1、一元二次方程1（北京模拟）已知关于x的一元二次方程x2pxq10有一个实数根为2（1）用含p的代数式表示q；（2）求证：抛物线y1x2pxq与x轴有两个交点；（3）设抛物线y1x2pxq的顶点为M，与y轴的交点为E，抛物线y2x2pxq1的顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值2设关于x的方程x25xm210的两个实数根分别为、，试确定实数m的取值范围，使|6成立3（湖南怀化）已知x1，x2是一元二次方程(a6)x22axa0的两个实数根（1）是否存在实数a，使x1x1x24x2成立若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使(x11)(x21)为负整数的
2、实数a的整数值4（江苏模拟）已知关于x的方程x2(ab1)xa0（b0）有两个实数根x1、x2，且x1x2（1）求证：x11x2（2）若点A（1，2），B（，1），C（1，1），点P（x1，x2）在ABC的三条边上运动，问是否存在这样的点P，使ab若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由5（福建模拟）已知方程组有两个实数解和，且x1x20，x1x2（1）求b的取值范围；（2）否存在实数b，使得1若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由6（成都某校自主招生）已知a，b，c为实数，且满足abc0，abc8，求c的取值范围7（四川某校自主招生）已知实数x、y满足 ，求xy的取值范围8（福建某校自
3、主招生）已知方程(ax1)2a2(1x2)（a1）的两个实数根x1、x2满足x1x2，求证：1x10x21（答案）1（北京模拟）已知关于x的一元二次方程x2pxq10有一个实数根为2（1）用含p的代数式表示q；（2）求证：抛物线y1x2pxq与x轴有两个交点；（3）设抛物线y1x2pxq的顶点为M，与y轴的交点为E，抛物线y2x2pxq1的顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值解：（1）关于x的一元二次方程x2pxq10有一个实数根为2NEFMxyy2y1222pq10，整理得：q2p5（2）p24qp24(2p5)p28p20(p4)24无论p取任何实数，都有(p
4、4)20无论p取任何实数，都有(p4)240，0抛物线y1x2pxq与x轴有两个交点（3）抛物线y1x2pxq与抛物线y2x2pxq1的对称轴相同，都为直线x，且开口大小相同，抛物线y2x2pxq1可由抛物线y1x2pxq沿y轴方向向上平移一个单位得到EFMN，EFMN1四边形FEMN是平行四边形由题意得S四边形FEMNEF|2，即|2p42（安徽某校自主招生）设关于x的方程x25xm210的两个实数根分别为、，试确定实数m的取值范围，使|6成立解：524(m21)4m221不论m取何值，方程x25xm210都有两个不相等的实根x25xm210，5，1m2|6，222|36，即()222|36
5、252(1m2)2|1m2|36当1m20，即1m1时，2536成立1m1 当1m20，即m1或m1时，得254(1m2)36解得mm1或1m 综合、得：m3（湖南怀化）已知x1，x2是一元二次方程(a6)x22axa0的两个实数根（1）是否存在实数a，使x1x1x24x2成立若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使(x11)(x21)为负整数的实数a的整数值解：（1）x1，x2是一元二次方程(a6)x22axa0的两个实数根 即假设存在实数a使x1x1x24x2成立，则4(x1x2)x1x2040，得a24a24满足a0且a6存在实数a24，使x1x1x24x2成立（2）(x1
6、1)(x21)(x1x2)x1x211要使(x11)(x21)为负整数，则只需a为7，8，9，124（江苏模拟）已知关于x的方程x2(ab1)xa0（b0）有两个实数根x1、x2，且x1x2（1）求证：x11x2（2）若点A（1，2），B（，1），C（1，1），点P（x1，x2）在ABC的三条边上运动，问是否存在这样的点P，使ab若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）由根与系数的关系得：x1x2ab1，x1x2aax1x2，bx1x2x1x21b0，x1x2x1x2101x1x2x1x20(1x1)(1x2)0又x1x2，1x10，1x20即x11，x21x11x2Oxy112
7、CAB（2）x1x2ab1，ab，x1x2当点P（x1，x2）在BC边上运动时则x11，x21x1x211故在BC边上不存在满足条件的点P当点P（x1，x2）在AC边上运动时则x11，1x22取x2，则x1x2，即ab故在AC边上存在满足条件的点P（1，）当点P（x1，x2）在AB边上运动时则x11，1x22，易知x22x1x1x2，x1，x2又1，12故在AB边上存在满足条件的点（，）综上所述，当点P（x1，x2）在ABC的三条边上运动时，在BC边上没有满足条件的点，而在AC、AB边上存在满足条件的点，它们分别是（1，）和（，）5（福建模拟）已知方程组有两个实数解和，且x1x20，x1x2（
8、1）求b的取值范围；（2）否存在实数b，使得1若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由解：（1）由已知得4x(2xb)2，整理得4x2(4b4)xb20x1x2，0，即(4b4)216b20，解得b又x1x20，0，b0综上所述，b且b0（2）x1x21b，x1x2，1得b24b40，解得b22222(1)，b22不合题意，舍去b226（成都某校自主招生）已知a，b，c为实数，且满足abc0，abc8，求c的取值范围解：abc0，abc8，a，b，c都不为零，且abc，aba，b是方程x2cx0的两个实数根c240当c0时，c240恒成立当c0时，得c332，c故c的取值范围是c0或c7（四川
9、某校自主招生）已知实数x、y满足 ，求xy的取值范围解：(xy)20，x2y22xy2(x2y2)(xy)22(4a22a2)(3a1)2即a22a30，解得1a3xy(xy)2(x2y2)(3a1)2(4a22a2)(5a24a1)(a)2当a时，xy有最小值；当a3时有最大值16xy168（福建某校自主招生）已知方程(ax1)2a2(1x2)（a1）的两个实数根x1、x2满足x1x2，求证：1x10x21证明：将原方程整理，得2a2x22ax1a20Oxy1-1x1x2令y2a2x22ax1a2，由于a1，所以这是一条开口向上的抛物线当x0时，y1a20，原方程有一个正根和一个负根又x1x2，x10x2又当x1时，y2a22a1a2(a1)20当x1时，y2a22a1a2(a1)201x10x21
