1、1大家好大家好2微专题三带电粒子在有界磁场微专题三带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的解题技巧中运动的临界问题的解题技巧-3-带电粒子(质量m、电荷量q确定)在有界磁场中运动时,涉及的可能变化的参量有入射点、入射速度大小、入射方向、出射点、出射方向、磁感应强度大小、磁场方向等,其中磁感应强度大小与入射速度大小影响的都是轨道半径的大小,可归并为同一因素(以“入射速度大小”代表),磁场方向在一般问题中不改变,若改变,也只需将已讨论情况按反方向偏转再分析一下即可。在具体问题中,这五个参量一般都是已知两个,剩下其他参量不确定(但知道变化范围)或待定,按已知参量可将问题分为如下10类 ,并可归并为6大类
2、型。-4-5-所有这些问题,其通用解法是:第一步,找准轨迹圆圆心可能的位置;第二步,按一定顺序尽可能多地作不同圆心对应的轨迹圆(一般至少画5个轨迹圆);第三步,根据所作的图和题设条件,找出临界轨迹圆,从而抓住解题的关键点。-6-已知入射点和入射速度方向已知入射点和入射速度方向,但入射速度大小不确定但入射速度大小不确定(即轨道半即轨道半径不确定径不确定)这类问题的特点是:所有轨迹圆圆心均在过入射点、垂直入射速度的同一条直线上。-7-【例1】如图所示,长为L的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强磁场,磁感应强度为B,板间距离也为L,极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力),从左边极
3、板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场,欲使粒子不打在极板上,可采用的办法是()-8-分析:粒子初速度方向已知,故不同速度大小的粒子轨迹圆圆心均在垂直初速度的直线上(如图甲),在该直线上取不同点为圆心,半径由小取到大,作出一系列圆(如图乙),其中轨迹圆和为临界轨迹圆。轨道半径小于轨迹圆或大于轨迹圆的粒子,均可射出磁场而不打在极板上。答案:AB-9-解析:粒子擦着上板从右边穿出时,圆心在O点,-10-易错提醒容易漏选A,错在没有将r先取较小值再连续增大,从而未分析出粒子还可以从磁场左边界穿出的情况。-11-练1如图所示,在平面直角坐标系xOy内,第一象限的射线OP与x轴夹角为30,在POx范围
4、之外存在垂直xOy面向里的匀强磁场,磁感应强度为B。一质量为m、带电荷量为q的带正电粒子从O点以沿y轴负方向的速度v运动。(1)粒子离开O点后,求第三次经过磁场边界时的位置坐标;(2)求粒子在磁场中运动的总时间。-12-13-14-已知入射点和入射速度大小已知入射点和入射速度大小(即轨道半径大小即轨道半径大小),但入射速度方向但入射速度方向不确定不确定这类问题的特点是:所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆”上所谓“圆心圆”,是指以入射点为圆心,以r=为半径的圆。-15-【例2】如图所示,在0 xa、0y 范围内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源,在某时刻
5、发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子,它们的速度大小相同,速度方向均在xOy平面内,与y轴正方向的夹角分布在090范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于 到a之间,从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的(不计重力及粒子间的相互作用)(1)速度的大小;(2)速度方向与y轴正方向夹角的正弦。-16-分析:本题给定的情形是粒子轨道半径r大小确定但初速度方向不确定,所有粒子的轨迹圆都要经过入射点O,入射点O到任一圆心的距离均为r,故所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆”以入射点O为圆心、r为半径的圆周上(如图甲)。考
6、虑到粒子是向右偏转,我们从最左边的轨迹圆画起取“圆心圆”上不同点为圆心、r为半径作出一系列圆,如图乙所示;其中,轨迹对应弦长大于轨迹对应弦长半径一定、圆心角都较小时(均小于180),弦长越长,圆心角越大,粒子在磁场中运动时间越长故轨迹对应圆心角应为90。-17-18-解析:设粒子的发射速度为v,粒子做圆周运动的轨道半径为R,-19-易错提醒由于作图不仔细而把握不住“轨迹对应弦长大于轨迹对应弦长半径一定、圆心角都较小时(均小于180),弦长越长,圆心角越大,粒子在磁场中运动时间越长”,从而误认为轨迹对应粒子在磁场中运动时间最长。这类题作图要讲一个小技巧按粒子偏转方向移动圆心作图。-20-练2如图
7、所示,圆形区域内有垂直纸面、磁感应强度为B的匀强磁场,A为磁场边界上的一点,大量完全相同的带电粒子平行纸面向各个方向以相同的速度大小v通过A点进入磁场,最后这些粒子全部从右侧圆弧AC上射出磁场区域(有粒子从C点射出)。AC圆弧的弧长是圆周长的 ,不计粒子之间的相互作用,粒子的质量为m,电荷量为q。(1)求圆形磁场区域的半径R;(2)求粒子在磁场中运动轨迹的最大长度;(3)若只把磁场撤去,在圆形区域内加电场强度大小为E的平行于纸面的匀强电场,从圆弧射出电场的粒子中,C点射出的粒子动能最大,求最大动能Ek。-21-22-23-已知入射点和出射点已知入射点和出射点,但未知初速度大小但未知初速度大小(
8、即未知半径大小即未知半径大小)和方和方向向这类问题的特点是:所有轨迹圆圆心均在入射点和出射点连线的中垂线上。-24-【例3】如图所示,无重力空间中有一恒定的匀强磁场,磁感应强度的方向垂直于xOy平面向外,大小为B,沿x轴放置一个垂直于xOy平面的较大的荧光屏,P点位于荧光屏上,在y轴上的A点放置一放射源,可以不断地沿平面内的不同方向以大小不等的速度放射出质量为m、电荷量为+q的同种粒子,这些粒子打到荧光屏上能在屏上形成一条亮线,P点处在亮线上,已知OA=OP=l,求:(1)若能打到P点,则粒子速度的最小值为多少?(2)若能打到P点,则粒子在磁场中运动的最长时间为多少?-25-分析:粒子既经过A
9、点又经过P点,因此AP连线为粒子轨迹圆的一条弦,圆心必在该弦的中垂线OM上(如图甲)。在OM上取不同点为圆心、以圆心和A点连线长度为半径由小到大作出一系列圆(如图乙),其中轨迹对应半径最小,而轨迹对应粒子是轨道半径最大的,由图可知其对应圆心角也最大。-26-解析:(1)粒子在磁场中运动,洛伦兹力提供向心力,设粒子的速度大小为v时,其在磁场中的运动半径为R,则由牛顿第二定律有qBv=m若粒子以最小的速度到达P点时,其轨迹一定是以AP为直径的圆(如图中圆O1所示)-27-28-练3人类研究磁场的目的之一是通过磁场控制带电粒子的运动。如图所示是通过磁场控制带电粒子运动的一种模型。在0 xd和dx0)
10、的粒子,其速率有两种,分别为 。(不考虑粒子的重力、粒子之间的相互作用)-29-(1)求两种速率的粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中做圆周运动的半径大小R1和R2。(2)求两种速率的粒子从x=2d的边界射出时,两射出点的距离y的大小。(3)在x2d的区域添加另一匀强磁场,使得从x=2d边界射出的两束粒子最终汇聚成一束,并平行y轴正方向运动。在图中用实线画出粒子的大致运动轨迹(无需通过计算说明),用虚线画出所添加磁场的边界线。-30-31-(3)匀强磁场区域边界为直线,磁场方向向里,如图所示。-32-已知初、末速度的方向已知初、末速度的方向(所在直线所在直线),但未知初速度大小但未知初速度大小(即
11、未知轨即未知轨道半径大小道半径大小)这类问题的特点是:所有轨迹圆的圆心均在初、末速度延长线形成的角的角平分线上。-33-【例4】在xOy平面上的某圆形区域内,存在一垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。一个质量为m、电荷量为+q的带电粒子,由原点O开始沿x轴正方向运动,进入该磁场区域后又射出该磁场;后来,粒子经过y轴上的P点,此时速度方向与y轴的夹角为30(如图所示),已知P到O的距离为L,不计重力的影响。(1)若磁场区域的大小可根据需要而改变,试求粒子速度的最大可能值;(2)若粒子速度大小为v=,试求该圆形磁场区域的最小面积。-34-分析:初、末速度所在直线必定与粒子的轨迹圆相切,轨迹
12、圆圆心到两条直线的距离(即轨道半径)相等,因此,圆心必位于初、末速度延长线形成的角的角平分线QC上(如图甲);在角平分线QC上取不同的点为圆心,由小到大作出一系列轨迹圆(如图乙),其中以C点为圆心的轨迹是可能的轨迹圆中半径最大的,其对应的粒子速度也最大。甲乙-35-解析:过P点作末速度所在直线,交x轴于Q点,经分析可知,粒子在磁场中做圆周运动的轨迹的圆心必在OQP的角平分线QC上,如图甲所示。设粒子在磁场中作匀速圆周运动的轨道半径为r,则由牛顿第二定律,由此可知粒子速度越大,其轨道半径越大,由图乙可知,速度最大的粒子在磁场中运动轨迹的圆心是y轴上的C点。(1)如图丙所示,速度最大时粒子的轨迹圆
13、过O点、且与PQ相切于A点。-36-丙丁-37-38-练4如图所示,xOy平面内存在着沿y轴正方向的匀强电场。一个质量为m,电荷量为+q的粒子从坐标原点O以速度v0沿x轴正方向开始运动。当它经过图中虚线上的M(2 a,a)点时,撤去电场,粒子继续运动一段时间后进入一个矩形匀强磁场区域(图中未画出),又从虚线上的某一位置N处沿y轴负方向运动并再次经过M点。已知磁场方向垂直xOy平面(纸面)向里,磁感应强度大小为B,不计粒子的重力,试求:(1)电场强度的大小;(2)N点的坐标;(3)矩形磁场的最小面积。-39-【分析】粒子在电场中偏转后进入MN右侧,初速度方向已知,另一方面,粒子末速度由N指向M。
14、初速度、末速度所在直线交于点M,过M点作NMP角平分线MO,粒子轨迹圆的圆心必在直线MO上。取其上一点O为圆心作出轨迹圆(如图所示)。-40-解析:(1)粒子从O到M做类平抛运动,设时间为t,粒子从P点进入磁场,从N点离开磁场,粒子在磁场中以O点为圆心做匀速圆周运动,设半径为R,-41-(3)当矩形磁场为图示虚线矩形时的面积最小。则矩形的两个边长分别为-42-已知初速度的大小已知初速度的大小(即已知轨道半径大小即已知轨道半径大小)和方向和方向,但入射点不确但入射点不确定定这类问题的特点是:所有轨迹圆的圆心均在将入射点组成的边界沿垂直入射速度方向平移一个半径距离的曲线上。-43-【例5】如图所示
15、,长方形abcd的长ad=0.6 m,宽ab=0.3 m,O、e分别是ad、bc的中点,以e为圆心、eb为半径的圆弧和以O为圆心、Od为半径的圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(eb边界上无磁场)磁感应强度B=0.25 T。一群不计重力、质量m=310-7 kg、电荷量q=+210-3 C的带正电粒子以速度v=5102 m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场方向射入磁场区域,则下列判断正确的是()A.从Od边射入的粒子,出射点全部分布在Oa边B.从aO边射入的粒子,出射点全部分布在ab边C.从Od边射入的粒子,出射点分布在ab边D.从ad边射人的粒子,出射点全部通过b点答案:D-44-的轨迹(
16、圆心在O点),为从O点射入粒子的轨迹(圆心在a点),为从a点射入粒子的轨迹,从d、O之间入射粒子在磁场中转过 圆周后沿eb边界做直线运动最终汇聚于b点,从O、a之间入射粒子先做直线运动再进入磁场做圆周运动,由作图易知这些粒子也汇聚于b点。-45-46-练5如图所示,在xOy平面内有一半径为R、与x轴相切于原点的圆形区域,该区域内有垂直于xOy平面的匀强磁场。在圆的左边0y0)和初速度v的带电微粒沿x轴正方向射向该区域,其中沿半径AO方向进入磁场区域的带电微粒经磁场偏转后,从坐标原点O沿y轴负方向离开。(不计重力及粒子间的相互作用)(1)求磁感应强度B的大小和方向。(2)请指出这束带电微粒与x轴
17、相交的区域,并说明理由。-47-48-已知初速度方向已知初速度方向(所在直线所在直线)和出射点和出射点,但入射点不确定但入射点不确定这类问题的特点是:所有轨迹圆的圆心均在“以初速度所在直线为准线、出射点为焦点的抛物线”上。-49-【例6】如图所示,现有一质量为m、电荷量为e的电子从y轴上的P(0,a)点以初速度v0(大小可调)平行于x轴射出,在y轴右侧某一圆形区域加一垂直于xOy平面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B(大小可调)。为了使电子能从x轴上的Q(b,0)点射出磁场。试求满足条件的磁场的最小面积,并求出该磁场圆圆心的坐标。-50-解析:本题中,电子初速度所在直线已知,电子进入磁场的入射
18、点在该直线上,则可知电子在磁场中做圆周运动的轨迹圆与该直线相切、且经过Q点,所以电子轨迹圆圆心到该直线和到Q 点的距离相等,即电子轨迹圆圆心在以该直线为准线、Q 点为焦点的抛物线上。在该抛物线上从左向右取不同点为圆心,做出一系列轨迹圆,可以看出所有这些轨迹中轨迹所需圆形磁场的直径最小。此时磁-51-练6如图所示,半径r=0.06 m的半圆形无场区的圆心在坐标原点O处,半径R=0.1 m、磁感应强度大小B=0.075 T的圆形有界匀强磁场区的圆心坐标为(0,0.08 m),平行金属板M、N的长度L=0.3 m、间距d=0.1 m,极板间所加电压U=6.4102 V,其中N极板收集粒子全部中和吸收
19、。一位于O处的粒子源向第、象限均匀地发射速度大小v=6105 m/s的带正电粒子,经圆形磁场偏转后,从第象限射出的粒子速度方向均沿x轴正方向。若粒子重力不计,比荷 =108 C/kg,不计粒子间的相互作用力及电场的边缘效应。sin 37=0.6,cos 37=0.8。求:-52-(1)粒子在磁场中的运动半径R0;(2)从坐标为(0,0.18 m)处射出磁场的粒子在O点的入射方向与y轴的夹角;(3)N板收集到的粒子占所有发射粒子的比例。答案:(1)0.08 m(2)53(3)29%-53-(2)如图所示,设从y=0.18 m处射出的粒子在O点的入射方向与y轴的夹角为,由几何关系可得sin=0.8,解得=53
