1、一元二次方程考点一：一元二次方程的定义考点说明：如果单独考察，一般会以选择、填空的形式出现，但是一般情况下，不会单独考察，而是在第23题的位置结合根的判别式与二次项系数不为零，求参数的取值范围。【例1】 关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）A. B. C.为任何实数 D.不存在【答案】C【例2】 若是关于的一元二次方程，则、的取值范围是（ ）A.、 B.、 C.， D.、【答案】B考点二：一元二次方程的解与整体思想和降次思想考点说明：关于一元二次方程的解的考察主要有三方面：一是代入根求参数的取值，二是代入根构造“整体”，三是“降次”【例3】 关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（
2、）A. B. C.或D.【答案】【例4】 若是方程的一个根，那么代数式的值为 【解析】是方程的一个根， 即，代数式（像这样的恒等变形，很多学生掌握都不是很熟练）【答案】【例5】 已知是方程的一个根，则的值为_【答案】是方程的一个根，则原式 =考点三：一元二次方程的解法考点说明：如果考察一般会出现在计算题第2题或3题的位置，同时也可能出现在第23题的第1问，或第2问中，四种方法都必须熟练掌握。【例6】 解关于的方程：【答案】，【例7】 用配方法解下列方程 【答案】，；，；【例8】 用公式法解下列方程 【答案】，【例9】 用因式分解法解下列方程【答案】，；考点四：利用根的判别式判定或证明方程根的个
3、数考点说明：此类问题一般会以选择题或者第23题的第1问出现，同时还有可能会结合三角形边的关系，如“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”“勾股定理”等【例10】 不解方程，判别一元二次方程的根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根B没有实数根C有两个相等的实数根D无法确定【答案】【例11】 已知、是三角形的三边长，则方程根的情况（ ）A.两个不等实数根B.两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定【答案】C【例12】 对任意实数，求证：关于的方程无实数根【答案】，故方程为一元二次方程，故方程无实根【例13】 求证：关于的一元二次方程有两个实数根【答案】是关于的一元二次方程原方程有两个实数根 考点
4、六：利用根的判别式求参数的取值范围考点说明：一般出现的位置选择、填空，第23题第一问，求参数取值范围时，注意二次项系数不为零的条件，这是很多学生容易忘记的条件。【例14】 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）A B C D 【答案】C【例15】 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围【解析】由题意，得 解得且【答案】且考点六：一元二次方程解应用题考点说明：一般列方程解应用题会在解答题的位置出现，不排除会以选择、填空的形式出现的可能。常见的有增长率问题，商品利润问题，面积问题等【例16】 某商场年的营业额比年上升，年比年又上升，而年和年连续两年比上一年
5、降低，那么年的营业额比年的营业额（ ）A.降低了 B. 没有变化 C.上升了D.降低了 【答案】设年的营业额为元，则年的营业额为元，年的营业额元，所以年的营业额为因此年的营业额比年的营业额降低了，所以选择【例17】 北京市政府为了迎接年奥运会，决定改善城市面貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加，则这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ）A. B. C. D.【答案】设绿地面积的增长率是，原有绿地面积为，根据题意得解得或（舍），则平均增长率为，选【例18】 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售出件，每件盈利元，为扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，
6、如果每件衬衫降价元，商场平均每天多售出件，若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降低多少元？【答案】解：设每件衬衫降价元，则每件所获得的利润为元，但每天可多售件，每天可卖件，根据题意得，方程化简整理得解得，要尽快减少库存，答：若商场每天要盈利元，每件应降价元【例19】 宏达汽车出租公司共有出租车辆，每辆汽车的日租金为元，出租业务天天供不应求，为适应市场需求，经有关部门批准，公司准备适当提高日租金，经市场调查发现，一辆汽车日租金每增加元，每天出租的汽车相应地减少辆。若不考虑其他因素，公司将每辆汽车的日租金提高几个元能使公司的日租金总收入达到元？使公司的日租金总收入最高？最高是多少？【答案】设公司将每
7、辆车日租金提高个元，才能使公司的日租金总收入达到元，根据题意得，整理得解得，检验知，均符合题意故公司将每辆汽车租金提高元或元，公司的日租金总收入达到元设公司将每辆汽车日租金提高个元，则公司每天出租的汽车为辆，则每天的租金总收入为当时，公司的日租金收入最高，最高租金为元【例20】 长、宽的会议室，中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，若四周未铺地毯的留空空间宽度相同，则留空的宽度为 【答案】设留空的宽度为，根据题意得整理得，解得，不符合题意，舍，【例21】 如图所示，在一个长为米，宽为米的矩形广场上，修建三条同样宽的道路，若使每块草坪的面积都是平方米，则道路宽为多少？【解析】注意：是“每
8、块草坪的面积是平方米”【答案】设道路的宽为米，根据题意得整理得，解得或，不符合题意，舍，答：道路宽为米【例22】 如图，中，点从点开始，沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动（点到达点运动停止）如果点，分别从点，同时出发秒（）为何值时，？为何值时，可使得的面积等于？【答案】根据题意，知、根据勾股定理，得，即整理得，解得（舍）或根据三角形的面积公式，得，则，解得或当或秒时，的面积等于【例23】 如图所示，某海军基地位于处，在其正南方向海里处有一重要目标,在的正东方向海里处有一重要目标小岛。小岛位于的中点，岛上有一补给码头，一艘军舰从出发，经到匀速巡航，一艘补给船同时从出发，沿南偏西
9、方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。已知军舰的速度是补给船的倍，军舰在到的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里（结果保留根号）【答案】解：，海里，海里，过点作，垂足为，则，即海里设相遇时补给船航行了海里，那么海里，海里，海里在中，根据勾股定理可得方程，整理得，解得，（不符合题意，舍去）所以相遇时补给船大约航行了海里考点六：利用根与系数关系，求代数式的值考点说明：根与系数关系并不在中考大纲要求之中，但是在高中根与系数关系还是有着非常广泛的应用，因此学生熟练掌握对于高中的学习也是有着很大的帮助。而且与之相关最紧密的就是完全平方公式和平方差公式的应用【例24】 设方程的两个根为、，不
10、解方程求下列各式的值； 【答案】由韦达定理得，；，【例25】 已知、是方程的两根，求的值【解析】注意，均为负数，很多学生求出的结果均为负值【答案】由韦达定理可得，考点七：利用根与系数关系，求参数的数值及方程另一根考点说明：一般涉及到方程根的情况，将方程的根带入方程中求出参数的数值。但是对于一元二次方程，我们可以通过根与系数的关系，直接建立方程根和系数的等量关系，有的时候问题会更简单、明了。【例26】 若方程的一个根为，则它的另一根等于 ，等于 【解析】部分学生喜欢将代入原方程，求的数值，然后再求方程另外一个根，此方法较慢。【答案】设方程的另一根为，根据题意得，解得，【例27】 设、是方程的两个不同的实根，且，则的值是【解析】易忽略【答案】由韦达定理得， 即，整理得，解得或，
