1、3.4 定积分的进一步应用 3.4.1 平面图形的面积 3.4.2 立体的体积 3.4.3 平面曲线的弧长 3.4.4 变力沿直线所作的功 3.4.5 压力 3.4.6 引力 3.4.7 函数的平均值 3.4.1 平面图形的面积 一、不规则图形的面积 二、进一步练习一般地，求由区间a,b上的连续曲线y=f(x)、y=g(x)一、一、不规则图形的面积不规则图形的面积)()(xfxg以及直线x=a、x=b围成的平面图形的面积，如图所示，用微元法分析如下(1)任意一个小区间 ,d x xx（其中x、d,xxa b）上的窄条为面积dS可以用底宽为dx，高度)()(xgxf的窄条矩形的 面积来近似计算，
2、即面积微元为 xxgxfSd)()(d(2)以 xxgxfd)()(为被积表达式，在区间,ba上积分，得该平面图形的面积 baxxgxfSd)()(练习1 窗户面积 二二、进一步的练习进一步的练习某一窗户的顶部设计为弓形，上方曲线为一抛物线，下方为直线，如图所示，求此弓形的面积 建立直角坐标系如图所示解设此抛物线方程为22pxy，因它过点(0.8,0.64)，所以 21p即抛物线方程为 2xy此图形的面积实际上为由曲线 2xy与直线 0.64y 所围成图形的面积，面积微元为 2d-(-0.64)dSxx 面积为0.820.8-(-0.64)dSxx30.80.82(0.64)3xx 0.683
3、(m)所以窗户的面积为0.683m2 练习2 游泳池的表面面积 一个工程师正用CAD（computer-assisted desigen计算机辅助设计）设计一游泳池，游泳池的表面是22)10(800 xxy由曲线xxy45.0,2以及x=8围成的图形，如图所示，求此游泳池的表面面积 解解联立方程组 222800(10)0.54xyxyxx得两条曲线的左交点(0,0)，右交点的横坐标222800d(0.54)d(10)xAxxxx此游泳池的表面面积为 82220800(0.54)d(10)xAxxxx8220800d(10)xxx820(0.54)dxxx82220400d(10)(10)xx8
4、3201(2)6xx80240010 x 83201(2)6xx=77.26（m）大于8于是，面积微元为 3.4.2 立体的体积 一、平行截面面积为已知的立体的体积 二、旋转体的体积 三、进一步练习设一立体位于平面 x=a、x=b（ab)如图所示.任意一个垂直于x轴的平面截此物体所得的截面面积为 一、一、平行截面面积为已知的立体的体积 A(x),A(x)是a,b上的连续函数该立体介于区间 之间的薄片的体积微元dV.,badxxx可用底面积 A(x)、高为 dx的柱形薄片的体积近似计算，xxAVd)(d从而体积微元为 将其在区间a,b上积分，得到该立体的体积 baxxAV d)(二二 旋转体的体
5、积旋转体的体积(1)平面图形绕x轴旋转所成的立体的体积 由连续曲线y=f(x)、直线 x=a、x=b以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的旋转体，如图所示 它被任意一个垂直于x轴的平面所截，得到的截面为2)()(xfxA以f(x)为半径的圆，其面积为 故所求旋转体的体积为 2()dbaVfxx(2)绕y轴旋转所成的立体的体积 y=d以及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为 2()ddcVyy)(yx、直线 y=c、由连续曲线练习1 喇叭体积 三三、进一步的练习进一步的练习的图形绕x轴旋转所成的旋转体，如图所示一喇叭可视为由曲线直线x=1以及x轴所围成2yx，求此旋转体的
6、体积解在0,1上任取一点x，此旋转体的体积微元可近似2)(xfy地视为以f(x)为半径的圆为底（即以面积为的圆为底）的柱体，从而体积微元为 22d()dVxx所求旋转体的体积V为 140dVxx15015x51练习2 机器底座的体积某人正在用计算机设计一台机器的底座，它在第一38xy、以及x轴、y轴围成，象限的图形由2y底座由此图形绕y轴旋转一周而成，如图所示试求此底座的体积 解以及y轴围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所成的所求体积为 此图形实为由曲线 38yx与直线y=2、y=0旋转体体积微元为 23d(8)dVyy2 0 32d)8(yyV52303(8)5y55333(86)5313.797
7、5.223.4.3 平面曲线的弧长 一、弧长的计算 二、进一步练习曲线y=f(x)相应于 a,b上的任一微小区间 一、一、弧长的计算弧长的计算的长度ds来近似代替，所以弧长微元(即弧微分)为 所求弧长为 的一小段弧的长度,dxxxs，可以用该曲线在点（x,f(x)）处的切线上相应的一小段222ds(d)(d)1()dxyfxx 2 1()dbasfxx练习1运动路程 二二、进一步的练习进一步的练习（t的单位：s；s的单位：m）求它从时刻t=0s到解 已知一物体的运动规律为 cossinttxetyet时刻t=1s所移动的距离 物体的运动规律由参数方程给出，随着时间t的变化，物体运动的轨迹是一条
8、曲线此问题事实上是求该曲线从t=0s到t=1s的一段弧长 由参数方程下弧长的计算公式，得 1220()()dsxyt1220(cossin)(sincos)dttttetetetett1201dte t1201()te21(1)5.665(m)e练习2 悬链线长度悬链线，它表示的是一悬挂在空中的线缆的形状，下图所示的函数为)(21xxeey，这一函数称作求此悬链线位于x=-1和x=1之间的长度 由式弧长的计算公式，得 解12111()d4xxleex利用对称性，得 120121()d4xxleex120()dxxeex10()dxxeex10()xxee1()(1 1)ee1ee3.4.4 变
9、力沿直线所做的功 一、功的计算 二、进一步练习由物理学知道，物体受常力F作用沿力的方向移动 一、一、功的计算功的计算如果作直线运动的物体在运动过程中所受的力是变化SFW一段距离S，则力F对物体所作的功为的，设物体所受的力与移动的位移x之间满足y=F(x)，求此力将物体从x=a移到x=b所作的功 变力在一微小段 d,xxx上所作的功可视为常力所以，总功为 所作的功，功的微元为 d()dWF xx，()dbaWF xx练习1 克服阻力所作的功 二二、进一步的练习进一步的练习解克服阻力所作的功.一物体按规律 作直线运动，媒质的阻力3ctx 与速度的平方成正比，计算物体由 x=0 到 x=a 时，由于
10、媒质的阻力与速度的平方成正比，设比例系数为k，于是媒质的阻力为 22 4()9dxFkkc tdt在,dxxx上克服阻力所作的功(功的微元)为 22 433 6d()d9d()27ddxWkxkc tctkc ttdt当物体从 x=0 移动到 x=a 时，时间t从 t=0到 13atc克服阻力所作的功为 13()3 6027dacWkc tt13()36027dackctt13()370127()7ackct2733277kc a3.4.5 压力 一、压力的计算 二、进一步练习由物理学知道，在液体深为h处的压强为p=r h，这里r是液体的比重如果有一面积为A的平板水平地放置在某液体深为h处，平
11、板一侧所受的液体的压力为 一、一、压力的计算压力的计算P=pA 如果平板铅直放置在水中，如图所示，此时应如何计算平板一侧所受的水的压力呢？练习1 水闸门所受的压力 二二、进一步的练习进一步的练习一矩形水闸门，宽20m，高16m，水面与闸门顶齐，解在上闸门所受压力为 d,xxxd20d20ddFp Arxxrx x求闸门上所受的总压力如图选取x轴，闸门上所受的总压力为 16160020d20dFrx xrx x2160120()25602rxr当1000 9.8r N/m3时，力2560 9800F 7 2.5088 10(N)3.4.6 引力 一、引力的计算 二、进一步练习由物理学知道，质量分
12、别为m1、m2，相距为r的两 一、一、引力的计算引力的计算221rmmkF 质点间的引力为 其中k为引力系数，引力的方向沿着质点的连线方向 练习1棒对质点的引力 二、进一步的练习二、进一步的练习设有一长度为l，质量为M的均匀细直棒，另有一质量为m的质点与细直棒在同一直线上，它到细直棒的近端距离为a试计算该棒对质点的引力建立直角坐标系如图所示解使棒位于x轴上，取x为积分变量，它的变化区间为0,l 设 d,xxx为0,l上的任一小区间把细直棒上相应于d,xxx的一段近似地看成质点，其质量为 xlMd，于是引力微元为 2dd()Mk mxlFxa该棒对质点的引力为 20d()lMmlFkxxaxax
13、lkmMld)(10201lkmMlxa)(alakmM3.4.7 函数的平均值 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步练习设C(t)(单位：度/天)为某城市第t天的耗电量，t=0 一、案例一、案例 耗电量耗电量 3650()dC tt对应于2001年1月1日，则表示该城市前365天的总耗电量.而=前365的日平均耗电量 36501()d365C tt=前365天的总耗电量/总天数函数的平均值函数的平均值 二、二、概念和公式的引出概念和公式的引出 数 baxxfabyd1表示连续曲线y=f(x)在区间a,b上的平均高度，也就是函数y=f(x)在区间a,b上的平均值，如图所示练习1 平均销售
14、量 三、三、进一步的练习进一步的练习一家快餐连锁店在广告后第t天的销售的快餐数量解求该快餐连锁店在广告后第一周内的日平均销售量 为 该快餐连锁店在广告后第一周内的日平均销售量 S0.1()20 10tS te由下式给出：70.101(20 10)d7tetS770.100120d10d 7ttet70.1010020d(0.1)7tet0.17010020()7te12.808练习3 交流电的有效值 电源的引线端的电压u由关于时间t（单位：s）的表示最大电压的常数其在1s内电压的平均值是 不用平均电压，他们运用均方根电压，其定义为 0()cos(120)u tUt函数为（单位：伏），U0是11000()dcos(120)d0Uu ttUtt，但工程师们2Uu的平均值，即 201()dTUuttT求U为0U的函数 解注：在电常中定义交流电流i(t)和电压u(t)的有效值为 201()dTUu ttT12200cos(120)dUtt1001 cos(240)d2tUt1001cos(240)d22tUt100111cos(240)d(240)22 240Utt10011sin(240)2480Ut02U201()dTUu ttT201()dTIi ttT(T为周期)
