1、复数的三角形式复数的三角形式复数的三角形式1ppt课件复习引入新课：oxyabZ（a，b）r复数的表示的三种方法：代数式a+bi点z（a，b）向量ozZ=a+bi所对应的向量oza为复数的实部 b为复数的虚部r=a2+b2 为复数的模2ppt课件rab复数辐角的概念：以x轴的正半轴为始边，向量oz所在的射线为终边的角，XOYZ(a,b)3ppt课件rab（二）复数的三角形式：当a=rCos b=rSina+bi=rCos+iSin=r（Cos+iSin）则z=r（Cos+Sin）为复数的三角形式。XYZ(a,b)O4ppt课件复数的三角形式条件：Z=（i ）r0。加号连接。Cos在前，Sin在
2、后。前后一致，可任意值。r Cos Sin+5ppt课件例1：把下列复数代数式化成三角式：i31213r解3i对应的点在第一象限3c o s26即6623iSinCosi211r解i12127c o s242对应的点在第四象限而i1474721iSinCosi6ppt课件想一想：代数式化三角式的步骤（1）先求复数的模（2）决定辐角所在的象限（3）根据象限求出辐角（4）求出复数三角式。小结：一般在复数三角式中的辐角，常取它的主值这既使小结：一般在复数三角式中的辐角，常取它的主值这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定要主值。表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定要主值。7ppt课
3、件例2：将下列复数化为三角形式；552iSinCos43432iCosSin3321iSinCos552iSinCos59592iSinCos47472iSinCos343421iSinCos54542iSinCos8ppt课件(1)6(cos0+isin 0)(2)5(cos+isin(2)5(cos+isin)把下列复数化成三角形式：（1）6 （2）-5 （3）2i（4）-I （5）-2+2i解 2223iSinCos 23234iSinCos 4343225iSinCos（四）练习：9ppt课件例例3求复Z=1+cos+isin(2)的模与辐角主值.分析分析:式子中多3个“1”，只有将“
4、1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”.解解:Z=1+cos+isin=1+(2cos2-1)+2isincos=2cos(cos+isin).(1)2 ,cos0(1)式右端=-2cos(-cos-isin)=-2coscos(+)+isin(+)r=-2cos +2，argZ=+10ppt课件分析与解答：分析与解答：.i1i 43i7i 43i 42i 35i 43i 42)i1)(i 41(z 又又 tg=a-1,-1tg 1,的辐角主值的辐角主值)2,474,0 .=z+ai=1-i+ai=1+(a-1)i 且且2|，2)1a(12 ，解得解得 0a2,11ppt课件
5、 此题首先要算对了，还要会算模以及辐角此题首先要算对了，还要会算模以及辐角.其中，最容其中，最容 易出问题的是易出问题的是 的范围的确定的范围的确定.仅有仅有-1tg 1 是不够的，还是不够的，还 应当注意到应当注意到=1+(a-1)i 的实部为的实部为 1，虚部，虚部 a-1 在在-1，1内，内，所以所以 所对的辐角只能在第一和第四象限所对的辐角只能在第一和第四象限.12ppt课件复数的三角形式这样，我们把 叫做复数a+bi的三角形式(cossin)ri cossin(cossin)abirirri二、复数三角形式的运算法则引入复数三角形式的一个重要原因在于用三角形式进行乘除法、乘方、开方相
6、对于代数形式较为简单。所以这里只介绍三角形式的乘法、除法、乘方与开方的运算法则。1、复数的乘法设1111(cossin)zri2222(cossin)zri那么1 2111111(cossin)(cossin)z zriri13ppt课件复数的三角形式二、复数三角形式的运算法则1、复数的乘法1 2111222(cossin)(cossin)z zriri1 212121 21212(coscossinsin)(sincoscossin)rrirr1 21212cos()sin()rri这说明，两个复数相乘等于它们的模相乘而幅角相加即1 21 21212cos()sin()z zrri这个运算在
7、几何上可以用下面的方法进行：将向量z1的模扩大为原来的r2倍，然后再将它绕原点逆时针旋转角2，就得到z1z2。14ppt课件复数的三角形式二、复数三角形式的运算法则2、复数的除法11112222(cossin)(cossin)rizzri 1112222222(cossin)(cossin)(cossin)(cossin)riirii 1121221212(coscossinsin)(sincoscossin)rri112122cos()sin()rir15ppt课件复数的三角形式二、复数三角形式的运算法则2、复数的除法11121222cos()sin()zrizr即这说明，两个复数相除等于它
8、们的模相除而幅角相减这个运算在几何上可以用下面的方法进行：将向量z1的模缩小为原来的r2分之一，然后再将它绕原点顺时针旋转角2，就得到z1z2。将向量z1的模变为原来的n次方，然后再将它绕原点逆时针旋转角n，就得到zn。3、复数的乘方。这个运算在几何上可以用下面的方法进行：(cossin)nnzrnin16ppt课件4、复数的开方那么(cossin)(cossin)nnninin所以2012,(,)nrnkk 即22012,(,)nkkrknnn 显然，当k从0依次取到n1,所得到的角的终边互不相同，但k从n开始取值后，前面的终边又周期性出现。因此，复数z的n个n次方根为220 1 21(co
9、ssin),(,)nkkkriknnn 设 的一个n次方根为(cossin)zri(cossin)i17ppt课件4、复数的开方复数的三角形式二、复数三角形式的运算法则220 1 21(cossin),(,)nkkkriknnn 从求根公式可以看出，相邻两个根之间幅角相差n 所以复数z的n个n次方根均匀地分布在以原点为圆心，以它的模的n次算术根为半径的圆周上。因此，求一个复数z的全部n次方根，可以用下面的几何手段进行：(cossin)zri先作出圆心在原点，半径为 的圆，然后作出角 的终边nrn 以这条终边与圆的交点为分点，将圆周n等分，那么，每个等分点对应的复数就是复数z的n次方根。18pp
10、t课件复数的指数形式在对复数三角形式的乘法规则讨论中，我们发现，复数的三角形式将复数的乘法“部分地”转变成加法（模相乘，幅角相加）这种改变运算等级的现象在初等函数中有过体现：对数函数与指数函数xyxya aa log()loglogaaaxyxy前者将两个同底幂的乘积变成同底的指数相加；后者将两个真数积的对数变成两个同底对数的和。1 21 21212cos()sin()z zrri从形式上看，复数的乘法与指数函数的关系更为密切些：121 2()()()xyxybab abba 19ppt课件复数的指数形式根据这个特点，复数 应该可以表示成某种指数形式(cossin)zri即复数应该可以表示成
11、的形式xy a 这里有三个问题需要解决：（1）反映复数本质特征的三个因素：模r、幅角、虚数单位i应各自摆放在什么位置？（2）在这些位置上它们应呈现什么形态？（3）作为指数形式的底应该用什么常数？先来研究第一个问题.20ppt课件复数的指数形式1 21 21212cos()sin()z zrri121 2()()()xyxybab abba 再重新观察下面的等式xy a 首先，显然模r应该占据 中系数y的位置,其次，幅角应该占据 中指数x的位置,xy a 对于虚数单位i，如果放到系数y的位置会怎样？由于222()xxi rar a 等式右边是实数，对于任意虚数而言，这是不可能的。因此幅角也应该占
12、据指数的位置。这样第二个问题就产生了：它与幅角一起在指数的位置上是什么关系？（相加？相乘？）21ppt课件复数的指数形式幅角与虚数单位i是相加的关系会怎样？先考察模为1的复数cossini 如果写成 的形式ia iiaaa 一方面，由于与 的形式差别不是很大，()ir a 其次()inni naa 在复数的乘方法则中，应该仅是幅角的n倍而没有虚数单位也要n倍，所以虚数单位与幅角不应该是相加关系，而应该是相乘关系izra 现在来审查乘法、除法和乘方法则是否吻合22ppt课件复数的指数形式12121 2121 2()()()()iiiz zrar arr a 1212121212()()()()i
13、iizzrar arr a ()()ninni nzrar a 乘除法保持“模相乘除、幅角相加减”、乘方保持“模的n次方、幅角的n倍”的本质特征(cossin)izabirire 从复数的模与幅角的角度看，复数的指数形式其实是三角形式的简略化23ppt课件复数的指数形式由复数的三角形式与指数形式，我们很容易得到下面的两个公式：22cossincossincos,siniiiiiiieieeeeei 这两个公式被统称为欧拉公式在复数的指数形式中，令r=1,=，就得到下面的等式1 ie或10ie 24ppt课件二、复数三角形式的乘法和除法 乘法法则：模相乘，幅角相加。除法法则：模相除，幅角相减。25ppt课件
