s s MisesTresca由于上式中右端常数由单向拉伸实验确定，所以图中由于上式中右端常数由单向拉伸实验确定，所以图中Mises椭圆外接于椭圆外接于Tresca斜六边形。斜六边形。2S2132322212 ),(21 03 .3 3、平面上平面上Mises圆同圆同Tresca六边形的几何关系六边形的几何关系如果假
45、定在如果假定在简单拉伸简单拉伸时两种时两种屈服条件相重合，则屈服条件相重合，则Tresca六六边形将边形将内接于内接于Mises圆。圆。3 1 2 内接内接Tresca六边形六边形Mises圆圆s231k Mises:Tresca:纯剪切时，纯剪切时，Tresca六边形同六边形同Mises圆之间的相对偏差圆之间的相对偏差最大，最大，为为%5.15132 2ks1 12k32k 单向拉伸单向拉伸.3 1 2 外接外接Tresca六边形六边形Mises圆圆如果假定在如果假定在纯剪切时纯剪切时两种屈两种屈服条件相重合，则服条件相重合，则Tresca六边形六边形将将外切于外切于Mises圆。圆。Mis
46、es:Tresca:纯剪切纯剪切S2k S1k 12kk 单向拉伸时单向拉伸时，Tresca六边形同六边形同Mises圆之间的相对偏差圆之间的相对偏差最最大，为大，为%5.15132 .试判断下图中的主应力状态是弹性状态还是塑性状态。试判断下图中的主应力状态是弹性状态还是塑性状态。S4 S5 S5 S8.0 S8.0 S2.0 S5.0 S5.1 S 解：利用解：利用Mises屈服准则判别：屈服准则判别：（图（图1 1）（图（图2 2）（图（图3 3）对图对图1，用，用 代入得代入得s32S154 2S2132322212 满足满足Mises屈服条件，所以处于塑性状态。屈服条件，所以处于塑性状
47、态。.对图对图3用用S8.0 S8.0 S2.0 S5.0 S5.1 S（图（图2 2）（图（图3 3）解：利用解：利用Mises屈服准则判别：屈服准则判别：对图对图2用用 代入代入s32S18.02.0 2S2132322212 满足满足Mises屈服条件，所以处于塑性状态。屈服条件，所以处于塑性状态。解：利用解：利用Mises屈服准则判别：屈服准则判别：s3s2S15.15.0 2S2132322212 不满足不满足Mises屈服条件，所以处于弹性状态。屈服条件，所以处于弹性状态。代入代入.27555351051040ij 设某点的应力张量为设某点的应力张量为 材料的材料的s=25Mpa
48、求出其主应力及最大切应力；求出其主应力及最大切应力；根据根据Tresca屈服条件和屈服条件和Mises屈服条件判断材料处于屈服条件判断材料处于弹性状态还是塑性状态；弹性状态还是塑性状态；画出两种屈服条件在主应画出两种屈服条件在主应力空间的屈服曲面和力空间的屈服曲面和平面上的屈服曲线；平面上的屈服曲线；画出平面应力状态下的画出平面应力状态下的Tresca屈服准则及屈服准则及Mises屈服屈服准则图形，并进行比较。准则图形，并进行比较。应用应用：根据两种屈服准则，由任意应力状态确定材根据两种屈服准则，由任意应力状态确定材料处于弹性状态还是塑性状态。料处于弹性状态还是塑性状态。.主应力的大小为：主应
49、力的大小为：1 2 3=47.8482 34.0881 20.0637最大切应力为：最大切应力为：12 23 31=7.0122 -13.8922 6.8801根据根据Tresca屈服条件和屈服条件和Mises屈服条件判断材料状态结果为：屈服条件判断材料状态结果为：经经Tresca屈服条件判断屈服条件判断,材料处于塑性阶段材料处于塑性阶段经经Mises屈服条件判断屈服条件判断,材料处于弹性阶段材料处于弹性阶段.画出两种屈服条件在主应力空间的屈服曲面和画出两种屈服条件在主应力空间的屈服曲面和平面上的平面上的屈服曲线；其中，图中屈服曲线；其中，图中*表示任意点的应力状态，表示任意点的应力状态，*若
50、若在屈服曲线内则表示材料处于弹性阶段，在屈服曲线内则表示材料处于弹性阶段，*若在屈服曲若在屈服曲线外则表示材料处于塑性阶段。线外则表示材料处于塑性阶段。.画出平面应力状态下的画出平面应力状态下的Tresca屈服准则及屈服准则及Mises屈服准则图形，屈服准则图形，并进行比较（如图所示）。并进行比较（如图所示）。.解解 由于壳体几何形状和受由于壳体几何形状和受力都是对称于球心力都是对称于球心,是球对称是球对称问题。这样壳体内剪应力分量问题。这样壳体内剪应力分量必为零，否则就不是球对称了。必为零，否则就不是球对称了。各点只有正应力分量，并且有各点只有正应力分量，并且有00r r qoxyz主应力排
